Wydanie elektroniczne

Tytuł oryginału:

ALEX'S ADVENTURES IN NUMBERLAND:

DISPATCHES FROM THE WONDERFUL WORLD OF MATHEMATICS

Copyright © Alex Bellos 2010

All rights reserved

Illustrations copyright © Andy Riley 2010

Polish edition copyright © Wydawnictwo Albatros A. Kuryłowicz 2013

Polish translation copyright © Anna Binder 2013

Redakcja: Maria Białek

Konsultacja naukowa: Danuta Olszewska

Ilustracja na okładce: Galyna Puzyma/Shutterstock

Projekt graficzny okładki: Andrzej Kuryłowicz

ISBN 978-83-7885-091-5

Wydawca

WYDAWNICTWO ALBATROS A. KURYŁOWICZ

Hlonda 2a/25, 02-972 Warszawa

www.wydawnictwoalbatros.com

Niniejszy produkt jest objęty ochroną prawa autorskiego. Uzyskany dostęp upoważnia wyłącznie do prywatnego użytku osobę, która wykupiła prawo dostępu. Wydawca informuje, że publiczne udostępnianie osobom trzecim, nieokreślonym adresatom lub w jakikolwiek inny sposób upowszechnianie, kopiowanie oraz przetwarzanie w technikach cyfrowych lub podobnych – jest nielegalne i podlega właściwym sankcjom.

Skład wersji elektronicznej:

Virtualo Sp. z o.o.

ALEX BELLOS

Brytyjski pisarz, dziennikarz i prezenter telewizyjny. Ukończył matematykę i filozofię na Oksfordzie. W latach 1998–2003 był korespondentem zagranicznym dziennika „The Guardian” w Ameryce Południowej. Plonem tego wyjazdu były dwie książki: reportaż Futebol: the Brazilian Way of Life (nominowana do tytułu „najlepszej książki roku o sporcie”) i Pelé: The Autobiography (bestseller numer 1 w Wielkiej Brytanii), którą napisał anonimowo. Od 2003 współpracuje z BBC: przygotował dla niej serię reportaży Inside Out Brazil, a na antenie telewizyjnej zajmuje się popularyzacją matematyki. W 2010 ukazała się jego głośna książka Przygody Alexa w Krainie Liczb, za którą otrzymał kilka prestiżowych nagród i nominacji do nagród, m.in. Galileo Prize, Peano Prize, Amazon Best Books of 2010 in Science, Galaxy National Book Award.

www.allexbellos.com

Mojej matce i ojcu

Wstęp

Latem 1992 roku pracowałem jako początkujący reporter w „Evening Argus” w Brighton. Obserwowałem nastoletnich recydywistów, którzy stawiali się przed miejscowym sędzią pokoju, przeprowadzałem wywiady ze sklepikarzami na temat recesji i dwa razy w tygodniu aktualizowałem godziny otwarcia kolejki Bluebell na stronie informacyjnej gazety. Nie był to dobry czas dla drobnych złodziejaszków i sklepikarzy, wspominam to jednak jako szczęśliwy okres w moim życiu.

John Major został właśnie ponownie wybrany na premiera i w euforii zwycięstwa ogłosił jedną z najbardziej pamiętnych (i najbardziej obśmianych) inicjatyw politycznych. Z prezydencką powagą zapowiedział utworzenie specjalnej linii telefonicznej do informowania o pachołkach drogowych – serwując tę banalną propozycję w taki sposób, jakby od tego zależała przyszłość świata.

W Brighton jednak problem pachołków był palący. Nie dało się wjechać do miasta, by nie utknąć w robotach drogowych. Główna trasa z Londynu – A23 (M) – zmieniła się w korytarz z rzędem pachołków w pomarańczowe paski na całej długości od Crawley do Preston Park. „Argus” żartem wezwał swoich czytelników, by odgadli liczbę pachołków ustawionych na wielomilowym odcinku A23 (M). Szefostwo gratulowało sobie tak świetnego pomysłu. Konkurs w stylu wiejskiego festynu z jednej strony ilustrował problem, a z drugiej był okazją do ponabijania się z rządu – jednym słowem, idealny materiał dla lokalnej gazety.

Ale już kilka godzin po ogłoszeniu konkursu nadeszła pierwsza poprawna odpowiedź od czytelnika. Pamiętam, jak starsi redaktorzy siedzieli przybici w milczeniu w redakcji informacyjnej, jakby właśnie zmarł jakiś ważny miejscowy radny. Chcieli poużywać sobie na premierze, ale sami wyszli na durniów.

Redaktorzy zakładali, że odgadnięcie liczby pachołków na jakichś 20 milach autostrady będzie zadaniem niewykonalnym. Okazało się inaczej i chyba byłem jedyną osobą w całym budynku, która rozumiała dlaczego. Przyjmując, że pachołki rozstawione są w równych odstępach, wystarczyło wykonać proste obliczenie:

Długość drogi można zmierzyć, pokonując ją samochodem lub sprawdzając na mapie. Do obliczenia odległości między pachołkami wystarczy taśma miernicza. Choć rozstaw pachołków może się nieco wahać, a szacowana długość drogi może być obarczona błędem, to przy dużych odległościach dokładność tego obliczenia jest wystarczająco dobra na użytek konkursów ogłaszanych przez lokalne gazety (zapewne w ten właśnie sposób policja drogowa policzyła wcześniej pachołki, by podać poprawną odpowiedź).

Zapamiętałem to zdarzenie bardzo dobrze, ponieważ wtedy po raz pierwszy w swojej pracy dziennikarskiej doceniłem zalety posiadania umysłu matematycznego. Z niepokojem zdałem sobie również sprawę z tego, jak bardzo „nieliczaci” są dziennikarze. Ustalenie liczby pachołków wzdłuż drogi nie było wcale skomplikowane, ale dla kolegów okazało się za trudne.

W 1990 roku ukończyłem matematykę i filozofię, byłem więc absolwentem nauk ścisłych i humanistycznych. Podjęcie pracy dziennikarza oznaczało, przynajmniej pozornie, rezygnację z pierwszego na rzecz drugiego. Wkrótce po klapie z pachołkami opuściłem „Argusa” i przeniosłem się do pracy w londyńskich gazetach. W końcu zostałem korespondentem zagranicznym w Rio de Janeiro. Od czasu do czasu przydawały mi się zdolności matematyczne, na przykład kiedy trzeba było znaleźć europejskie państwo o powierzchni najbardziej zbliżonej do ostatnio wylesionej połaci amazońskiej dżungli albo obliczyć kursy walut w czasie różnych kryzysów walutowych. Zasadniczo jednak wyglądało na to, że porzuciłem matematykę.

W końcu kilka lat temu wróciłem do Wielkiej Brytanii, nie wiedząc, co chcę dalej robić. Sprzedawałem koszulki brazylijskich piłkarzy, założyłem bloga, zastanawiałem się nad importowaniem owoców tropikalnych. Nic nie wypaliło. Rozważając rozmaite możliwości, zwróciłem się ku dziedzinie, która tak bardzo pochłaniała mnie w młodości, i właśnie w niej znalazłem inspirację do napisania tej książki.

Wejście w świat matematyki w dorosłości różniło się bardzo od doświadczeń z dzieciństwa, kiedy obowiązek zdawania egzaminów sprawia, że pomija się naprawdę ciekawe rzeczy. Teraz mogłem swobodnie zapuszczać się w różne rejony tylko dlatego, że wydawały mi się dziwne i interesujące. Poznałem etnomatematykę, która bada podejście do matematyki w różnych kulturach, dowiedziałem się, jak religia kształtowała matematykę. Zaintrygowały mnie najnowsze badania z zakresu psychologii behawioralnej i neurobiologii, które dociekają, dlaczego i jak właściwie mózg myśli o liczbach.

Zdałem sobie sprawę, że zachowuję się jak korespondent zagraniczny w terenie, tyle tylko że kraj, w którym goszczę, jest abstrakcyjną Krainą Liczb.

Moja podróż wkrótce nabrała wymiaru geograficznego, ponieważ chciałem doświadczać matematyki w rzeczywistym świecie. Poleciałem do Indii, by dowiedzieć się, jak wynaleziono „zero”, jedno z najbardziej przełomowych pojęć w dziejach człowieka. Zarezerwowałem pokój w megakasynie w Reno, by zobaczyć prawdopodobieństwo w akcji. W Japonii zaś spotkałem się z najbieglejszym w matematyce szympansem na świecie.

W trakcie zbierania materiałów znalazłem się w dziwnym położeniu: byłem jednocześnie ekspertem i laikiem. Uczenie się od nowa szkolnej matematyki przypominało poznawanie starych znajomych, ale było też wielu znajomych znajomych, których wcześniej tak naprawdę nie znałem, oraz sporo zupełnie nowych twarzy. Przed napisaniem tej książki nie zdawałem sobie na przykład sprawy z tego, że od stuleci podejmuje się kampanie na rzecz wprowadzenia 2 nowych cyfr do naszego systemu dziesiętnego. Nie wiedziałem, dlaczego Wielka Brytania jako pierwszy kraj na świecie wyemitowała siedmioboczną monetę. Nie miałem też pojęcia o matematyce stojącej za sudoku (bo jeszcze jej nie wynaleziono).

Trafiłem do zaskakujących miejsc, takich jak Braintree w Essex czy Scottsdale w Arizonie, i do zaskakujących zakamarków bibliotek. Nie zapomnę dnia, który spędziłem na lekturze książki o historii rytuałów związanych z roślinami, próbując zrozumieć, dlaczego Pitagoras tak grymasił przy jedzeniu.

Książkę rozpoczyna rozdział zerowy, ponieważ w ten sposób chciałem podkreślić, że jego tematem jest pramatematyka. Rozdział ten opowiada o tym, jak pojawiły się liczby. Na początku rozdziału pierwszego mamy już liczby i możemy przejść do rzeczy. Stąd aż do końca jedenastego rozdziału książka obejmuje arytmetykę, algebrę, geometrię, statystykę i tyle innych dziedzin, ile zdołałem upchnąć na około 600 stronach. Starałem się do minimum ograniczać materiał techniczny, ale czasami nie było innego wyjścia i musiałem zamieścić równania i dowody. Jeśli poczujesz, że wysiadają ci szare komórki, przeskocz na początek następnej części, a znów zrobi się łatwiej. Każdy rozdział jest niezależną całością, więc nie trzeba znać poprzednich rozdziałów, by go zrozumieć. Rozdziały można czytać w dowolnej kolejności, choć mam nadzieję, że przeczytasz je od pierwszego do ostatniego, ponieważ z grubsza pokrywają się z chronologią idei i czasem odwołuję się do spraw poruszanych wcześniej. Kieruję tę książkę do czytelnika bez wiedzy matematycznej, obejmuje ona materiał od poziomu szkoły podstawowej do pojęć nauczanych dopiero pod koniec studiów.

Zamieściłem sporo informacji historycznych, ponieważ matematyka jest zarazem historią matematyki. W przeciwieństwie do nauk humanistycznych, które nieustannie definiują siebie na nowo, w których miejsce jednych idei lub mód co i raz zajmują inne, i w odróżnieniu od nauk stosowanych, w których teorie podlegają stałemu doskonaleniu, matematyka się nie starzeje. Twierdzenia Pitagorasa i Euklidesa obowiązują dzisiaj tak samo jak zawsze – i właśnie dlatego Pitagoras i Euklides to najstarsze nazwiska, o których uczymy się w szkole. Sylabus gimnazjalny praktycznie nie wychodzi w matematyce poza to, co było znane już w połowie XVII wieku, a maturalny nie sięga dalej niż do połowy XVIII wieku. (Najnowsza matematyka, jakiej uczyłem się na studiach, pochodziła z lat 20. ubiegłego stulecia).

W trakcie pisania tej książki cały czas starałem się przekazywać radość i zachwyt towarzyszące odkrywaniu matematyki. (I pokazywać, że matematycy są zabawni. Jesteśmy królami logiki, dzięki czemu mamy niezwykle wyrafinowane wyczucie nielogiczności). Matematyka ma opinię nieciekawej i trudnej. Często rzeczywiście taka jest. Ale potrafi być też inspirująca, przystępna, a nade wszystko fantastycznie twórcza. Abstrakcyjne myślenie matematyczne uważa się za jedno z największych osiągnięć rasy ludzkiej i podstawę postępu człowieka.

Kraina Liczb to miejsce niezwykłe. Warto się tam wybrać.

Alex Bellos

styczeń 2010 roku

ROZDZIAŁ ZEROWY
Głowa do liczb

Kiedy wszedłem do ciasnego mieszkania Pierre’a Piki w Paryżu, przytłoczył mnie smród środka odstraszającego komary. Pica wrócił właśnie z pięciomiesięcznego pobytu wśród Indian w amazońskim lesie deszczowym i dezynfekował przywiezione ze sobą prezenty. Ściany gabinetu ozdobione były maskami plemiennymi, pierzastymi pióropuszami i plecionymi koszykami. Półki uginały się pod ciężarem książek naukowych. Na parapecie samotnie leżała nieułożona kostka Rubika.

Zapytałem Picę, jak minęła mu podróż.

– Trudno – odparł.

Pica jest językoznawcą i zapewne dlatego mówi powoli i starannie, z namysłem dobierając poszczególne słowa. Mimo pięćdziesięciu kilku lat zachował chłopięcy wygląd – ma jasnoniebieskie oczy, rumiane policzki i miękką, rozczochraną srebrną fryzurę. Wypowiada się cichym głosem, jest bardzo skoncentrowany.

Pica był studentem wybitnego amerykańskiego językoznawcy Noama Chomskiego, a obecnie pracuje w Centre national de la recherche scientifique. Od 10 lat prowadzi badania wśród Munduruku, mniej więcej siedmiotysięcznej grupy rdzennych mieszkańców brazylijskiej Amazonii. Munduruku są myśliwymi zbieraczami żyjącymi w małych wioskach rozrzuconych na obszarze lasu deszczowego dwukrotnie większym od powierzchni Walii. Picę interesuje język Munduruku: nie ma w nim czasów, liczby mnogiej ani liczebników powyżej 5.

Aby dotrzeć na miejsce, Pica odbywa podróż godną wielkich poszukiwaczy przygód. Najbliższe duże lotnisko znajduje się w Santarém, mieście położonym 500 mil od Oceanu Atlantyckiego w górę Amazonki. Stąd Pica wyrusza w piętnastogodzinny rejs promem, by przepłynąć około 200 mil po rzece Tapajós do Itaituby, dawnego centrum gorączki złota, a dzisiaj ostatniego przystanku, podczas którego można zaopatrzyć się w zapasy żywności i paliwa. Na potrzeby tej wyprawy Pica wypożyczył w Itaitubie jeepa i załadował do niego między innymi komputery, ogniwa słoneczne, baterie, książki i 120 galonów benzyny. Następnie wyruszył Transamazoniką, drogą krajową powstałą w latach 70. na fali szaleństwa budowy nacjonalistycznej infrastruktury, która zmieniła się w niebezpieczny i często nieprzejezdny błotnisty szlak.

Celem Piki była Jacareacanga, małe osiedle położone 200 mil na południowy zachód od Itaituby. Zapytałem go, ile zajmuje mu dojazd na miejsce.

– To zależy – wzruszył ramionami. – Może zająć całe życie. Może zająć 2 dni.

– Jak długo trwało to tym razem – powtórzyłem.

– Wie pan, nigdy nie wiadomo, ile to potrwa, ponieważ nigdy nie trwa tyle samo. W sezonie deszczowym zajmuje od 10 do 12 godzin. O ile wszystko pójdzie dobrze.

Jacareacanga leży na skraju terytorium Munduruku. Aby dostać się na ten teren, Pica musiał zaczekać, aż pojawią się Indianie, i dogadać się z nimi, żeby zabrali go tam kanoe.

– Jak długo pan czekał? – zapytałem.

– Czekałem sporo. Ale, mówię, proszę mnie nie pytać ile dni.

– Więc było to parę dni? – zasugerowałem ostrożnie.

Zmarszczył czoło, minęło kilka sekund.

– To było około 2 tygodni.

Po ponad miesiącu od wyjazdu z Paryża Pica powoli zbliżał się do celu. Jak było do przewidzenia, chciałem się dowiedzieć, ile trwała podróż z Jacareacangi do wiosek.

Tym razem Pica już nie ukrywał zniecierpliwienia moim natrętnym wypytywaniem:

– Już mówiłem: to zależy!

Nie ustępowałem. Jak długo trwało to tym razem?

– Nie wiem. Chyba… może… 2 dni… dzień i noc… – wyjąkał.

Im bardziej naciskałem na fakty i liczby, tym mniej chętnie Pica je podawał. Byłem bliski rozpaczy. Nie miałem pojęcia, czy jego odpowiedzi wynikały z francuskiej nieustępliwości, akademickiej pedanterii, czy po prostu z czystej przekory. Przerwałem wypytywanie i przeszliśmy do innych tematów. Otworzył się dopiero po kilku godzinach, kiedy rozmawialiśmy o tym, jak to jest wrócić do domu po tak długim pobycie na końcu świata.

– Kiedy wracam z Amazonii, tracę poczucie czasu i poczucie liczb, i chyba nawet poczucie przestrzeni – wyznał. Zapomina o umówionych spotkaniach. Dezorientują go proste kierunki. – Bardzo trudno mi przystosować się od nowa do Paryża z jego kątami i liniami prostymi.

Niezdolność Piki do podawania danych ilościowych była przejawem szoku kulturowego. Spędziwszy tyle czasu z ludźmi, którzy ledwie potrafią liczyć, stracił zdolność opisywania świata w kategoriach liczb.

Nikt nie wie na pewno, ale prawdopodobnie liczby mają nie więcej niż 10 000 lat. Mam tu na myśli praktyczny system słów i symboli oznaczających liczby. Według jednej teorii narodził się on wraz z rolnictwem i handlem, ponieważ liczby są niezbędne, by dokonać transakcji i nie dać z siebie zedrzeć. Munduruku hodują i uprawiają jedynie na własne potrzeby i dopiero niedawno w ich wioskach zaczęły pojawiać się pieniądze, nigdy więc nie wykształcili umiejętności liczenia. Natomiast w przypadku rdzennych plemion Papui-Nowej Gwinei uważa się, że liczby pojawiły się za sprawą skomplikowanych zasad wymiany podarków. W Amazonii nie ma takiej tradycji.

Dziesiątki tysięcy lat temu, na długo przed pojawieniem się liczb, nasi przodkowie musieli mieć jednak jakieś poczucie ilości. Potrafili zapewne odróżnić 1 mamuta od 2 mamutów i rozpoznać, że 1 noc różni się od 2 nocy. Bardzo dużo czasu miało jeszcze upłynąć, nim nastąpił umysłowy skok od konkretnej idei 2 rzeczy do wynalezienia symbolu lub słowa wyrażającego abstrakcyjną ideę „dwóch”. I tyle właśnie udało się osiągnąć niektórym społecznościom w Amazonii. Istnieją plemiona, których zasób liczebników ogranicza się do „jedno”, „dwa” i „wiele”. Munduruku, którzy liczą aż do 5, są stosunkowo wyrafinowaną grupą.

Liczby są tak wszechobecne w naszym życiu, że trudno sobie wyobrazić, jak ludzie są w stanie bez nich przetrwać. Ale kiedy Pierre Pica przebywał wśród Munduruku, z łatwością wiódł życie pozbawione liczb. Spał w hamaku. Chodził na polowania. Jadł mięso tapira, pancernika i dzika. Czas określał według położenia słońca. Jeśli padało, zostawał w domu, jeśli było słonecznie, wychodził. Nie odczuwał potrzeby liczenia.

Mimo to wydało mi się dziwne, że w codziennym życiu w Amazonii w ogóle nie pojawiają się liczby większe niż 5. Zapytałem Picę, jak Indianin powiedziałby „sześć ryb”. Dajmy na to, przygotowuje posiłek dla 6 osób i chce upewnić się, że każda dostanie rybę.

– To niemożliwe – odpowiedział Pica. – Zdanie: „Chcę ryby dla sześciu osób” nie istnieje.

A gdyby zapytać Munduruku, który ma sześcioro dzieci: „Ile masz dzieci?”.

Pica udzielił takiej samej odpowiedzi.

– Powie „nie wiem”. Nie da się tego wyrazić.

Pica dodał jednak, że kwestia ta ma charakter kulturowy. Nie jest tak, że Munduruku liczy pierwsze dziecko, drugie, trzecie, czwarte, piąte, a potem nagle zatrzymuje się i drapie po głowie, bo nie może pójść dalej. Dla Munduruku sam pomysł liczenia dzieci jest niedorzeczny. Co więcej, niedorzeczny jest w ogóle pomysł liczenia czegokolwiek.

– Po co Munduruku miałby liczyć swoje dzieci? – zapytał Pica. – Dziećmi opiekują się wszyscy dorośli członkowie wspólnoty, nieważne, które jest czyje.

Pica porównał tę sytuację do francuskiego wyrażenia j’ai une grande famille, które znaczy „pochodzę z dużej rodziny”.

– Kiedy mówię, że mam dużą rodzinę, mówię, że nie wiem [ilu ma członków]. Gdzie kończy się moja rodzina, a gdzie zaczynają się rodziny innych? Nie wiem. Nikt mi tego nigdy nie powiedział. – Podobnie gdybyśmy zapytali dorosłego Munduruku, za ile dzieci odpowiada, nie ma poprawnej odpowiedzi. – Odpowie „nie wiem”, bo rzeczywiście tak jest.

Munduruku nie są jedynymi na przestrzeni dziejów, którzy nie liczą członków swojej społeczności. Kiedy król Dawid policzył własny lud, został ukarany trzydniową zarazą i śmiercią 70 000 ludzi. Żydzi mają liczyć żydów wyłącznie pośrednio, dlatego właśnie w celu sprawdzenia, czy w synagodze obecnych jest 10 mężczyzn powyżej 13. roku życia – tyle wynosi minjan, czyli kworum wymagane do wspólnych modłów – wypowiada się modlitwę złożoną z 10 słów, wskazując przy każdym słowie na kolejną osobę. Liczenie ludzi za pomocą liczb uważane jest za rodzaj wybierania, które naraża ich na wpływ złego. Poproś ortodoksyjnego rabina o policzenie swoich dzieci, a z dużym prawdopodobieństwem usłyszysz taką samą odpowiedź jak od Munduruku.

Rozmawiałem kiedyś z brazylijską nauczycielką, która pracowała długo z rdzennymi społecznościami. Powiedziała, że Indianie uważają ciągłe pytania obcych o liczbę dzieci za dziwaczny zwyczaj, choć goście zadają je po prostu z grzeczności. Po co liczyć dzieci? Budzi to wielką podejrzliwość wśród Indian.

Pierwsza pisemna wzmianka na temat Munduruku pochodzi z 1768 roku, kiedy pewien osadnik zauważył kilkoro Indian na brzegu rzeki. Wiek później franciszkańscy misjonarze założyli bazę na ziemi Munduruku, kontakty nasiliły się podczas boomu kauczukowego pod koniec XIX wieku, kiedy przez te tereny przedzierali się zbieracze kauczuku. Większość Munduruku nadal żyje we względnym odosobnieniu, ale jak wiele innych indiańskich grup o długiej historii kontaktów, często noszą zachodnie ubrania, takie jak T-shirty i szorty. Prędzej czy później w ich świecie pojawi się elektryczność, telewizja i inne elementy współczesnego życia. Również liczby. Niektórzy Munduruku mieszkający na obrzeżach swojego terytorium nauczyli się już portugalskiego, narodowego języka Brazylii, i potrafią liczyć po portugalsku.

– Potrafią liczyć um, dois, três aż do setek – powiedział Pica. – A potem pytasz ich: „A przy okazji, ile jest 5 minus 3?”. Żartobliwie zademonstrował charakterystyczne francuskie wzruszenie ramionami.

Nie mają pojęcia.

W lesie deszczowym Pica prowadzi badania, korzystając z laptopów zasilanych przez baterie słoneczne. Konserwacja sprzętu komputerowego to logistyczny koszmar z powodu gorąca i wilgoci, czasami jednak największą sztuką jest zwerbowanie uczestników testów. Pewnego razu wódz wioski zgodził się na przeprowadzenie wywiadu z dzieckiem pod warunkiem, że Pica zje wielką czerwoną mrówkę sauba. Sumienny jak zawsze językoznawca, krzywiąc się, pogryzł i połknął owada.

Badania matematycznych umiejętności ludzi, którzy potrafią liczyć tylko na jednej ręce, mają na celu odkrycie natury naszych podstawowych intuicji liczbowych. Pica chce się dowiedzieć, co jest uniwersalne dla wszystkich ludzi, a co kształtowane przez kulturę. W jednym ze swoich najbardziej fascynujących eksperymentów badał przestrzenne pojmowanie liczb przez Indian. Jak umiejscawiają liczby na linii? We współczesnym świecie robimy to cały czas – na taśmie mierniczej, linijkach, wykresach i domach stojących wzdłuż ulicy. Ponieważ Munduruku nie znają liczb, Pica posługiwał się zbiorami kropek na ekranie. Każdemu ochotnikowi pokazywał obraz z nieoznakowaną kreską jak ten na rysunku na następnej stronie. Z lewej strony kreski znajdowała się 1 duża kropka, z prawej zaś umieszczono 10 kropek. Potem pokazywano przypadkowe zbiory zawierające od 1 do 10 kropek. Przy każdym zbiorze badany musiał wskazać, w jakim miejscu na linii należałoby jego zdaniem ulokować daną liczbę kropek. Pica przesuwał kursor do tego punktu i klikał. Po wielu powtórzeniach mógł zaobserwować, jak Munduruku rozmieszczają liczby między 1 a 10.

Jak Munduruku umiejscawiają liczby na linii?

Dorośli Amerykanie, wykonując to samo zadanie, umieszczali liczby w równych odstępach na linii. Odtwarzali zapamiętaną ze szkoły oś liczbową, na której sąsiednie liczby znajdują się w tej samej odległości, jakby odmierzono je linijką. Munduruku odpowiadali zupełnie inaczej. Uważali, że odstępy między liczbami na początku są duże, a potem wraz ze wzrostem liczb stają się coraz mniejsze. Na przykład odległość między punktami oznaczającymi 1 kropkę i 2 kropki oraz między 2 kropkami i 3 kropkami była o wiele większa niż odległość między 7 a 8 czy między 8 a 9 kropkami, co widać na wykresach zaprezentowanych na następnej stronie.

Wyniki były zdumiewające. Przyjmuje się bowiem za oczywistość, że liczby są rozmieszczone równomiernie. Uczymy się tego w szkole. Jest to podstawa wszelkich pomiarów i nauki. Lecz Munduruku nie patrzą na świat w taki sposób. Pozbawieni języka liczenia i liczebników, wyobrażają sobie wielkości zupełnie inaczej.

Kiedy liczby są rozmieszczone równomiernie jak na linijce, mówimy, że skala jest liniowa (linearna). Kiedy liczby w miarę wzrastania coraz bardziej zbliżają się do siebie, mamy do czynienia ze skalą logarytmiczną¹. Okazuje się, że logarytmiczne ujęcie nie jest wyłączną cechą amazońskich Indian. Wszyscy rodzimy się z takim pojmowaniem liczb. W 2004 roku Robert Siegler i Julie Booth z Carnegie Mellon University w Pittsburghu przedstawili podobną wersję eksperymentu z osią liczbową grupie dzieci z zerówki (średnia wieku 5,8), pierwszoklasistom (6,9) i drugoklasistom (7,8). Wyniki pokazały w zwolnionym tempie, jak znajomość liczenia kształtuje intuicję. Zerówkowicz bez formalnej edukacji matematycznej sytuuje liczby logarytmicznie. W pierwszym roku nauki szkolnej, gdy uczniowie zapoznawani są z nazwami i symbolami liczb, krzywa zaczyna się prostować. W drugiej klasie liczby są już równomiernie ułożone wzdłuż linii.

Dlaczego Indianie i dzieci myślą, że większe liczby znajdują się bliżej siebie niż mniejsze liczby? Istnieje proste wyjaśnienie. W omawianych eksperymentach ochotnikom pokazywano zbiory kropek i pytano, gdzie dany zbiór należy ulokować w stosunku do linii z 1 kropką po lewej i 10 kropkami po prawej. (Lub, jak przypadku dzieci, z setką kropek). Wyobraźmy sobie, że Munduruku pokazano 5 kropek. Będzie je uważnie badał i zobaczy, że 5 kropek jest pięć razy większe od 1 kropki, ale 10 kropek jest tylko dwukrotnie większe od 5 kropek. Najwyraźniej Munduruku i dzieci rozstrzygają położenie liczby na podstawie szacowania proporcji między ilościami. Biorąc pod uwagę proporcje, logiczne jest, że odległość między 5 a 1 jest o wiele większa niż odległość między 10 a 5. Jeśli będziemy oceniać ilości za pomocą proporcji, zawsze otrzymamy skalę logarytmiczną.

Pica jest przekonany, że przybliżone pojmowanie ilości w kategoriach szacowania proporcji jest uniwersalną ludzką intuicją. Zresztą ludzie, którzy nie znają liczb (jak Indianie i małe dzieci), nie mają innego wyboru, jak widzieć świat w ten sposób. Pojmowanie ilości w kategoriach precyzyjnych liczb nie jest umiejętnością uniwersalną, lecz wytworem kultury. Pierwszeństwo przybliżeń i proporcji przed precyzyjnymi liczbami, jak sugeruje Pica, wynika z faktu, że proporcje są o wiele ważniejsze dla przetrwania w naturalnych warunkach niż umiejętność liczenia. Mając przed sobą grupę przeciwników uzbrojonych w dzidy, musieliśmy natychmiast wiedzieć, czy jest ich więcej od nas. Kiedy widzieliśmy 2 drzewa, musieliśmy od razu wiedzieć, na którym rośnie więcej owoców. Ani w jednym, ani w drugim wypadku nie było konieczne liczenie każdego wroga lub każdego owocu z osobna. Decydujące znaczenie miała zdolność do szybkiego oszacowania istotnych ilości i porównania ich, czyli inaczej mówiąc, do określenia przybliżeń i oceny ich proporcji.

Skala logarytmiczna wiernie oddaje również sposób postrzegania odległości i pewnie dlatego jest tak intuicyjna. Uwzględnia bowiem perspektywę. Gdy widzimy drzewo w odległości 100 metrów i kolejne 100 metrów za nim, to to drugie 100 metrów wydaje się krótsze. Dla Munduruku idea, że każde 100 metrów reprezentuje taką samą odległość, wypacza to, jak postrzega on otoczenie.

Dokładne liczby dają nam linearne ramy, które są sprzeczne z naszą logarytmiczną intuicją. Co więcej, w większości sytuacji biegłość w posługiwaniu się precyzyjnymi liczbami wypiera intuicję logarytmiczną. Nie została ona jednak do końca wyeliminowana. W życiu posługujemy się zarówno liniowym, jak i logarytmicznym pojmowaniem ilości. Logarytmiczne bywa zwykle poczucie upływającego czasu. Często mamy wrażenie, że im jesteśmy starsi, tym szybciej mija czas. Ale działa to też w drugą stronę: wczoraj wydaje się o wiele dłuższe niż cały ubiegły tydzień. Nasz głęboko zakorzeniony instynkt logarytmiczny ujawnia się najwyraźniej, kiedy myślimy o bardzo dużych liczbach. Dla przykładu – wszyscy dobrze rozumiemy różnicę między 1 a 10; mało prawdopodobne, byśmy pomylili 1 duże piwo z 10 dużymi piwami. Ale co z różnicą między 1 miliardem galonów wody a 10 miliardami galonów wody? Choć różnica jest ogromna, zwykle postrzegamy obie te wielkości jako dość podobne – po prostu jako bardzo duże ilości wody. Podobnie jest z określeniami milioner i miliarder, których używa się niemal synonimicznie – jakby nie było wielkiej różnicy między byciem bardzo bogatym a bardzo, bardzo bogatym. Miliarder jest jednak 1000 razy bogatszy od milionera. Im większe liczby, tym wydają nam się bliższe.

Fakt, że Pica wyszedł z wprawy w posługiwaniu się liczbami po zaledwie kilku miesiącach spędzonych w dżungli, wskazuje, że liniowe rozumienie liczb nie jest tak głęboko zakorzenione w mózgu jak logarytmiczne. Pojmowanie liczb jest zaskakująco kruche i dlatego bez regularnej praktyki tracimy zdolność do operowania precyzyjnymi liczbami i wracamy do intuicyjnego oceniania wielkości na podstawie przybliżeń i proporcji.

Pica powiedział, że badania nad naszymi intuicjami matematycznymi mogą mieć poważne znaczenie dla nauczania matematyki – zarówno w Amazonii, jak i na Zachodzie. Musimy rozumieć oś liczbową, żeby funkcjonować we współczesnym społeczeństwie, bo jest to podstawa mierzenia i ułatwia rachowanie. Polegając na linearności, być może jednak zaszliśmy za daleko w tłumieniu intuicji logarytmicznej. Niewykluczone, stwierdził Pica, że właśnie dlatego matematyka sprawia trudności tak wielu ludziom. Może powinniśmy zwracać większą uwagę na szacowanie proporcji, zamiast operować precyzyjnymi liczbami. Może też uczenie Munduruku liczenia po naszemu wcale nie byłoby najlepszym pomysłem – mogłoby pozbawić ich intuicji czy wiedzy matematycznej, które są im niezbędne do przetrwania.

Zainteresowanie zdolnościami matematycznymi tych, którzy nie mają słów ani symboli na oznaczenie liczb, tradycyjnie skupia się na zwierzętach. Jednym z najsłynniejszych obiektów badań w tej dziedzinie był kłusak imieniem Kluger Hans. Na początku XX wieku na pewnym berlińskim podwórzu regularnie gromadziły się tłumy, by patrzeć, jak właściciel Hansa, emerytowany nauczyciel matematyki Wilhelm von Osten, daje koniowi do rozwiązania proste działania arytmetyczne. Hans odpowiadał, stukając kopytem o ziemię właściwą liczbę razy. Jego repertuar obejmował dodawanie, odejmowanie, ułamki, pierwiastki kwadratowe i rozkład na czynniki. Fascynacja publiki oraz podejrzenia, iż rzekoma inteligencja czworonoga jest jakąś sztuczką, sprawiły, że powołano komisję do zbadania jego umiejętności. Wybitni naukowcy stwierdzili, że, jawohl!, Hans rzeczywiście wykonuje obliczenia matematyczne.

Potrzeba było mniej wybitnego, acz bardziej wnikliwego psychologa, by zdyskredytować końskiego Einsteina. Oskar Pfungst zauważył, że Hans reaguje na znaki zawarte w mowie ciała von Ostena. Zaczynał stukać kopytem i przestawał dopiero, kiedy wyczuwał wzrost lub rozluźnienie napięcia na twarzy trenera, które wskazywało, że dotarł do odpowiedzi. Koń był wyczulony na najdrobniejsze sygnały wzrokowe, takie jak pochylenie głowy, uniesienie brwi czy rozszerzenie nozdrzy. Von Osten nie zdawał sobie nawet sprawy, że przesyła takie niewerbalne komunikaty. Hans doskonale odczytywał reakcje ludzi, ale z pewnością nie był arytmetykiem.

W minionym stuleciu wielokrotnie próbowano nauczyć zwierzęta liczyć, nie zawsze z myślą o jarmarcznej rozrywce. W 1943 roku niemiecki naukowiec Otto Koehler wyszkolił kruka Jakoba, by wskazywał garnek z określoną liczbą kropek na pokrywce spośród garnków o różnych liczbach kropek. Ptak potrafił wykonać to zadanie, jeśli liczba kropek na pokrywce mieściła się między 1 a 7. W ostatnich latach ptasia inteligencja wzbiła się na jeszcze bardziej imponujące wyżyny. Irene Pepperberg z Uniwersytetu Harvarda nauczyła afrykańskie żako imieniem Alex liczb od 1 do 6. Kiedy papudze pokazywano zbiór kolorowych klocków, potrafiła odpowiedzieć, ile jest na przykład niebieskich, przez zaskrzeczenie angielskiego liczebnika. Alex zyskał tak wielką sławę wśród naukowców i miłośników ptaków, że gdy w 2007 roku niespodziewanie dokonał żywota, w tygodniku „The Economist” ukazał się jego nekrolog.

Z historii Hansa wypływała nauka, że kiedy uczy się zwierzęta liczyć, należy z jak największą starannością wyeliminować mimowolne podpowiedzi ze strony człowieka. Jeśli chodzi o edukację matematyczną Ai, szympansicy sprowadzonej do Japonii z Afryki Zachodniej pod koniec lat 70. XX wieku, dokonano tego w ten sposób, że zwierzę uczyło się za pomocą komputera z ekranem dotykowym.

Ai ma dzisiaj 31 lat i mieszka w Primate Research Institute w Inuyamie, turystycznym miasteczku w centralnej Japonii. Ma wysokie łysiejące czoło, białe włosy na brodzie i ciemne, zapadnięte oczy człekokształtnej małpy w średnim wieku. Występuje jako „studentka”, nigdy jako „badana”. Ai codziennie chodzi na zajęcia. Stawia się punktualnie o dziewiątej rano, po nocy spędzonej pod gołym niebem z grupą innych szympansów na olbrzymiej, przypominającej drzewo konstrukcji z drewna, metalu i lin. Tego dnia, kiedy ją zobaczyłem, siedziała z głową przy monitorze, pukając palcem serie cyfr pojawiających się na ekranie. Ilekroć poprawnie wykonała zadanie, z rury po prawej stronie wypadała ośmiomilimetrowa kostka jabłka. Ai chwytała ją i natychmiast wcinała. Jej nieprzytomny wzrok, nonszalanckie pukanie w migający, pobrzękujący komputer oraz monotonny rytm wydawania nagrody przywodziły mi na myśl starszą panią grającą na automatach.

Ai jest szczególną małpą człekokształtną – jako pierwszy nieczłowiek nauczyła się liczyć za pomocą cyfr arabskich. (Są to symbole 1, 2, 3 i tak dalej, których używa się w prawie wszystkich krajach z wyjątkiem – paradoksalnie – niektórych części świata arabskiego). Tetsuro Matsuzawa, dyrektor instytutu, musiał w tym celu nauczyć ją 2 aspektów ludzkiego pojmowania liczby: ilości oraz kolejności.

Liczby wyrażają ilość, a także pozycję. Pojęcia te, choć ze sobą powiązane, są jednak różne. Kiedy na przykład mówię o „pięciu papugach”, mam na myśli to, że ilość papug w grupie wynosi pięć. Ten aspekt liczby matematycy nazywają kardynalnym. Z drugiej strony, kiedy liczę od 1 do 20, korzystam z tej wygodnej cechy, że liczby można uporządkować w kolejności. Nie chodzi mi o 20 przedmiotów, po prostu wyliczam pewien ciąg. Matematycy nazywają ten aspekt liczby porządkowym. W szkole uczymy się aspektu kardynalnego i porządkowego razem i bez trudu przechodzimy od jednego do drugiego. Dla szympansów jednak ów związek wcale nie jest oczywisty.

Matsuzawa najpierw nauczył Ai, że 1 czerwony ołówek odnosi się do symbolu „1”, a 2 czerwone ołówki do „2”. Po 1 i 2 Ai nauczyła się 3, a potem pozostałych cyfr. Kiedy pokazywano jej na przykład 5, potrafiła pokazać kwadrat z 5 przedmiotami, a kiedy pokazywano kwadrat z 5 przedmiotami, stukała w cyfrę 5. Motorem jej edukacji były nagrody: jeśli poprawnie wykonała zadanie komputerowe, z rury umieszczonej obok wypadał smakołyk.

Kiedy Ai opanowała już kardynalny aspekt cyfr od 1 do 9, Matsuzawa wprowadził nowe zadania, żeby nauczyć ją aspektu porządkowego. Na ekranie pojawiały się cyfry, a Ai musiała wskazywać je w porządku rosnącym. Jeśli na ekranie widniało 4 i 2, musiała dotknąć 2, a potem 4, żeby zdobyć kostkę jabłka. Pojęła to dość szybko. Opanowanie przez Ai obu aspektów oznaczało, że Matsuzawa mógł słusznie ogłosić, iż jego podopieczna nauczyła się liczyć. Dzięki temu dokonaniu stała się bohaterką narodową w Japonii oraz światową ikoną swego gatunku.

Potem Matsuzawa wprowadził pojęcie zera. Ai z łatwością zrozumiała kardynalność symbolu 0. Ilekroć na ekranie pojawiał się kwadrat z niczym, stukała tę cyfrę. Wtedy Matsuzawa chciał sprawdzić, czy była w stanie wywnioskować porządkowy aspekt zera. Ai pokazywano losowy ciąg ekranów z parą cyfr, tak samo jak wtedy, gdy uczyła się kolejności cyfr od 1 do 9, z tą różnicą, że teraz czasami jedną z nich było 0. Gdzie jej zdaniem było miejsce zera w porządku liczb?

W pierwszej sesji Ai umieszczała 0 między 6 a 7. Matsuzawa obliczył to, uśredniając liczby jej zdaniem poprzedzające 0 i następujące po nim. W kolejnych sesjach podawana przez Ai pozycja 0 spadła najpierw poniżej 6, potem poniżej 5 i 4, aż wreszcie po kilkuset próbach 0 spadło w okolice 1. Ai nadal jednak była zdezorientowana, czy 0 jest mniejsze, czy większe od 1. Choć bez zarzutu operuje liczbami, brakuje jej głębi ludzkiego pojmowania liczb.

Perfekcyjnie za to nauczyła się robić show. W tej mierze osiągnęła absolutne zawodowstwo – lepiej wykonuje zadania na komputerze, jeśli robi to na oczach publiczności, a zwłaszcza ekip telewizyjnych.

Badania nad biegłością w posługiwaniu się liczbami przez zwierzęta to prężnie rozwijający się nurt w nauce. Eksperymenty ujawniły zaskakującą zdolność do klasyfikowania ilości u tak różnych zwierząt, jak salamandry, szczury czy delfiny. Choć konie nadal nie potrafią obliczać pierwiastków kwadratowych, naukowcy uważają obecnie, iż zdolności liczbowe zwierząt są o wiele bardziej wyrafinowane, niż dotychczas sądzono. Wydaje się, że wszystkie zwierzęta rodzą się z mózgami obdarzonymi jakąś predyspozycją do matematyki.

W końcu kompetencje numeryczne mają decydujące znaczenie dla przetrwania w naturalnych warunkach. Szympans z mniejszym prawdopodobieństwem będzie chodzić głodny, jeśli potrafi spojrzeć na drzewo i określić liczbę dojrzałych owoców, które zje na lunch. Karen McComb z Sussex University obserwowała stado lwów w Parku Narodowym Serengeti, aby wykazać, że lwy kierują się poczuciem liczby, kiedy decydują o ewentualnym ataku na inne lwy. W pewnym eksperymencie samotna lwica wracała o zmierzchu do stada. McComb puściła nagranie pojedynczego ryknięcia z ukrytego głośnika zainstalowanego wcześniej w krzakach. Lwica usłyszała ryk i kontynuowała powrót do domu. W drugim eksperymencie szło razem 5 lwic. McComb z ukrytego głośnika odtworzyła ryki 3 samic. Grupka 5 lwic usłyszała odgłosy 3 i spojrzała w kierunku, skąd dochodził hałas. Jedna lwica zaczęła ryczeć i wkrótce cała piątka popędziła w stronę zarośli, by zaatakować.

Wniosek McComb był taki, że lwice porównywały w głowie ilości. Jedna na jedną oznaczało zbyt duże ryzyko, ale mając przewagę 5 : 3, można było ruszyć do ataku.

Nie wszystkie badania nad liczbami u zwierząt wiążą się z takimi bonusami, jak obozowanie na równinie Serengeti czy zaprzyjaźnianie się ze sławną szympansicą. Na Universität Ulm naukowcy umieścili saharyjskie mrówki pustynne na końcu tunelu i wysłali je w poszukiwaniu jedzenia. Kiedy owady dotarły do pożywienia, jednej grupie odcięto końcówki odnóży, a drugiej doczepiono szczudła zrobione ze świńskiej szczeciny. (Nie jest to tak okrutne, jak się wydaje, ponieważ odnóża pustynnych mrówek stale ścierają się w saharyjskim słońcu). Mrówki z krótszymi nogami kończyły trasę powrotną przed dotarciem do domu, natomiast mrówki z przedłużonymi nogami szły dalej, niż było trzeba, co wskazuje na to, iż nie oceniały odległości za pomocą wzroku, lecz wewnętrznego krokomierza. Niezwykła zdolność mrówek do wielogodzinnych wędrówek i bezbłędnego odnajdywania drogi z powrotem do gniazda może być po prostu wynikiem biegłości w liczeniu kroków.

Badania nad kompetencją numeryczną zwierząt przybierają czasem nieoczekiwany obrót. Szympansy mają swoje ograniczenia matematyczne, ale badając je, Matsuzawa odkrył, że posiadają inne zdolności poznawcze bez porównania lepsze od naszych.

W 2000 roku Ai urodziła syna Ayumu. W dniu, w którym zawitałem do Primate Research Institute, Ayumu siedział w klasie obok mamy. Był mniejszy, miał bardziej zaróżowioną skórę na twarzy i czarniejsze włosy. Ayumu siedział przed własnym monitorem, stukał cyfry pojawiające się na ekranie i z zapałem wcinał zdobywane kosteczki jabłka. Jest pewnym siebie chłopakiem, jak przystało na kogoś, kto ma uprzywilejowany status syna i następcy dominującej samicy w stadzie.

Ayumu nigdy nie uczono korzystania z ekranu dotykowego, ale jako dziecko przesiadywał przy matce podczas jej codziennych lekcji. Pewnego dnia Matsuzawa uchylił drzwi do klasy na tyle, by mógł przejść przez nie Ayumu, ale Ai nie dała rady się przecisnąć. Ayumu pomaszerował prosto do monitora. Badacze obserwowali go z niecierpliwością, żeby zobaczyć, czego się nauczył. Nacisnął przycisk start i pojawiły się cyfry 1 i 2. Było to proste zadanie na kolejność. Ayumu kliknął 2. Źle. Jeszcze raz nacisnął 2. Znowu źle. Wtedy spróbował nacisnąć 1 i 2 jednocześnie. Źle. W końcu udało mu się: nacisnął 1, a następnie 2 i do ręki wpadła mu kostka jabłka. Wkrótce Ayumu był lepszy we wszystkich zadaniach komputerowych od swojej mamy.

Parę lat temu Matsuzawa wprowadził nowy rodzaj zadania. Po naciśnięciu przycisku start na ekranie pokazywały się cyfry od 1 do 5 w przypadkowej kolejności. Po 0,65 sekundy zamieniały się w białe kwadraciki. Zadanie polegało na wskazaniu kwadracików w poprawnej kolejności, co wymagało zapamiętania, który kwadracik był którą cyfrą.

Ayumu wykonywał zadanie poprawnie w mniej więcej 80 procentach prób, co było wynikiem porównywalnym z badaną grupą japońskich dzieci. Potem Matsuzawa skrócił czas wyświetlania liczb do 0,43 sekundy i podczas gdy Ayumu ledwie zauważył różnicę, odsetek poprawnych odpowiedzi dzieci obniżył się do około 60. Kiedy Matsuzawa ponownie skrócił czas ekspozycji liczb do zaledwie 0,21 sekundy, Ayumu nadal osiągał 80 procent, ale dzieci zeszły do 40.

Eksperyment ten ujawnił, że Ayumu ma nadzwyczajną fotograficzną pamięć, podobnie zresztą jak inne szympansy z Inuyamy, choć żaden nie może się z nim równać. Matsuzawa zwiększył liczbę cyfr w kolejnych eksperymentach i teraz Ayumu potrafi zapamiętać położenie 8 cyfr wyświetlanych przez zaledwie 0,21 sekundy. Matsuzawa zmniejszył również przedział czasu i Ayumu potrafi teraz zapamiętać położenie 5 cyfr widocznych przez jedyne 0,09 sekundy – tyle, by człowiek ledwie zdążył je zauważyć. Bardzo możliwe, że ten niesłychany talent do momentalnego zapamiętywania wiąże się z tym, iż podejmowanie błyskawicznych decyzji, na przykład dotyczących liczby wrogów, ma podstawowe znaczenie w świecie natury.

W tym zadaniu wyświetlanych jest 7 liczb jednocyfrowych, które potem zamieniają się w białe kwadraty. Ayumu musi zapamiętać położenie liczb, a następnie dotknąć palcem kwadraty w odpowiedniej kolejności, za co otrzyma smaczną nagrodę.

Badania nad ograniczeniami zdolności numerycznych zwierząt w naturalny sposób łączą się z kwestią wrodzonych zdolności człowieka. Naukowcy, którzy chcą eksplorować umysły w możliwie najmniejszym stopniu skażone wiedzą nabytą, potrzebują jak najmłodszych uczestników eksperymentów. Dlatego dzisiaj rutynowo testuje się umiejętności matematyczne już kilkumiesięcznych niemowląt. Ponieważ w tym wieku dzieci nie umieją mówić ani dostatecznie panować nad swoimi kończynami, odczytywanie przejawów sprawności liczbowej opiera się na obserwacji oczu. Teoretyczne założenie jest takie, że dzieci dłużej będą wpatrywać się w obrazy, które są dla nich interesujące. W 1980 roku Prentice Starkey z University of Pennsylvania pokazywał niemowlętom w wieku od 16 do 30 tygodni jeden ekran z 2 kropkami, a potem inny ekran z 2 kropkami. Dzieci patrzyły na drugi ekran przez 1,9 sekundy. Ale kiedy Starkey powtórzył test, pokazując po ekranie z 2 kropkami ekran z 3 kropkami, niemowlęta wpatrywały się w niego przez 2,5 sekundy – prawie o jedną trzecią dłużej. Zdaniem Starkeya ten dodatkowy czas oznacza, że dzieci zauważyły coś innego w 3 kropkach w porównaniu z 2 kropkami, a zatem mają elementarne rozumienie liczby. Metoda oceny zdolności numerycznych na podstawie długości skupienia uwagi jest obecnie standardem. Elizabeth Spelke z Harvardu w 2000 roku udowodniła, że sześciomiesięczne niemowlęta potrafią rozpoznać różnicę między 8 i 16 kropkami, a w 2005 roku, że umieją odróżnić 16 od 32.

Podobny eksperyment wykazał, iż dzieci mają pewne pojęcie o arytmetyce. W 1992 roku Karen Wynn z University of Arizona posadziła pięciomiesięczne niemowlę przed małą sceną. Dorosła osoba umieściła na scenie lalkę przedstawiającą Myszkę Miki, a następnie postawiła ekran, żeby ją zasłonić. Potem umieściła za ekranem drugą Myszkę Miki, a na końcu zabrała ekran, zza którego ukazały się dwie lalki. Wynn powtórzyła cały eksperyment z tą różnicą, że tym razem po usunięciu ekranu ukazywała się niewłaściwa liczba lalek: tylko 1 lalka albo 3 lalki. Kiedy była 1 lalka lub 3 lalki, niemowlę patrzyło na scenę dłużej, niż kiedy były 2 lalki, co wskazuje, że niemowlę czuło się zaskoczone, kiedy arytmetyka się nie zgadzała. Dzieci rozumiały, jak tłumaczyła Wynn, że 1 lalka plus 1 lalka równa się 2 lalki.

Rekonstrukcja eksperymentu Karen Wynn, w którym badano zdolność niemowląt do rozpoznawania poprawnej liczby lalek za ekranem.

Eksperyment z Myszką Miki przeprowadzono później z pacynkami Elmem i Erniem z Ulicy Sezamkowej. Elmo został umieszczony na scenie. Wstawiono ekran. Następnie za ekranem ustawiono drugiego Elma. Ekran usunięto. Czasami pokazywali się 2 Elmowie, czasami 1 Elmo i 1 Ernie razem, a czasami tylko 1 Elmo lub tylko 1 Ernie. Dzieci patrzyły dłużej, kiedy ukazywała się tylko 1 pacynka, niż kiedy pokazywały się 2 niewłaściwe pacynki. Innymi słowy, arytmetyczna niemożliwość 1 + 1 = 1 była o wiele bardziej niepokojąca niż metamorfoza Elmów w Erniech. Najwyraźniej wiedza niemowląt o prawach matematyki jest głębiej zakorzeniona niż wiedza o prawach fizyki.

Szwajcarski psycholog Jean Piaget (1896–1980) uważał, że niemowlęta wykształcają pojmowanie liczb powoli, na drodze doświadczenia, więc nie ma sensu uczyć arytmetyki dzieci młodszych niż sześcio- czy siedmioletnie. Wywarło to wpływ na parę pokoleń nauczycieli, którzy często woleli pozwalać dzieciom z pierwszych klas szkoły podstawowej na zabawę klockami podczas lekcji, zamiast zapoznawać ich z matematyką formalną. Obecnie poglądy Piageta uważa się za przestarzałe. Uczniowie stają twarzą w twarz z cyframi arabskimi i rachunkami już na początku szkolnej kariery.

Eksperymenty z kropkami stanowią również kamień węgielny badań nad myśleniem liczbowym u dorosłych. Klasyczny test polega na tym, że pokazuje się badanemu kropki na ekranie i pyta, ile kropek widzi. W przypadku 1 kropki lub 3 kropek odpowiedź pada niemal natychmiast. Kiedy są 4 kropki, czas odpowiedzi jest znacząco dłuższy, a przy 5 jeszcze bardziej.

Co z tego? Ano to, że może właśnie dlatego w kilku kulturach cyfry 1, 2 i 3 mają postać 1, 2 i 3 kresek, natomiast cyfra oznaczająca 4 nie składa się z 4 kresek. Kiedy kresek jest co najwyżej trzy, ich liczbę potrafimy rozpoznać od razu, ale kiedy są cztery kreski, nasz mózg musi pracować zbyt ciężko i niezbędny jest inny symbol. Chińskie znaki od 1 do 4 to , , i , a starohinduskie: , , i (jeśli połączysz kreski, zobaczysz, jak przekształciły się we współczesne 1, 2, 3 i 4).

Właściwie nie ma pełnej zgody co do tego, czy graniczna liczba kresek, jakie możemy momentalnie rozpoznać, wynosi 3 czy 4. Rzymianie rzeczywiście mieli do wyboru IIII oraz IV na oznaczenie czwórki. IV jest o wiele szybciej rozpoznawalne, ale na tarczach zegarów – być może ze względów estetycznych – zwykle stosowano IIII. Niewątpliwie jednak liczba kresek, kropek czy tygrysów szablastozębnych, które możemy policzyć błyskawicznie, pewnie i precyzyjnie, nie przekracza 4. Podczas gdy mamy precyzyjne wyczucie 1, 2 i 3, już po 4 nasza precyzja słabnie i oceny dotyczące liczb stają się przybliżone. Spróbuj odgadnąć szybko, ile kropek jest na poniższej ilustracji.

Jest to niemożliwe (chyba że jest się autystycznym sawantem, jak Raymond Babbitt, bohater grany przez Dustina Hoffmana w filmie Rain Man, który w ułamku sekundy byłby w stanie mruknąć „75”). Naszą jedyną strategią jest szacowanie i zapewne grubo byśmy się pomylili.

Naukowcy badają zakres naszej intuicji ilości, pokazując ochotnikom różne liczby kropek i pytając, który zbiór jest większy. Zauważono pewne prawidłowości w tym zakresie. Łatwiej na przykład rozpoznać różnicę między zestawami 80 i 100 kropek niż między zestawami liczącymi 81 i 82 kropki. Tak samo łatwiej odróżnić 20 kropek od 40 niż 80 kropek od 100. W przypadkach A i B poniżej za każdym razem lewy zbiór kropek jest większy od prawego, choć czas potrzebny nam do przetworzenia tej informacji jest wyraźnie dłuższy w przypadku B.

Naukowcy z zaskoczeniem odkryli, jak ściśle nasze zdolności porównywania stosują się do praw matematyki, takich jak reguła mnożenia. W książce The Number Sense: How the Mind Creates Mathematics francuski kognitywista Stanislas Dehaene podaje przykład osoby, która potrafi odróżnić 10 kropek od 13 kropek z dokładnością 90 procent. Jeśli pierwszy zbiór zostanie podwojony do 20 kropek, to ile kropek musi zawierać drugi zbiór, żeby osoba ta zachowała stałą trafność? Odpowiedź brzmi: 26 – dokładnie dwa razy więcej niż wynosiła pierwotna liczba w drugim zbiorze.

Zwierzęta też potrafią porównywać zbiory kropek. Choć nie osiągają równie wysokich wyników, to wydaje się, że ich umiejętnościami rządzą te same prawa matematyki. Jest to dość niezwykłe. Ludzie jako jedyni mają cudownie skomplikowany system liczenia. Życie jest pełne liczb. Jednak przy całym naszym talencie matematycznym, w dziedzinie postrzegania i szacowania wielkich liczb mózg człowieka funkcjonuje tak samo jak mózg jego pierzastych czy futrzastych przyjaciół.

Ludzka intuicja dotycząca ilości doprowadziła w ciągu milionów lat do powstania liczb. Nie sposób stwierdzić, jak dokładnie do tego doszło, ale można przypuszczać, że miało to coś wspólnego z pragnieniem śledzenia rzeczy – faz księżyca, gór, drapieżników czy uderzeń bębna. Początkowo, być może, używaliśmy symboli wizualnych, takich jak palce czy nacięcia na drewnie, odpowiadających jeden do jednego przedmiotom, które obserwowaliśmy – 2 nacięcia lub 2 palce oznaczają 2 mamuty, 3 nacięcia lub 3 palce oznaczają 3 i tak dalej. Później wymyśliliśmy słowa wyrażające pojęcia „dwa nacięcia” lub „trzy palce”.

W miarę jak obserwowaliśmy coraz więcej przedmiotów, nasze słownictwo i symbolika liczb rozszerzały się i – przeskakując do współczesności – teraz mamy w pełni rozwinięty system precyzyjnych liczb, za pomocą którego potrafimy liczyć wielkości tak duże, jak tylko chcemy. Nasza umiejętność wyrażania liczb w sposób precyzyjny, na przykład możliwość powiedzenia, że na obrazku jest dokładnie 75 kropek, idzie ramię w ramię z bardziej fundamentalną zdolnością rozumienia takich ilości w sposób przybliżony. Jaką metodę zastosować, wybieramy zależnie od okoliczności: w supermarkecie, dajmy na to, porównując ceny wybranych produktów, posługujemy się precyzyjnymi liczbami. Kiedy jednak postanawiamy dołączyć do najkrótszej kolejki do kasy, zdajemy się na wyczucie instynktowne, przybliżone. Nie liczymy wszystkich osób stojących we wszystkich kolejkach. Patrzymy na kolejki i szacujemy, w której jest najmniej ludzi.

Tak naprawdę stale stosujemy nieprecyzyjne podejście do liczb, nawet gdy używamy precyzyjnej terminologii. Zapytaj kogoś, ile czasu zajmuje mu dojazd do pracy, a najczęściej w odpowiedzi usłyszysz pewien przedział, powiedzmy „35–40 minut”. Zauważyłem, że właściwie nie potrafię podać jednej liczby w odpowiedzi na pytania dotyczące ilości. Ile osób było na przyjęciu? 20–30... Jak długo tam byłeś? 3,5–4 godziny… Ile drinków wypiłeś? 4… 5… 10… Kiedyś myślałem, że jestem po prostu niezdecydowany. Teraz nie jestem już tego taki pewny. Wolę myśleć, że opieram się na wewnętrznym zmyśle liczbowym, intuicyjnej, zwierzęcej skłonności do posługiwania się przybliżeniami.

Ponieważ szacunkowe wyczucie liczb jest niezbędne dla przetrwania, wydawałoby się, że wszyscy ludzie mają porównywalne zdolności w tym zakresie. W artykule z 2008 roku psychologowie z Uniwersytetu Johnsa Hopkinsa oraz Kennedy Krieger Institute badali, czy tak właśnie jest w grupie czternastolatków. Nastolatkom pokazywano na ekranie przez 0,2 sekundy różne liczby żółtych i niebieskich kropek naraz, a następnie pytano tylko o to, czy więcej było kropek niebieskich, czy żółtych. Wyniki były zaskakujące dla naukowców, ponieważ dowodziły nieoczekiwanie dużych zmienności w odpowiedziach. Niektórzy uczniowie potrafili bez trudu wskazać różnicę między 9 niebieskimi kropkami a 10 żółtymi, inni jednak mieli umiejętności porównywalne z niemowlętami – ledwie byli w stanie stwierdzić, czy 5 żółtych kropek to więcej niż 3 niebieskie.

Jeszcze bardziej zdumiewającego odkrycia dokonano, kiedy wyniki nastolatków w zakresie porównywania kropek zestawiono z ich ocenami z matematyki od zerówki. Badacze założyli wcześniej, że intuicyjna zdolność rozróżniania ilości nie wpływa zbytnio na poziom ucznia w takich zadaniach, jak rozwiązywanie równań czy rysowanie trójkątów. Odkryli jednak silną korelację między talentem do szacowania a sukcesami w matematyce formalnej. Im lepsze szacunkowe wyczucie liczb, tym większe, jak się zdaje, prawdopodobieństwo uzyskiwania dobrych stopni. Może to mieć poważne znaczenie dla edukacji. Jeśli dar szacowania sprzyja uzdolnieniom matematycznym, to być może lekcje matematyki w mniejszym stopniu powinno się poświęcać tabliczce mnożenia, a w większym doskonaleniu umiejętności porównywania zbiorów kropek.

Wspomniany wcześniej Stanislas Dehaene jest czołową postacią interdyscyplinarnego nurtu badań nad umysłowymi reprezentacjami liczb (ang. numerical cognition). Zaczynał jako matematyk, a teraz jest neurobiologiem, profesorem Collège de France i dyrektorem laboratorium badającego neuroobrazowanie funkcji poznawczych INSERM-CEA należącego do NeuroSpinu, supernowoczesnego instytutu badawczego pod Paryżem. Wkrótce po wydaniu w 1997 roku książki The Number Sense umówił się na lunch w restauracji paryskiego Cité des Sciences et de l’Industrie z psycholog rozwojową z Harvardu Elizabeth Spelke. Przypadkiem usiedli obok Pierre’a Piki. Językoznawca opowiedział o swoich doświadczeniach z Munduruku i po pasjonującej rozmowie naukowcy postanowili podjąć współpracę. Możliwość badania społeczności, która nie wykształciła liczenia, stanowiła fantastyczną okazję dla nowych testów.

Dehaene opracował eksperymenty, które Pica miał przeprowadzić w Amazonii. Jeden był bardzo prosty: uczony chciał się dowiedzieć, co Indianie rozumieją przez swoje liczebniki. W lesie deszczowym Pica zebrał grupę ochotników i pokazał im różne liczby kropek na ekranie, prosząc o wypowiedzenie na głos liczby kropek, jaką widzą.

Liczby Munduruku to:

jeden — pũg

dwa — xep xep

trzy — ebapug

cztery — ebadipdip

pięć — pũg pogbi

Kiedy na ekranie była 1 kropka, Munduruku odpowiadali pũg. Kiedy były 2 kropki, mówili xep xep. Ale powyżej 2 byli nieprecyzyjni. Kiedy pokazały się 3 kropki, odpowiedź ebapug padała tylko w około 80 procentach przypadków. Reakcją na 4 kropki ebadipdip było tylko w 70 procentach przypadków. Kiedy pokazano 5 kropek, tylko w 28 procentach przypadków odpowiedź brzmiała pũg pogbi, a w 15 procentach – ebadipdip. Innymi słowy, dla 3 i więcej liczebniki Munduruku były w istocie jedynie szacunkowe. Indianie liczyli „jeden”, „dwa”, „około trzech”, „około czterech”, „około pięciu”. Pica zaczął się zastanawiać, czy pũg pogbi, które dosłownie znaczy „garść”, w ogóle zalicza się do liczb. Może Munduruku nie potrafili liczyć do 5, a jedynie do „około czterech”?

Pica zauważył również pewną interesującą cechę językową liczebników Munduruku. Pokazał mi, że od 1 do 4 liczba sylab w każdym liczebniku równa jest samej liczbie. Spostrzeżenie to naprawdę go podekscytowało.

– To tak, jakby sylaby były słuchowym sposobem liczenia – powiedział.

Tak samo jak Rzymianie liczyli I, II, III oraz IIII, ale przechodzili na V przy 5, Munduruku zaczynali od 1 sylaby na 1, dodawali kolejną na 2, następną na 3 i jeszcze następną na 4, ale nie używali 5 sylab w przypadku 5. Choć liczebników oznaczających 3 i 4 nie używano w sposób precyzyjny, zawierały one precyzyjne liczby sylab. Kiedy liczba sylab nie miała już znaczenia, słowo może w ogóle nie było liczebnikiem.

– To jest niesamowite, bo najwyraźniej potwierdza ideę, że ludzie mają system liczbowy pozwalający na precyzyjne śledzenie do 4 przedmiotów naraz – powiedział Pica.

Pica badał również zdolności Munduruku do szacowania wielkich liczb. W jednym z testów, zilustrowanym na następnej stronie, ochotnikom pokazywano animację komputerową przedstawiającą 2 zbiory kilku kropek spadających do puszki. Następnie proszono ich, by powiedzieli, czy te 2 zbiory zsumowane w puszce – niewidoczne już do porównania – wynosiły więcej niż 3. zbiór kropek, który później pojawiał się na ekranie. Sprawdzano w ten sposób, czy Munduruku potrafią dodawać w szacunkowy sposób. Okazało się, że radzą sobie równie dobrze, jak grupa dorosłych Francuzów, która otrzymała takie samo zadanie.

Szacunkowe dodawanie i porównywanie.

W kolejnym eksperymencie komputer Piki wyświetlał animację, na której do puszki wpadało 6 kropek, a wypadały 4 kropki. Badani mieli wybrać 1 z 3 odpowiedzi określających, ile kropek zostało w puszce. Innymi słowy, ile jest 6 – 4? To zadanie miało pokazać, czy Munduruku rozumieją precyzyjne liczby, dla których nie mają liczebników. Nie potrafili wykonać tego zadania. Przy animacji z odejmowaniem, w której było 6, 7 lub 8 kropek, nie umieli znaleźć rozwiązania.

– Nie potrafili wykonywać obliczeń nawet w prostych przypadkach – stwierdził Pica.

Precyzyjne odejmowanie.

Wyniki eksperymentów z kropkami pokazały, że Munduruku biegle radzą sobie z przybliżonymi ilościami, ale z precyzyjnymi liczbami powyżej 5 idzie im fatalnie. Pica był zafascynowany podobieństwami między Munduruku a ludźmi Zachodu: jedni i drudzy mają w pełni sprawny, precyzyjny system śledzenia małych liczb oraz szacunkowy system do większych liczb. Istotna różnica polega na tym, że Munduruku nie potrafią połączyć ze sobą tych 2 niezależnych systemów, by wyjść poza liczbę 5. Pica twierdzi, że utrzymywanie odrębności tych systemów musi być bardziej przydatne. Uważa on, że w interesie zachowania różnorodności kulturowej należy próbować chronić sposób liczenia Munduruku, któremu z pewnością zagrozi nieuniknione nasilenie kontaktów między Indianami a brazylijskimi osadnikami.

Fakt, że są Munduruku, którzy nauczyli się liczyć po portugalsku, a mimo to nie potrafią pojąć podstaw arytmetyki, świadczy o sile ich własnego systemu matematycznego i o tym, jak dobrze dostosowany jest do ich potrzeb. Pokazuje również, jak trudny musi być skok pojęciowy do prawdziwego rozumienia precyzyjnych liczb powyżej liczby 5.

A może ludzie potrzebują słów na oznaczenie liczb powyżej 4, aby móc je właściwie rozumieć? Profesor Brian Butterworth z University of London sądzi, że tak nie jest. Uważa, że mózg wyróżnia wrodzona zdolność do rozumienia precyzyjnych liczb, którą uczony nazywa „modułem precyzyjnych liczb” (ang. exact number module). Zgodnie z jego interpretacją ludzie rozumieją precyzyjne liczby przedmiotów w małych zbiorach, a dodając do tych zbiorów po jednym elemencie, możemy pojąć, jak zachowują się większe liczby. Butterworth prowadzi badania w jedynym poza Amazonią miejscu, gdzie mieszkają rdzenne grupy niemające prawie żadnych liczebników: w australijskim buszu.

Społeczność Aborygenów Walpiri żyje niedaleko Alice Springs i posługuje się tylko 3 liczebnikami: 1, 2 i wiele, a Anindilyakwa z wyspy Groote Eylandt w zatoce Karpentaria mają słowa jedynie na oznaczenie 1, 2, 3 (które czasami oznacza 4) i wiele. W pewnym eksperymencie z udziałem dzieci z obu grup stukano patykiem w drewniany kloc do 7 razy, a na macie kładziono żetony. Czasami liczba stuknięć odpowiadała liczbie żetonów, a czasami nie. Dzieci doskonale potrafiły określić, kiedy liczby pasowały, a kiedy nie. Butterworth dowodził, że aby podać prawidłową odpowiedź, dzieci tworzyły umysłową reprezentację precyzyjnej liczby, na tyle abstrakcyjną, że mogła reprezentować wyliczanie zarówno słuchowe, jak i wzrokowe. Dzieci te nie znały liczebników 4, 5, 6 i 7, a mimo to doskonale potrafiły przechowywać te ilości w głowie. Słowa, jak podsumował Butterworth, przydają się do rozumienia dokładności, ale nie są niezbędne.

Innym ważnym przedmiotem zainteresowania Butterwortha oraz Dehaene’a  jest dyskalkulia nazywana też „ślepotą matematyczną”, czyli zaburzenie przejawiające się niesprawnym zmysłem liczby. Szacuje się, że dotyka ono od 3–6 procent populacji. Dyskalkulicy nie „kumają” liczb w taki sposób, jak większość ludzi. Na przykład: która z tych dwóch liczb jest większa?

65         24

Proste, 65. Niemal każdy z nas poda poprawną odpowiedź w ciągu niespełna 0,5 sekundy. Temu jednak, kto ma dyskalkulię, może to zająć nawet 3 sekundy. Natura tego zaburzenia różni się u poszczególnych osób, ale ci, u których ją zdiagnozowano, często mają problemy z kojarzeniem symbolu liczby, dajmy na to 5, z liczbą przedmiotów, jakie ów symbol oznacza. Mają również trudności z liczeniem. Dyskalkulia nie równa się nieumiejętności liczenia, jednak dyskalkulicy zwykle pozbawieni są elementarnej intuicji dotyczącej liczb i dlatego w codziennym życiu stosują alternatywne strategie radzenia sobie z liczbami, na przykład częściej używają palców. W przypadku silnych zaburzeń ledwie potrafią odczytać czas.

Jeśli ze wszystkich przedmiotów w szkole szło ci dobrze, ale klasówka z matematyki stanowiła dla ciebie trudność nie do pokonania, być może masz dyskalkulię. (Choć ktoś, kto zawsze oblewał matmę, pewnie nie czyta tej książki). Zaburzenie to uważa się za główną przyczynę niskiego poziomu umiejętności matematycznych. Zrozumienie dyskalkulii ma istotne znaczenie społeczne, ponieważ dorosłe osoby o niskich umiejętnościach matematycznych znacznie częściej bywają bezrobotne lub popadają w depresję. Dyskalkulia jest jednak słabo poznana. Można ją uznać za liczbową wersję dysleksji – oba zaburzenia są porównywalne pod tym względem, że dotykają mniej więcej takiego samego odsetka populacji i najwyraźniej nie mają związku z inteligencją ogólną. O dysleksji wiadomo jednak o wiele więcej niż o dyskalkulii. Szacuje się, że artykułów naukowych na temat dysleksji jest 10 razy więcej niż na temat dyskalkulii. Badania nad dyskalkulią są tak daleko w tyle między innymi dlatego, że nieradzenie sobie z matematyką może mieć wiele innych przyczyn – przedmiot ten często jest źle nauczany w szkole, poza tym łatwo zostać w tyle, jeśli straci się lekcje, na których wprowadzano zasadnicze pojęcia. Nie bez znaczenia jest też fakt, że braki w liczeniu nie wiążą się z tak silnym tabu społecznym, jak kłopoty z czytaniem.

Butterworth często pisze referencje dla osób, które badał pod kątem dyskalkulii, wyjaśniając potencjalnym pracodawcom, że kiepskie oceny z matematyki nie są wynikiem lenistwa ani braku inteligencji. Dyskalkulicy mogą odnosić sukcesy we wszystkich innych dziedzinach poza liczbami. Można nawet, twierdzi Butterworth, być dyskalkulikiem i być bardzo dobrym z matematyki. Istnieje kilka gałęzi matematyki, takich jak logika lub geometria, w których ważniejsze są rozumowanie dedukcyjne czy świadomość przestrzenna niż biegłość w liczbach i równaniach. Zwykle jednak dyskalkulicy nie radzą sobie z matematyką.

Większość badań nad dyskalkulią ma charakter behawioralny – prowadzi się między innymi badania przesiewowe dziesiątek tysięcy uczniów w postaci testów komputerowych. Należy w nich odpowiedzieć, która z 2 liczb jest większa. Prowadzi się również badania neurologiczne, w których przy użyciu rezonansu magnetycznego analizuje się mózgi dyskalkulików i niedyskalkulików pod kątem różnic w połączeniach neuronalnych. W naukach kognitywnych postęp w rozumieniu jakiejś zdolności umysłowej często dokonuje się dzięki analizie przypadków upośledzenia tej zdolności. Stopniowo wyłania się wyraźniejszy obraz tego, czym jest dyskalkulia oraz jak pojęcie liczby działa w mózgu.

Właśnie neurobiologia jest źródłem części najbardziej elektryzujących nowych odkryć w dziedzinie umysłowych reprezentacji liczb. Dzisiaj można już zobaczyć, co dzieje się z pojedynczymi neuronami w mózgu małpy, kiedy małpa myśli o precyzyjnej liczbie kropek.

Andreas Nieder z Eberhardt Karls Universität Tübingen w południowych Niemczech wyszkolił makaki rezusy, by myślały o liczbie. Oto jak tego dokonał. Pokazywał im najpierw jeden zbiór kropek na komputerze, a po jednosekundowej przerwie drugi zbiór kropek. Małpy uczono, że jeśli drugi zbiór równy był pierwszemu, to po naciśnięciu dźwigni otrzymają nagrodę w postaci łyku soku jabłkowego. Jeśli drugi zbiór nie był równy pierwszemu, nie było też soku. Po około roku małpy nauczyły się naciskać dźwignię tylko wtedy, gdy liczba kropek na pierwszym i drugim ekranie była taka sama. Nieder razem ze współpracownikami uznał, że w czasie jednosekundowej przerwy między obrazami małpy myślą o liczbie kropek, jaką właśnie widziały.

Nieder postanowił sprawdzić, co dzieje się w mózgu małp w chwili przechowywania liczby w głowie. Przez otwór w czaszce umieścił w tkance nerwowej elektrodę o średnicy 2 mikronów. Proszę się nie martwić, żadnej małpie nie stała się krzywda. Tak maleńka elektroda wchodzi w mózg, nie powodując uszkodzeń ani bólu. (Wstawianie elektrod do mózgu człowieka dla celów badawczych jest niezgodne z zasadami etycznymi, choć jest dopuszczalne dla celów terapeutycznych, na przykład w leczeniu padaczki). Nieder skierował elektrodę w stronę części kory przedczołowej małpy i rozpoczął eksperyment.

Elektroda była tak czuła, że mogła wychwycić wyładowania elektryczne w pojedynczych neuronach. Nieder zaobserwował, że kiedy małpy myślały o liczbach, pewne neurony stawały się bardzo aktywne. Zapalała się cała połać mózgu.

Po dokładniejszej analizie dokonał fascynującego odkrycia. Wrażliwe na liczby neurony reagowały różnymi wyładowaniami w zależności od tego, o jakiej liczbie małpa myślała w danym momencie. Każdy neuron miał „preferowaną” liczbę, która aktywowała go najbardziej. Była na przykład populacja kilku tysięcy neuronów, które upodobały sobie 1. Neurony te świeciły jasno, kiedy małpa myślała o 1, słabiej, kiedy myślała o 2, a jeszcze słabiej, kiedy myślała o 3 i tak dalej. Był też zbiór neuronów, który wolał 2. Neurony te świeciły najjaśniej, kiedy małpa myślała o 2, słabiej, kiedy myślała o 1 lub 3, jeszcze słabiej, gdy małpa myślała o 4. Kolejna grupa neuronów okazywała się amatorami 3, a następna 4. Nieder przeprowadził eksperymenty aż do 30 i dla każdej liczby znalazł neurony, które ją preferowały.

Wyniki te mogą wyjaśniać, dlaczego nasza intuicja faworyzuje szacunkowe rozumienie liczb. Kiedy małpa myśli „cztery”, najbardziej aktywne są oczywiście neurony preferujące 4. Ale aktywne są też, choć słabiej, neurony specjalizujące się w 3 lub 5, ponieważ mózg myśli również o liczbach sąsiadujących z 4. „To rozmyty zmysł liczby – wyjaśnił Nieder. – Małpy potrafią reprezentować liczność jedynie w przybliżony sposób”.

Jest niemal pewne, że tak samo dzieje się w mózgu człowieka. W związku z tym nasuwa się interesujące pytanie. Jeśli nasz mózg może reprezentować liczby jedynie w przybliżeniu, to jak w ogóle zdołaliśmy „wynaleźć” liczby? Nieder stwierdził, że „precyzyjny zmysł liczby jest [wyłącznie] ludzką cechą, która wywodzi się prawdopodobnie z naszej zdolności do bardzo precyzyjnego reprezentowania liczby za pomocą symboli”. Przemawia to za stanowiskiem, że liczby są artefaktem kulturowym, konstruktem stworzonym przez człowieka, a nie czymś, co jest nam wrodzone.

ROZDZIAŁ PIERWSZY
Liczenie po innemu

W Lincolnshire w czasach średniowiecza pimp (alfons) plus dik (penis) równało się bumfit (kojarzy się ze stosunkiem seksualnym). Nie było w tym nic zdrożnego. Słowa te po prostu oznaczały liczby 5, 10 i 15 w żargonie używanym przez pasterzy podczas liczenia owiec. Pełny ciąg był następujący:

yan

tan

tethera

pethera

pimp

sethera

lethera

hovera

covera

dik

yan-a-dik

tan-a-dik

tethera-dik

pethera-dik

bumfit

yan-a-bumfit

tan-a-bumfit

tethera-bumfit

pethera-bumfit

figgit

Różni się to bardzo od naszego współczesnego sposobu liczenia, i to nie tylko z powodu innego zasobu słów. Pasterze z Lincolnshire porządkowali liczby w dwudziestki – zaczynali liczyć od yan, a kończyli na figgit. Jeśli pasterz miał więcej niż 20 owiec – i o ile przy okazji nie zasnął – to po zakończeniu jednego cyklu wkładał kamyk do kieszeni, rysował znak na ziemi lub nacinał kreskę na kiju pasterskim. Potem rozpoczynał od nowa: „Yan, tan, tethera…”. Jeśli owiec było 80, to na koniec miał 4 kamyki w kieszeni lub 4 kreski na kiju. Dla pasterza system ten jest bardzo wydajny: 4 małe przedmioty symbolizują 80 dużych.

Dzisiaj grupujemy liczby w dziesiątki, więc nasz system liczbowy ma 10 cyfr – 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Liczność takiej grupy podstawowej, która często jest zarazem liczbą używanych symboli, nazywa się podstawą systemu liczbowego, a zatem nasz system ma podstawę 10, a podstawą pasterzy z Lincolnshire jest 20.

Bez rozsądnej podstawy nie da się sensownie liczyć. Wyobraź sobie, że pasterz ma system o podstawie 1, co oznaczałoby, że posługuje się tylko liczebnikiem yan: 2 byłoby wtedy yan yan, a 3 – yan yan yan. 80 owiec to osiemdziesięciokrotne powtórzenie słowa yan. System taki jest nieprzydatny do liczenia powyżej 3. Dla odmiany wyobraź sobie, że każda liczba ma własną, unikalną nazwę – policzenie do 80 wymagałoby zapamiętania 80 niepowtarzalnych słów. Jak w ten sposób policzyć do 1000!

W wielu odizolowanych społecznościach nadal używa się niekonwencjonalnych podstaw. Na przykład Indianie Arara z Amazonii liczą dwójkami, a liczby od 1 do 8 wyglądają następująco: anane, adak, adak anane, adak adak, adak adak anane, adak adak adak, adak adak adak anane, adak adak adak adak. Liczenie dwójkami nie stanowi wielkiego postępu w stosunku do liczenia jedynkami. Aby wyrazić liczbę 100, trzeba powtórzyć adak 50 razy z rzędu – targowanie się o cenę byłoby więc dość czasochłonne. W Amazonii spotyka się również systemy, w których liczby grupowane są trójkami i czwórkami.

Dobry system liczbowy powinien mieć podstawę wystarczająco dużą, by takie liczby jak 100 wymawiać bez zadyszki, a jednocześnie nie za dużą, by nie trzeba było nadwerężać pamięci. Na przestrzeni dziejów najczęściej stosowano podstawy 5, 10 i 20, co podyktowane było oczywistymi względami. Liczby te wywodzą się z ludzkiego ciała. Mamy 5 palców u jednej ręki, więc 5 to pierwsze oczywiste miejsce na oddech w czasie liczenia od 1 w górę. Kolejna naturalna przerwa następuje po dwóch rękach, czyli 10 palcach, potem zaś po rękach i nogach, czyli po 20 palcach. (Niektóre systemy mają charakter mieszany. Słownik pasterzy z Lincolnshire zawierał podstawę 5 i 10, a także 20: pierwsza dziesiątka liczb jest niepowtarzalna, a następna dziesiątka pogrupowana jest w piątki). Rola palców w liczeniu ma swoje odzwierciedlenie w wielu nazwach liczebników, zwłaszcza w podwójnym znaczeniu nazw cyfr. Na przykład po rosyjsku 5 to pjat’, a słowo oznaczające śródręcze, które składa się z 5 kości długich, to pjast’. Podobnie sanskryckie słowo znaczące pięć, pantcha, spokrewnione jest z perskim pentcha – dłoń.

Od kiedy człowiek zaczął liczyć, posiłkował się palcami – nie ma przesady w stwierdzeniu, że właśnie wielofunkcyjności naszych palców zawdzięczamy sporą część postępu naukowego. Słusznie można by przypuszczać, że gdyby ludzie rodzili się z tępymi kikutami na końcu rąk i nóg, to intelektualnie nie wyszliby poza epokę kamienia. Przed upowszechnieniem się papieru i ołówka liczby często przekazywano za pomocą skomplikowanego języka migowego. W VIII wieku Beda Czcigodny, nortumbryjski mnich i wszechstronny uczony, przedstawił system liczenia do miliona, który był tyleż arytmetyką, co ekwilibrystyką. Jedności i dziesiątki były przedstawiane za pomocą palców lewej ręki, a setki i tysiące za pomocą prawej. Wyższe rzędy wielkości wyrażano przez przesuwanie dłoni w górę i w dół ciała. Tak Beda – w dość nielicujący z jego pobożnością sposób – opisał, jak pokazać 90 000: „chwyć swoje lędźwie lewą ręką, kciuk kierując w stronę genitaliów”. O wiele bardziej sugestywny był znak miliona wyrażający samozadowolenie i poczucie sukcesu: ściśnięte dłonie ze splecionymi palcami.

Liczenie na palcach zaprezentowane w podręczniku „ojca współczesnej rachunkowości” Luki Paciolego Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità (1494).

Jeszcze paręset lat temu żaden szanujący się podręcznik do arytmetyki nie mógł się obejść bez schematów liczenia na palcach. Dzisiaj jest to w dużej mierze sztuka zapomniana, ale utrzymuje się w niektórych częściach świata. Gdy handlarze w Indiach chcą ukryć swoje transakcje przed niepożądanym wzrokiem, dotykają knykci pod suknem lub połami ubrania. W Chinach z kolei opracowano pomysłową – choć może nieco zbyt skomplikowaną – metodę liczenia do 10 miliardów minus 1, czyli do 9 999 999 999. Każdy palec ma 9 umownych punktów – po 3 na każdej linii zgięcia, jak pokazano na rysunku na następnej stronie. Punkty na małym palcu prawej ręki oznaczają liczby od 1 do 9, na palcu serdecznym – liczby od 10 do 90, a na palcu środkowym – od 100 do 900 i tak dalej. Każdy następny palec symbolizuje kolejną potęgę 10. Można zatem na palcach policzyć wszystkich ludzi na Ziemi i w ten sposób zmieścić w dłoniach cały świat.

W tym chińskim systemie każdy palec ma 9 punktów oznaczających cyfry od 1 do 9 dla każdego rzędu wielkości, więc dotykając lewą ręką odpowiednich punktów na prawej ręce, można wyrazić dowolną liczbę do 10⁵ – 1. Po zamianie rąk otrzymujemy kolejne liczby do 10¹⁰ – 1. Zero nie jest potrzebne, ponieważ kiedy nie ma wartości związanych z jakimś palcem, po prostu się je pomija.

W niektórych kulturach do liczenia używa się również innych części ciała, nie tylko palców u rąk i nóg. Pod koniec XIX wieku na wyspy w Cieśninie Torresa, oddzielającej Australię od Nowej Gwinei, dotarła ekspedycja brytyjskich antropologów. Przybysze odkryli tam społeczność, która zaczynała liczyć od małego palca prawej ręki na oznaczenie 1, serdecznego palca prawej ręki na 2 i dalej przez kolejne palce do prawego nadgarstka oznaczającego 6, prawego łokcia oznaczającego 7, i tak przez bark, mostek, lewe ramię i dłoń, stopy i nogi, kończąc na małym palcu prawej nogi, który oznaczał 33. Późniejsze ekspedycje i badania odkryły w tym regionie wiele społeczności posługujących się podobnymi systemami liczenia na częściach ciała.

Najosobliwszym systemem liczenia dysponuje chyba Yupno, papuaski lud, w którym każdy ma własną krótką melodię przypisaną mu niczym imię czy indywidualny sygnał dźwiękowy. System Yupno obejmuje nozdrza, oczy, sutki, pępek, a jego kulminację stanowią 31 – lewe jądro, 32 – prawe jądro i 33 – penis. Można by zastanawiać się nad znaczeniem liczby 33 w 3 wielkich religiach monoteistycznych (wiek chrystusowy, długość panowania króla Dawida i liczba koralików w muzułmańskim sznurze modlitewnym), ale w fallicznej liczbie Yupno szczególnie intrygujące jest to, że sami Yupno traktują ją bardzo wstydliwie. Mówią o liczbie 33 w sposób eufemistyczny, używając omówień typu „męska rzecz”. Badacze nie byli w stanie stwierdzić, czy kobiety używają tych samych określeń, ponieważ nie powinny znać systemu liczbowego i odmawiały odpowiedzi na pytania. Górną granicą w języku Yupno jest 34 – „jeden martwy człowiek”.

Jeden martwy Yupno.

Systemów opartych na dziesiątce używa się na Zachodzie od tysięcy lat. Mimo harmonijności z naszym ciałem często jednak je kwestionowano, pytając, czy stanowią najrozsądniejszą podstawę do liczenia. Niektórzy twierdzili wręcz, że właśnie ze względu na cielesny rodowód jest to bardzo zły wybór. Król Szwecji Karol XII odrzucił system dziesiętny jako wytwór przebierającego palcami „prostego wiejskiego ludu”. Uważał, że nowoczesnej Skandynawii potrzebny jest system „o większej praktyczności i szerszym zastosowaniu”. Dlatego w 1716 roku nakazał uczonemu Emanuelowi Swedenborgowi opracowanie nowego systemu o podstawie 64. Tę imponującą liczbę wybrał dlatego, że wywodzi się od sześcianu 4 · 4 · 4. Karol, który walczył – i przegrał – w wielkiej wojnie północnej, uważał, że przyjęcie za podstawę liczby sześciennej ułatwi obliczenia wojskowe, na przykład mierzenie objętości skrzynek z prochem strzelniczym. Ale, jak napisał Wolter, pomysł króla „świadczył jedynie o tym, że kochał to, co trudne i nadzwyczajne”. Podstawa 64 wymaga 64 niepowtarzalnych nazw (i symboli) na oznaczenie liczb – co jest nieprawdopodobnie niewygodnym systemem. Swedenborg uprościł więc system do ósemkowego i wymyślił nowy zapis, w którym 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 przemianowano na o, l, s, n, m, t, f, ŭ. W tym systemie l + l = s, a m · m = so. (Same nazwy nowych liczb były dość niezwykłe. Potęgi 8, zapisywane lo, loo, looo, loooo i looooo, należało wymawiać, czy raczej jodłować, lu, lo, li, le i la). Jednak w 1718 roku, na krótko przed upływem terminu, w którym Swedenborg miał zaprezentować nowy system, władca zginął od kuli – a wraz z nim odeszło w niepamięć jego ósemkowe marzenie.

W jednym nie można odmówić Karolowi XII racji. Dlaczego trzymać się systemu dziesiętnego tylko z tego powodu, że wywodzi się od liczby palców u rąk i nóg? Gdybyśmy wyglądali jak bohaterowie bajek Disneya i mieli po cztery palce u rąk, niemal na pewno żylibyśmy w świecie ósemkowym: dawali oceny w skali do 8, robili zestawienia najlepszej ósemki utworów na liście przebojów i mieli ośmiogroszowe monety. Matematyka nie zmieniłaby się z powodu alternatywnego sposobu grupowania liczb. Wojowniczy Szwed miał słuszność, kiedy pytał, jaka podstawa najbardziej odpowiada naszym potrzebom naukowym, zamiast ślepo stosować tę, która odpowiada naszej anatomii.

Pod koniec lat 70. XX wieku w Chicago Michael de Vlieger oglądał kreskówki w sobotnim porannym paśmie telewizyjnym. Ścieżkę dźwiękową jednej z nich tworzyły denerwujące fałszywe akordy grane na fortepianie, gitarowe „łaa-łaa” i groźny kontrabas. Pod rozgwieżdżonym niebem, na którym błyszczał księżyc w pełni, pojawił się osobliwy człekopodobny stwór. Miał jasne włosy i długi nos i zgodnie z glamrockową modą tego okresu nosił cylinder i frak w niebiesko-białe paski. Jakby tego było mało, u obu rąk i nóg miał po 6 palców.

– Było to nieco dziwne, trochę straszne – wspominał Michael.

Tak rozpoczął się program edukacyjny Little Twelvetoes o systemie dwunastkowym.

– Myślę, że większość mieszkańców Ameryki nie miała pojęcia, o co chodzi. Ale dla mnie to było odlotowe.

Dzisiaj Michael ma 38 lat. Spotkaliśmy się w jego biurze znajdującym się nad sklepami w mieszkaniowej części Saint Louis w stanie Missouri. Michael ma gęste czarne włosy z kilkoma siwymi kosmykami, okrągłą twarz, ciemne oczy i ziemistą cerę. Jako syn mieszanej pary – matka jest Filipinką, a ojciec biały – w dzieciństwie padał ofiarą drwin. Ponieważ był bystrym i wrażliwym chłopcem o żywej wyobraźni, postanowił wymyślić własny język, żeby koledzy z klasy nie mogli czytać jego zapisków. Pod wpływem Little Twelvetoes tak samo postąpił z liczbami i przyjął system dwunastkowy.

System dwunastkowy ma 12 cyfr: od 0 do 9 oraz dodatkowe oznaczające 10 i 11. Standardowy zapis cyfr „pozadziesiętnych” to dek i el. Do 12 liczy się więc tak: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dek, el, 10.

Nowym pojedynczym cyfrom trzeba było nadać nowe nazwy, i tak dek to dek, a el – el. Poza tym na 10 mówi się do, od skróconego słowa dozen, czyli „tuzin”, by uniknąć pomyłki z 10 w systemie dziesiętnym. Licząc w górę od do w systemie dwunastkowym, czyli tuzinowym, mamy do one, czyli 11, do two – 12, do three – 13 i tak dalej aż do twodo oznaczającego 20 (resztę liczb możesz zobaczyć obok).

Michael stworzył również kalendarz oparty na systemie dwunastkowym. Każda data to liczba dni obliczona w systemie dwunastkowym od dnia, w którym się urodził. Nadal go używa i później powiedział mi, że odwiedziłem go w 80el9 dniu jego życia.

Michael przyjął system dwunastkowy ze względów bezpieczeństwa, ale nie on jeden zakochał się w jego urokach. Wielu poważnych myślicieli przekonywało, że 12 jest lepszą podstawą dla systemu liczbowego, ponieważ liczba ta jest bardziej uniwersalna niż 10. System dwunastkowy jest w istocie czymś więcej niż tylko systemem liczbowym – to sprawa polityczno-matematyczna. Jednym z jej pierwszych orędowników był Joshua Jordaine, który w 1687 roku własnym sumptem wydał dzieło Duodecimal Arithmetick. Twierdził w nim, że „nie ma nic bardziej naturalnego i autentycznego” od liczenia dwunastkami. W XIX wieku do grona znanych dwunastkofilów należeli Isaac Pitman, który zasłynął jako twórca popularnego systemu stenografii, oraz socjolog Herbert Spencer. Spencer namawiał do reformy systemu liczbowego w imieniu „ludzi pracy, ludzi o niskich dochodach oraz drobnych sklepikarzy, którzy dbają o ich potrzeby”. Kolejnym entuzjastą był amerykański wynalazca i inżynier John W. Nystrom. Nazwał on system o podstawie dwanaście duodenal – „dwunastniczym”, co było chyba najbardziej niefortunnym dwuznacznikiem w dziejach nauki.

Liczby dwunastkowe od 1 do 100.

Powodem, dla którego dwunastkę można uznać za lepszą od dziesiątki, jest jej podzielność: 12 da się podzielić przez 2, 3, 4 oraz 6, natomiast 10 tylko przez 2 i 5. Zwolennicy systemu dwunastkowego twierdzą, że na co dzień zdecydowanie łatwiej byłoby nam dzielić przez 3 lub 4 niż przez 5. Wyobraź sobie, że jesteś sklepikarzem. Jeśli masz 12 jabłek, możesz podzielić je na 2 siatki po 6, 3 siatki po 4, 4 siatki po 3 lub 6 siatek po 2 jabłka. Jest to o wiele wygodniejsze niż 10, które da się podzielić równo jedynie na 2 siatki po 5 jabłek lub 5 siatek po 2 jabłka. Zresztą samo słowo grocer (sklepikarz) jest reliktem upodobania kupców do dwunastki – pochodzi od „gross” (gros), oznaczającego tuzin tuzinów, czyli 144. Podzielność dwunastki wyjaśnia również praktyczny aspekt imperialnych jednostek miary: stopę liczącą 12 cali można podzielić bez reszty przez 2, 3 oraz 4, co bardzo ułatwia pracę krawcom i stolarzom.

Podzielność ma też znaczenie w tabliczce mnożenia. W każdym systemie liczbowym najłatwiej zapamiętać mnożenie liczb, przez które dzieli się podstawa danego systemu. Dlatego właśnie w systemie dziesiętnym tak łatwo recytuje się mnożenie przez 2 i 5 – ich iloczyny to liczby parzyste oraz liczby zakończone na 5. Analogicznie w systemie dwunastkowym najprostsze jest mnożenie przez dzielniki podstawy: 2, 3, 4 i 6.

2 · 1 = 2 | 3 · 1 = 3 | 4 · 1 = 4 | 6 · 1 = 6
2 · 2 = 4 | 3 · 2 = 6 | 4 · 2 = 8 | 6 · 2 = 10
2 · 3 = 6 | 3 · 3 = 9 | 4 · 3 = 10 | 6 · 3 = 16
2 · 4 = 8 | 3 · 4 = 10 | 4 · 4 = 14 | 6 · 4 = 20
2 · 5 = dek | 3 · 5 = 13 | 4 · 5 = 18 | 6 · 5 = 26
2 · 6 = 10 | 3 · 6 = 16 | 4 · 6 = 20 | 6 · 6 = 30
2 · 7 = 12 | 3 · 7 = 19 | 4 · 7 = 24 | 6 · 7 = 36
2 · 8 = 14 | 3 · 8 = 20 | 4 · 8 = 28 | 6 · 8 = 40
2 · 9 = 16 | 3 · 9 = 23 | 4 · 9 = 30 | 6 · 9 = 46
2 · dek = 18 | 3 · dek = 26 | 4 · dek = 34 | 6 · dek = 50
2 · el = 1dek | 3 · el = 29 | 4 · el = 38 | 6 · el = 56
2 · 10 = 20 | 3 · 10 = 30 | 4 · 10 = 40 | 6 · 10 = 60

Jeśli przyjrzysz się ostatnim cyfrom w każdej kolumnie, zobaczysz rzucającą się oczy prawidłowość. Kolumna z mnożeniem przez 2 zawiera wszystkie liczby parzyste. Kolumna z mnożeniem przez 3 zawiera wszystkie liczby zakończone na 3, 6, 9 oraz 0. Kolumna czwórki to liczby zakończone na 4, 8 i 0, a kolumna szóstki składa się wyłącznie z liczb z końcówką 6 lub 0. Innymi słowy, przy podstawie 12 kolumny z mnożeniem przez 2, 3, 4 i 6 mamy za friko. Dużo dzieci ma problemy z opanowaniem tabliczki mnożenia, więc przejście na system dwunastkowy byłoby doprawdy bardzo humanitarnym uczynkiem. Tak przynajmniej się argumentuje.

Kampanii na rzecz dwunastki nie należy mylić z krucjatą przeciwko systemowi metrycznemu prowadzoną przez wielbicieli miar imperialnych. Dla tych, którzy wolą stopy i cale od metrów i centymetrów, nie ma znaczenia, czy jedna stopa będzie miała 12 cali czy 10 cali, jak byłoby w systemie tuzinowym. Z historycznego punktu widzenia motorem napędowym kampanii na rzecz dwunastki była szowinistyczna antyfrancuskość. Najdobitniejszym chyba przykładem takiego stanowiska jest broszura z 1913 roku autorstwa inżyniera kontradmirała George’a Elbrowa, w której określił on francuski system metryczny mianem „wstecznego”. Opublikował również listę dat panowania królów i królowych Anglii w systemie dwunastkowym. Zauważył ponadto, że Wielka Brytania padała ofiarą podboju wkrótce po rozpoczęciu nowego tysiąclecia dziesiętnego – w 43 roku naszej ery przez Rzymian i w 1066 roku przez Normanów. „A jeśli na początku [III tysiąclecia] – wieszczył – te dwa [państwa] ponownie ruszą w tym samym kierunku i tym razem wspólnie?”. Stwierdził, że najazdowi ze strony Francji i Włoch można by w prosty sposób zapobiec przez zapisanie roku 1913 zgodnie z systemem tuzinowym jako 1135, odwlekając tym samym nadejście III tysiąclecia o kilka wieków.

Najsłynniejszym tuzinowym wezwaniem do broni był artykuł pisarza F. Emersona Andrewsa w „The Atlantic Monthly” z października 1934 roku, który doprowadził do utworzenia Duodecimal Society of America, w skrócie DSA. (Później towarzystwo zmieniło nazwę na The Dozenal Society of America, czyli Amerykańskie Towarzystwo Tuzinowe, ponieważ słowo duodecimal uznano za zbyt nawiązujące do nazwy systemu dziesiątkowego, który zamierzano zastąpić, czyli decimal). Andrews twierdził, że system dziesiętny został przyjęty z „niewybaczalną krótkowzrocznością”, i zastanawiał się, czy odejście od niego „byłoby aż takim strasznym poświęceniem”. Na początku DSA wymagało, by kandydaci na członków zdawali 4 testy z arytmetyki tuzinowej, ale szybko zrezygnowano z tego warunku. Wydawany do dziś „The Duodecimal Bulletin” to znakomite czasopismo i jedyne poza literaturą medyczną miejsce, w którym można znaleźć artykuły na temat heksadaktylii, czyli wady rozwojowej polegającej na występowaniu szóstego palca. (Jest ona częstsza, niż się wydaje. Na około 500 osób 1 rodzi się z nadliczbowym palcem u ręki lub nogi). W 1959 roku powstała bliźniacza organizacja The Dozenal Society of Great Britain, a rok później odbyła się we Francji pierwsza międzynarodowa konferencja duodecymalna. Okazała się ona zarazem ostatnią. Niemniej jednak członkowie obu towarzystw nadal toczą batalię o tuzinową przyszłość, uważając się za uciskanych bojowników występujących przeciwko „tyranii dziesiątki”.

Logo DSA.

Młodzieńcza fascynacja Michaela de Vliegera systemem dwunastkowym nie minęła mu z wiekiem – dzisiaj Michael jest prezesem DSA. Jest tak zagorzałym zwolennikiem tego systemu, że używa go nawet w pracy do projektowania cyfrowych modeli architektonicznych.

Choć podstawa 12 z pewnością ułatwia naukę tabliczki mnożenia, jej największą zaletą jest to, jak radzi sobie z ułamkami. System dziesiętny często wypada niechlujnie w dzieleniu. Na przykład jedna trzecia z 10 to 3,33… z trójkami ciągnącymi się w nieskończoność. Jedna czwarta z 10 to 2,5, które wymaga użycia przecinka dziesiętnego. W systemie dwunastkowym natomiast jedna trzecia z 10 to 4, a jedna czwarta to 3. Elegancko. W ujęciu procentowym jedna trzecia staje się 40 procentami, a jedna czwarta 30 procentami. (Oczywiście teraz poprawnie należałoby mówić nie o 40 procentach czy setnych, lecz o 40 grosowych). Rzeczywiście, jeśli przyjrzymy się dzieleniu 100 przez liczby od 1 do 12, widać, że w systemie dwunastkowym wychodzą zwięźlejsze liczby (zwróć uwagę na średniki w prawej kolumnie, które są tuzinowym odpowiednikiem przecinka z systemu dziesiętnego).

Ułamek ze 100 | System dziesiętny | System tuzinowy
jeden | 100 | 100
jedna druga | 50 | 60
jedna trzecia | 33,333… | 40
jedna czwarta | 25 | 30
jedna piąta | 20 | 24;97…
jedna szósta | 16,666… | 20
jedna siódma | 14,285… | 18;6χ35…
jedna ósma | 12,5 | 16
jedna dziewiąta | 11,111… | 14
jedna dziesiąta | 10 | 12;497…
jedna jedenasta | 9,09… | 11;11…
jedna dwunasta | 8,333… | 10

Właśnie dzięki większej precyzji system dwunastkowy lepiej sprawdza się w pracy Michaela. Choć klienci podają mu wymiary dziesiętne, on woli przekładać je na tuzinowe.

– Mam więcej możliwości dzielenia na proste proporcje – wyjaśnił. – Bez [niechlujnych] ułamków łatwiej mi uzgodnić poszczególne elementy. Czasami z powodu ograniczeń czasowych lub zmian w ostatniej chwili muszę szybko wprowadzić wiele modyfikacji w jakimś miejscu, które nie pasują do wcześniej ustalonej siatki. Dlatego potrzebne są przewidywalne stosunki. W systemie dwunastkowym mam więcej możliwości do wyboru, bardziej schludnych i szybciej mi idzie.

Michael uważa, że posługiwanie się systemem dwunastkowym zapewnia jego firmie przewagę, którą porównuje do przewagi, jaką zyskują nad konkurencją kolarze i pływacy golący nogi.

DSA chciało dawniej zastąpić system dziesiętny tuzinowym – i jego fundamentalistyczne skrzydło nadal do tego dąży – ale ambicje Michaela są dużo skromniejsze. Chce po prostu pokazać, że istnieje alternatywa dla systemu dziesiętnego i że być może lepiej odpowiada ona naszym potrzebom. Michael zdaje sobie sprawę z tego, że nie ma szans na to, by świat porzucił dix na rzecz douze. Taka zmiana byłaby i kłopotliwa, i kosztowna. Poza tym system dziesiętny większości ludzi wystarcza, zwłaszcza w epoce komputerów, w której umiejętności z zakresu arytmetyki pamięciowej nie są już tak nieodzowne.

– Powiedziałbym, że tuzin jest optymalną podstawą do ogólnych obliczeń, do codziennego użytku, ale – dodał – nie mam zamiaru nikogo nawracać.

Obecnie DSA dąży do wprowadzenia cyfr oznaczających dek i el do Unicode, czyli zestawu znaków tekstowych stosowanych w większości komputerów. W towarzystwie tuzinowym toczy się poważna debata dotycząca wyboru symboli. Standardowe znaki dek i el, którymi posługuje się DSA, zostały zaprojektowane w latach 40. XX wieku przez Williama Addisona Dwigginsa, jednego z czołowych amerykańskich projektantów czcionek, twórcy takich krojów pisma, jak Futura, Caledonia czy Electra. Isaac Pitman wolał cyfra dwa odwrócona do góry nogami i el. Francuz Jean Essig preferował cyfra siedem odwrócona do góry nogami oraz cyfra dwa odwrócona do góry nogami. Niektórzy praktyczni członkowie forsują * i #, ponieważ znaki te znajdują się już wśród 12 przycisków na klawiaturze telefonu. Kwestią sporną są również same liczebniki. Manual of the Dozen System, napisany w 1960 roku (czyli w roku 1174 w systemie tuzinowym) podręcznik na temat systemu tuzinowego, zaleca nazwy dek, el i do (oraz gro na 100, mo na 1000, a dla kolejnych potęg do: do-mo, gro-mo, bi-mo oraz tri-mo). Proponowano też, by pozostawić ten, eleven i twelve, a po nich wprowadzić twel-one, twel-two i tak dalej. Temat terminologii jest tak drażliwy, że DSA stara się nie faworyzować żadnego systemu. Trzeba wielkiej ostrożności, by nie zmarginalizować zwolenników konkretnych symboli czy nazw.

W swoim zamiłowaniu do awangardowych systemów liczbowych Michael nie poprzestał na dwunastce. Eksperymentuje z systemem ósemkowym, którego używa czasem przy majsterkowaniu w domu.

– Używam systemów jak narzędzi – wyjaśnił.

Doszedł nawet do systemu sześćdziesiątkowego. Do 10 istniejących cyfr musiał zaprojektować 50 dodatkowych symboli. Nie kierował się praktycznym celem. Pracę w systemie sześćdziesiątkowym porównał do wspinania się na wysoką górę.

– Nie mogę tam zamieszkać. Zbyt wielkie zbiorowisko. W dolinie jest [system] dziesiętny i tam mogę oddychać. Ale mogę wybrać się na górę, żeby zobaczyć, jaki widok się z niej rozciąga.

Narysował tabelę dzielników w systemie sześćdziesiątkowym i z zachwytem wpatrywał się w widoczne prawidłowości.

– Jest w tym niewątpliwie pewne piękno – powiedział.

Choć system sześćdziesiątkowy wydaje się wytworem nadzwyczaj płodnej wyobraźni, w istocie ma bardzo długą historię. To najstarszy znany system liczbowy.

Jedną z najprostszych form zapisu liczbowego jest kij z karbami. Podobne rozwiązania stosowano na całym świecie. Inkowie liczyli, zawiązując węzełki na sznurkach, a ludzie jaskiniowi malowali znaki na skałach; od momentu wynalezienia drewnianych mebli niektórzy – przynajmniej w przenośni – robili nacięcia na wezgłowiu łóżka. Najstarszy odkryty „artefakt matematyczny” to kość z Lebombo – kość strzałkowa pawiana sprzed 35 000 lat znaleziona w jaskini w Suazi, która ma 29 wyrytych kresek. Być może oznaczają one cykl księżycowy.

Jak dowiedzieliśmy się w poprzednim rozdziale, ludzie potrafią natychmiast rozpoznać różnicę między jednym przedmiotem a dwoma przedmiotami, między dwoma przedmiotami a trzema, ale już powyżej czterech przedmiotów robi się to trudne. Tak samo jest z nacięciami. Aby liczyło się wygodnie, trzeba je pogrupować. W Wielkiej Brytanii przyjęła się konwencja stawiania czterech kresek pionowych i przekreślania ich ukośnie piątą – jest to tak zwana „furtka o pięciu sztachetach”. W Ameryce Południowej z pierwszych czterech kresek tworzy się kwadrat, a z piątej przekątną tego kwadratu. Japończycy, Chińczycy i Koreańczycy mają bardziej skomplikowaną metodę polegającą na konstruowaniu symbolu , który znaczy „poprawny” lub „właściwy”. (Jeśli trafi ci się okazja, by wpaść na sushi, poproś kelnera, żeby pokazał ci, jak podlicza dania).

Systemy stawiania kresek na świecie.

Około 8000 lat przed naszą erą w całym świecie starożytnym pojawił się zwyczaj używania małych kawałków gliny na oznaczenie przedmiotów. Takie „żetony” pierwotnie służyły do rejestrowania liczby rzeczy, na przykład owiec do kupienia lub sprzedania. Odmienne żetony oznaczały różne przedmioty bądź liczby przedmiotów. Odtąd owce można było liczyć zaocznie, co znacznie ułatwiło prowadzenie handlu i hodowli. Tak narodziły się dzisiejsze liczby.

W IV tysiącleciu przed naszą erą w Sumerze, czyli na terenie obecnego Iraku, system żetonów przekształcił się w pismo: zaostrzoną trzciną wyciskano znaki w miękkiej glinie. Liczby przedstawiano na początku w postaci kółek lub kształtu paznokcia. Około 2700 roku przed naszą erą rylec miał już płaskie ostrze, a odciski przypominały bardziej ślady ptasich stóp, różnym liczbom odpowiadały konkretne odciski. Pismo to, nazwane klinowym, zapoczątkowało długą historię zachodnich systemów pisma. Jest coś cudownie paradoksalnego w tym, że literatura powstała jako produkt uboczny zapisu liczbowego wynalezionego przez mezopotamskich rachmistrzów.

W piśmie klinowym tylko liczby 1, 10, 60 oraz 3600 miały swoje symbole, z czego wynika, że system ten był mieszanką sześćdziesiątkowego i dziesiętnego, ponieważ podstawowy zestaw liczb klinowych przekłada się na 1, 10, 60 i 60 · 60. Dlaczego Sumerowie grupowali liczby w sześćdziesiątki, pozostaje jedną z największych nierozwiązanych zagadek w historii arytmetyki. Niektórzy przypuszczają, że był to wynik połączenia wcześniejszych systemów, piątkowego i dwunastkowego, ale nie znaleziono rozstrzygających dowodów na poparcie tej tezy.

Babilończycy, którzy osiągnęli ogromny postęp w matematyce i astronomii, przyjęli sumeryjski system sześćdziesiątkowy, później zaś Egipcjanie, a za nimi Grecy wypracowali metody liczenia czasu, wzorując się na sposobie babilońskim – dlatego w dalszym ciągu minutę dzielimy na 60 sekund, a godzinę na 60 minut. Tak bardzo przywykliśmy do określania czasu w systemie sześćdziesiątkowym, że nigdy go nie kwestionujemy, choć wcale nie jest to oczywiste. Rewolucyjna Francja chciała pozbyć się tej niespójności z systemem dziesiętnym. Konwent Narodowy, wprowadzając w 1793 roku metryczny system miar i wag, próbował narzucić dziesiętny system czasu. Podpisano dekret stanowiący, że dzień dzielić się będzie na 10 godzin po 100 minut, a minuta liczyć będzie 100 sekund. Wyszło dość zgrabnie – dzień miał 100 000 sekund zamiast 86 400 (60 · 60 · 24). Rewolucyjna sekunda była zatem odrobinę krótsza od zwykłej sekundy. Czas dziesiętny zaczął obowiązywać w 1794 roku, produkowano nawet zegarki z dziesięciogodzinnymi tarczami, takie jak ten pokazany obok. Nowy system okazał się jednak dezorientujący i po pół roku został zarzucony. Godzina stuminutowa nie jest tak wygodna jak godzina sześćdziesięciominutowa, bo 100 nie ma tylu dzielników co 60: 100 można podzielić przez 2, 4, 5, 10, 20, 25 oraz 50, natomiast 60 przez 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 oraz 30. Porażka czasu dziesiętnego była jednocześnie małym zwycięstwem frakcji tuzinowej. Nie tylko jest 12 dzielnikiem 60, lecz także 24, czyli liczby godzin w dobie.

Klapę zrobiła również współczesna kampania na rzecz czasu dziesiętnego. W 1998 roku szwajcarski koncern Swatch zainaugurował czas internetowy (Swatch Internet Time), w którym dzień został podzielony na 1000 jednostek nazywanych beats, czyli uderzeniami (odpowiednik 1 minuty i 26,4 sekundy). Producent sprzedawał zegarki pokazujące jego „rewolucyjną wizję czasu” mniej więcej przez rok, by na koniec już bez fanfar usunąć je z katalogu.

Rewolucyjny zegarek z tarczą dziesiętną i tradycyjną.

Francuzi i Szwajcarzy nie są jednak jedynymi zachodnimi nacjami, które w niezbyt odległej przeszłości posługiwały się dziwacznymi metodami liczenia. Karbowanych deszczułek, które stały się przestarzałe już w chwili, kiedy pierwszy Sumeryjczyk odcisnął pierwszą tabliczkę klinową, używano w Wielkiej Brytanii jako waluty aż do 1826 roku. Bank Anglii emitował tally sticks, których wartość monetarną określała odległość nacięcia od podstawy. W dokumencie datowanym na rok 1180 lord skarbnik Richard Fitzneal ustalił te wartości w sposób następujący:

1000 — funtów grubość dłoni

100 funtów — szerokość kciuka

20 funtów — szerokość małego palca

1 funt — grubość napęczniałego ziarna jęczmienia

Skarb Państwa stosował właściwie system split tallies: kawałek drewienka rozszczepiano wzdłuż na 2 części – stock i foil; daną wartość zaznaczano na połówce stock oraz na połówce foil, co było rodzajem pokwitowania. Gdybym pożyczył pieniądze Bankowi Anglii, otrzymałbym stock z naciętym karbem oznaczającym kwotę. To wyjaśnia pochodzenie słów stockholder (akcjonariusz, ang. holder znaczy „posiadacz”) i stockbroker (makler, ang. broker znaczy „pośrednik”). Bank zatrzymałby zaś foil z analogicznym nacięciem.

Zwyczaj ten zarzucono zaledwie 200 lat temu. W 1834 roku Skarb Państwa postanowił spalić przestarzałe drewienka w piecu pod Pałacem Westminsterskim, czyli siedzibą brytyjskiego parlamentu. Ogień jednak wymknął się spod kontroli. Charles Dickens napisał: „Od pieca zapchanego ponad miarę tymi idiotycznymi patykami zajęła się boazeria, od boazerii zajęła się Izba Lordów, od Izby Lordów zajęła się Izba Gmin; obie izby spaliły się doszczętnie”. Różne instrumenty finansowe wpływają na pracę rządu, ale tylko karbowane deszczułki obaliły parlament. Przy okazji odbudowy pałacu wzniesiono wieżę zegarową, która szybko stała się najbardziej charakterystyczną budowlą Londynu i znana jest jako Big Ben.

¹ Tak naprawdę o skali logarytmicznej można mówić wtedy, gdy liczby zbliżają się do siebie w określony sposób. Skalę tę omówiono szerzej na stronie 229.

² George Orwell, Rok 1984, przekł. Tomasz Mirkowicz, PIW, Warszawa 1988, s. 61 (przyp. red.).

³ Relację z zawodów ogólnokrajowych, które miały miejsce w 2012 roku, można przeczytać i obejrzeć na blogu autora: http://www.guardian.co.uk/science/alex-adventures-in-numberland/2012/oct/29/mathematics (przyp. red.).

⁴ Filmik dokumentujący to zadanie można obejrzeć na kanale YouTube autora: http://www.youtube.com/user/AlexInNumberland (przyp. red.).

⁵ Filmik dokumentujący to zadanie można obejrzeć na kanale YouTube autora: http://www.youtube.com/user/AlexInNumberland (przyp. red.).

⁶ Mowa tu o rozszerzonej, dwudziestosiedmioliterowej wersji alfabetu – klasyczny wariant składa się z 24 liter (przyp. red.).

⁷ Grupa 8 bóstw w indyjskim eposie Mahabharata.

⁸ Przekład za stroną: http://www.adamklimowski.pl/matematyka-wedyjska.html (przyp. red.).

⁹ Zbiornik wody na kapłańskim dziedzińcu świątyni (przyp. red.).

¹⁰ Biblia Tysiąclecia Online, 1 Krl 7,23, Wydawnictwo Pallottinum, Poznań 2003 (przyp. red.).

¹¹ Niektóre definicje zaliczają do liczb naturalnych 0 (przyp. red.).

¹² Należała do nich Wisława Szymborska, która w wydanym w 1976 roku tomiku Wielka liczba zamieściła wiersz Liczba Pi (przyp. red.).

¹³ Stała matematyczna e to liczba niewymierna zaczynająca się od 2,718281828, którą Gregory Chudnovsky nazywa „podwójnym Tołstojem”, ponieważ rosyjski pisarz urodził się w 1828 roku. Nie ma żadnego związku z równaniem Einsteina E=mc², w którym E oznacza energię.

ROZDZIAŁ PIĄTY
Niewiadoma x

Matematycy zazwyczaj lubią sztuczki magiczne. Bywają one zabawne i często skrywają w sobie interesującą teorię. Oto klasyczna sztuczka, która przy okazji w zgrabny sposób ukazuje zalety algebry. Wybierz dowolną liczbę trzycyfrową, w której pierwsza cyfra różni się od ostatniej przynajmniej o 2 – na przykład 753. Zapisz tę liczbę od końca: 357, a następnie odejmij mniejszą liczbę od większej: 753 – 357 = 396. Dodaj tę liczbę do jej wersji wspak: 396 + 693. Suma wynosi 1089.

Spróbuj ponownie z inną liczbą, powiedzmy 421.

421 – 124 = 297

297 + 792 = 1089

Wynik jest taki sam. Tak naprawdę nie ma znaczenia, od jakiej trzycyfrowej liczby zaczniesz, zawsze na koniec otrzymasz 1089. Jak za dotknięciem czarodziejskiej różdżki znikąd pojawia się 1089 – niczym skała pośród ruchomych piasków losowo wybranych liczb. Fakt, że zaczynając od dowolnego punktu wyjścia, po paru prostych działaniach otrzymujemy ten sam wynik, wprawia w konsternację. Ma to jednak swoje wytłumaczenie i wkrótce je poznamy. Tajemnica powracającego 1089 wyjaśnia się niemal od razu, gdy problem zostanie zapisany za pomocą symboli zamiast liczb.

Choć zabawy liczbami są powracającym motywem w historii odkryć matematycznych, sama matematyka narodziła się jako narzędzie do rozwiązywania problemów praktycznych. Papirus Rhinda, który pochodzi mniej więcej z 1600 roku przed naszą erą, to najobszerniejszy zachowany staroegipski dokument matematyczny. Zawiera 84 problemy dotyczące takich dziedzin, jak miernictwo, rachunkowość czy sposób podziału danej liczby bochenków na daną liczbę ludzi.

Egipcjanie formułowali problemy w sposób retoryczny. W problemie 30. papirusu Rhinda pada pytanie: „Jeśli skryba mówi, jaka jest sterta, której \frac{2} + \frac{1} wyniesie 10, niech posłucha”. „Sterta” to określenie niewiadomej, obecnie oznaczanej za pomocą x, który jest podstawowym i niezbędnym symbolem współczesnej algebry. Dzisiaj powiedzielibyśmy, że w problemie 30. zawarte jest pytanie, ile wynosi x, jeśli \frac{2} + \frac{1} pomnożone przez x równa się 10. Lub zwięźlej: ile wynosi x, jeśli (\frac{2} + \frac{1}) x = 10?

Ponieważ Egipcjanie nie mieli symbolicznych narzędzi, jakimi obecnie dysponujemy, nawiasy, znaki równości czy iksy, rozwiązywali powyższe zadanie metodą prób i błędów. Najpierw szacowali niewiadomą, a potem ustalali odpowiedź. Metoda ta nazywa się „regułą falsi” i przypomina nieco grę w golfa. Kiedy piłka upadnie na green, łatwiej zobaczyć, jak umieścić ją w dołku. Analogicznie, jak już mamy jakąś odpowiedź, choćby złą, wiemy, jak zbliżyć się do poprawnej. Współczesna metoda rozwiązania polega natomiast na połączeniu ułamków w równanie ze zmienną x w taki sposób, że:

(\frac{2} + \frac{1}) x = 10

co równa się

(\frac{20}{30} + \frac{3}{30}) x = 10

czyli

\frac{23}{30} x = 10

co dalej upraszcza się do

x = 10 · \frac{30}{23}

i na koniec

Zapis symboliczny bardzo ułatwia życie.

Egipski hieroglif oznaczający dodawanie to , para nóg idących od prawej do lewej. Odejmowanie oznaczano za pomocą , pary nóg idących od lewej do prawej. Symbole działań arytmetycznych ewoluowały tak jak cyfry.

Egipcjanie nie mieli jednak symbolu na oznaczenie niewiadomej, nie mieli go też Pitagoras czy Euklides. Dla nich matematyka była geometryczna, związana z tym, co można skonstruować. Niewiadoma wymagała wyższego poziomu abstrakcji. Pierwszym matematykiem greckim, który wprowadził symbol niewiadomej, był Diofantos, który używał litery sigma (\Sigma). Kwadrat niewiadomej oznaczał jako ΔY, a sześcian jako KY. Choć zapis taki był wówczas przełomem, ponieważ umożliwiał bardziej zwięzłe wyrażanie problemów, jednocześnie dezorientował, ponieważ w przeciwieństwie do x, x² i x³ nie zachodził oczywisty wizualny związek między \Sigma a jego potęgami ΔY i KY. Jednak mimo niedostatków tych symboli Grek przeszedł do historii jako ojciec algebry.

Diofantos żył w Aleksandrii między I a III wiekiem naszej ery. O jego życiu prywatnym wiadomo tyle, ile mówi zagadkowe epitafium, które znalazło się w greckim zbiorze łamigłówek i ponoć było wyryte na jego nagrobku:

Przechodniu! Pod tym kamieniem spoczywają prochy Diofantosa, który zmarł w głębokiej starości. Przez szóstą część swego długiego życia był dzieckiem, a dwunastą młodzieńcem. Przez następną siódmą część życia był nieżonatym. W pięć lat po pojęciu małżonki urodził się syn, który dożył do wieku dwakroć mniejszego od lat ojca. W cztery lata po śmierci syna zasnął snem wiecznym Diofantos, opłakiwany przez swych najbliższych. Powiedz, jeśli umiesz obliczyć, w jakim umarł on wieku?¹.

Słowa te zapewne nie są dokładnym opisem sytuacji rodzinnej Diofantosa, raczej hołdem złożonym człowiekowi, którego pomysłowy zapis zapoczątkował nowe metody rozwiązywania takich problemów, jak wyżej przytoczony. Możliwość jasnego wyrażania zdań matematycznych bez dezorientującej retoryki dała asumpt do powstania nowych technik. Zanim pokażę, jak rozwiązać epitafium, przyjrzyjmy się kilku z nich.

Algebra to termin ogólny oznaczający matematykę równań, w której liczby i działania zapisywane są za pomocą symboli. Samo słowo ma ciekawą historię. W średniowiecznej Hiszpanii zakłady balwierskie miały szyldy z napisem Algebrista y Sangrador. Wyrażenie to znaczy dosłownie „nastawiacz kości i upuszczacz krwi” i opisuje zakres usług świadczonych niegdyś przez balwierzy, czyli fryzjerów wykonujących też zabiegi lecznicze. (To dlatego popularny w Wielkiej Brytanii słupek przed męskim zakładem fryzjerskim pomalowany jest w czerwono-białe paski: czerwień symbolizuje krew, a biel bandaże).

Rdzeniem słowa algebrista jest arabskie al-dżabr, które oznacza nie tylko prymitywne metody chirurgiczne, lecz także przywracanie lub ponowne łączenie. W dziewięciowiecznym Bagdadzie Muhammad Ibn Musa Al-Chuwarizmi napisał podręcznik do matematyki zatytułowany Hisab al-dżabr w’al-mukabala (O odtwarzaniu i przeciwstawianiu). Objaśnia w nim 2 techniki rozwiązywania problemów arytmetycznych. Al-Chuwarizmi zapisywał problemy w sposób retoryczny, ale tutaj dla ułatwienia wyrazimy je za pomocą współczesnych symboli i terminologii.

Rozważmy równanie A = B – C.

Al-Chuwarizmi opisał „odtwarzanie” jako proces, w wyniku którego równanie przybiera postać A + C = B. Inaczej mówiąc, wyraz ujemny można zamienić na dodatni poprzez przeniesienie go na drugą stronę znaku równości.

A teraz rozważmy równanie A = B + C.

„Przeciwstawianie” to proces, który zmienia to równanie w A – C = B.

Dzięki współczesnemu zapisowi widzimy teraz, że zarówno „odtwarzanie”, jak i „przeciwstawianie” są przykładami ogólnej zasady, że cokolwiek robi się z jedną stroną równania, należy zrobić również z drugą. W pierwszym równaniu dodaliśmy C do obu stron. W drugim równaniu odjęliśmy C od obu stron. Ponieważ wyrażenia po obu stronach równania są z definicji równe, muszą tę równość zachować, kiedy po obu stronach doda się lub odejmie inny wyraz. Z tego wynika, że jeśli pomnożymy jedną stronę przez daną wielkość, musimy przez tę samą wielkość pomnożyć drugą stronę. To samo dotyczy dzielenia i innych działań.

Znak równości jest jak płot oddzielający ogrody 2 rywalizujących ze sobą rodzin. Cokolwiek Jonesowie zrobią w swoim ogródku, Smithowie po sąsiedzku powtórzą.

Arabski matematyk nie odkrył zasad „odtwarzania” i „przeciwstawiania” – działania te można znaleźć również u Diofantosa – ale kiedy dzieło Al-Chuwarizmiego przetłumaczono na łacinę, tytułowe al-dżabr stało się algebrą. Prace Al-Chuwarizmiego na temat algebry oraz hinduskiego systemu dziesiętnego tak rozpowszechniły się w Europie, że jego nazwisko zostało uwiecznione w postaci pojęcia naukowego: Al-Chuwarizmi przekształcił się w Algorismus, Algorithmus, a na koniec w algorytm.

Między XV a XVII stuleciem retoryczny opis zdań matematycznych zaczął ustępować pierwszeństwa zapisowi symbolicznemu. Miejsce słów powoli zajmowały litery. Diofantos zapoczątkował stosowanie symboli literowych, wprowadzając \Sigma jako niewiadomą, ale zwyczaj ten spopularyzował dopiero François Viète w szesnastowiecznej Francji. Viète zaproponował, by na oznaczenie niewiadomych używać pisanych wielką literą samogłosek A, E, I, O, U oraz Y, a wielkości znane zapisywać jako spółgłoski B, C, D i tak dalej.

Kilkadziesiąt lat po śmierci Viète’a Kartezjusz opublikował Rozprawę o metodzie. Zastosował w niej matematyczny sposób rozumowania do myśli ludzkiej. Zaczął od podania w wątpliwość swoich przekonań i po odrzuceniu wszystkiego pozostała mu jedynie pewność, że istnieje. Argument, że nie można wątpić we własne istnienie, ponieważ myślenie wymaga istnienia tego, kto myśli, został podsumowany w Rozprawie jako myślę, więc jestem. Zdanie to należy do najsłynniejszych cytatów wszech czasów, a książka uważana jest za kamień węgielny zachodniej filozofii. Kartezjusz pierwotnie zaplanował ją jako wstęp do 3 aneksów zawierających inne prace naukowe. Jeden z nich, La géométrie, okazał się równie przełomowy w historii matematyki.

W La géométrie Kartezjusz wprowadził zapis, który stał się standardową notacją algebraiczną. Jest to pierwsza publikacja wyglądająca jak współczesna książka do matematyki, pełna liter a, b i c oraz x, y i z. Kartezjusz zdecydował, by używać małych liter z początku alfabetu na wielkości znane i małych liter z końca alfabetu na niewiadome. Kiedy jednak książka była w druku, drukarzowi zaczęło brakować liter. Zapytał więc, czy ma jakieś znaczenie, czy używa x, y czy z. Kartezjusz odpowiedział, że nie, więc drukarz wybrał x, ponieważ w języku francuskim jest ono rzadziej używane niż y lub z. W rezultacie x utrwaliło się w matematyce – i kulturze w ogóle – jako symbol niewiadomej. Dlatego zjawiska paranormalne trafiają do Archiwum X i dlatego Wilhelm Roentgen zaproponował nazwę promienie X. Gdyby nie problemy z ograniczonym zapasem czcionki drukarskiej, na określenie nieuchwytnych cech gwiazdy przyjęłoby się może wyrażenie Y-factor, a przywódca politycznego ruchu czarnoskórych Amerykanów mógłby nazywać się Malcolm Z.

Symbolika Kartezjusza wymazała wszelkie ślady retoryki w zapisie. Równanie, które Luca Pacioli w 1494 roku ująłby jako:

4 Census p 3 de 5 rebus ae 0

a Viète zapisałby w 1591 roku w postaci:

4 in A quad – 5 in A plano + 3 aequatur 0

w 1637 roku Kartezjusz ostatecznie ustalił jako:

4x² – 5x + 3 = 0

Zastąpienie słów literami i symbolami nie było jedynie czymś w rodzaju wygodnej stenografii. Symbol x na początku stanowił tylko skrót od „niewiadomej”, ale raz wymyślony stał się potężnym narzędziem myślenia. Słowo czy skrót nie może być poddawane działaniom matematycznym w taki sposób, jak symbol w rodzaju x. Liczby umożliwiły liczenie, ale symbole literowe zaprowadziły matematykę daleko poza domenę języka.

W czasach, kiedy problemy opisywano w sposób retoryczny, jak w Egipcie, rozwiązywano je za pomocą pomysłowych, lecz dość chaotycznych metod. Ci najdawniejsi matematycy byli jak odkrywcy, którzy utknęli we mgle i musieli poruszać się po omacku, bez punktów orientacyjnych. Gdy jednak problem wyrażono za pomocą symboli, mgła ustąpiła, ukazując precyzyjnie nakreślony świat.

Cudowne w algebrze jest to, że często już samo zapisanie problemu w postaci symboli oznacza, iż problem został właściwie rozwiązany.

Spójrzmy na wspomniane wcześniej epitafium Diofantosa. W jakim wieku umarł? Jeśli literą D oznaczymy wiek, w którym zmarł Diofantos, to z epitafium wynika, że przez \frac{D}{6} lat był dzieckiem, przez kolejne \frac{D}{12} lat był młodzieńcem, a po kolejnych \frac{D}{7} lat się ożenił. Pięć lat później urodził mu się syn, który żył \frac{D}{2} lat, a cztery lata później sam Diofantos oddał ostatnie tchnienie. Suma tych wszystkich odstępów czasu wynosi D, ponieważ D to liczba lat, jakie przeżył Diofantos. A zatem:

Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb 6, 12, 7 i 2 jest 84, więc po sprowadzeniu do wspólnego mianownika:

Co z kolei można przekształcić do postaci:

Czyli:

Po skróceniu ułamka:

Przenosząc D na jedną stronę:

Po przemnożeniu obu stron przez odwrotność ułamka:

Ojciec algebry zmarł w wieku 84 lat.

Teraz możemy wrócić do sztuczki z początku rozdziału. Prosiłem o podanie trzycyfrowej liczby, w której pierwsza cyfra różni się od trzeciej przynajmniej o 2. Następnie poprosiłem o zapisanie liczby wspak – w ten sposób powstała druga liczba. Potem należało odjąć mniejszą liczbę od większej. Jeśli więc na początku było 614, po odwróceniu jest 416. Zatem 614 – 416 = 198. Na koniec poprosiłem o dodanie tego wyniku do jego odwróconej postaci. W tym wypadku jest to 198 + 891.

Tak jak poprzednio, wynik wynosi 1089. Zawsze taki będzie, a algebra wyjaśnia dlaczego. Najpierw jednak musimy znaleźć sposób opisania naszego bohatera, czyli trzycyfrowej liczby, w której pierwsza cyfra różni się od trzeciej przynajmniej o 2.

Rozważmy liczbę 614. Jest ona równa 600 + 10 + 4. Każdą trzycyfrową liczbę zapisaną jako abc można zapisać w postaci 100a + 10b + c (uwaga: abc w tym wypadku nie oznacza a · b · c). Nazwijmy więc naszą początkową liczbę abc, gdzie a, b i c są cyframi. Dla ułatwienia niech a będzie większe niż c.

Po odwróceniu abc otrzymujemy cba, co można rozwinąć jako 100c + 10b + a.

Musimy odjąć cba od abc, aby uzyskać wynik pośredni:

(100a + 10b + c) – (100c + 10b + a)

Wyrazy z b się znoszą, więc wynik pośredni uzyskuje postać:

99a – 99c,

A po wyłączeniu wspólnego czynnika przed nawias:

99(a – c)

Na podstawowym poziomie algebra nie wymaga specjalnej przenikliwości: wystarczy stosować pewne reguły dotąd, aż wyrażenie zostanie maksymalnie uproszczone.

Wyraz 99(a – c) ma tak zgrabną postać, jak tylko się da.

Ponieważ pierwsza cyfra abc różni się od ostatniej przynajmniej o 2, więc różnica a i c wynosi 2, 3, 4, 5, 6, 7 lub 8.

Zatem 99(a – c) ma jedną z następujących wartości: 198, 297, 396, 495, 594, 693 lub 792. Obojętnie od jakiej trzycyfrowej liczby zaczęliśmy, po odjęciu jej od wersji odwróconej mamy wynik równy jednej z powyższych 8 liczb.

Pozostaje dodać liczbę pośrednią do jej odwróconej wersji.

Powtórzymy to, co zrobiliśmy wcześniej, tym razem z liczbą pośrednią def, która jest równa 100d + 10e + f. Chcemy dodać def do fed, czyli jej wersji odwróconej. Jeśli przyjrzymy się uważnie powyższej liście możliwych liczb pośrednich, zobaczymy, że środkowa liczba e to zawsze 9. Poza tym pierwsza i trzecia liczba zawsze sumują się do 9, innymi słowy d + f = 9. Zatem def + fed równa się:

100d + 10e + f + 100f + 10e + d

czyli:

100(d + f ) + 20e + d + f

co równa się:

100 · 9 + 20 · 9 + 9

czyli:

900 + 180 + 9

Hokus-pokus! Suma wynosi 1089. Zagadka rozwikłana.

Zaskoczenie w sztuczce z 1089 bierze się stąd, że wychodząc od losowo wybranej liczby, na końcu zawsze otrzymamy pewną stałą liczbę. Algebra pozwala nam wyjrzeć poza sztuczki, umożliwia przejście od konkretu do abstrakcji – od obserwacji zachowania konkretnej liczby do obserwacji zachowania dowolnej liczby. Jest niezastąpionym narzędziem, nie tylko w matematyce. Pozostałe nauki również korzystają z języka równań.

W 1621 roku we Francji ukazało się łacińskie tłumaczenie arcydzieła Diofantosa Arithmēticá. Edycja na nowo rozbudziła zainteresowanie starożytnymi metodami rozwiązywania problemów, co w połączeniu z wygodniejszym zapisem cyfr i symboli zapoczątkowało nową epokę myśli matematycznej. Mniej zawiła notacja wprowadziła większą przejrzystość w opisywaniu problemów. Pierre de Fermat, urzędnik służby cywilnej i sędzia z Tuluzy, był zapalonym matematykiem amatorem, który swój egzemplarz Arytmetyki zapełniał własnymi rozmyślaniami o liczbach. Przy części poświęconej trójkom pitagorejskim – dowolny zestaw liczb naturalnych a, b i c takich, że a²+ b²= c², na przykład 3, 4 i 5 – Fermat zanotował na marginesie, że nie da się znaleźć takich wartości a, b i c, że a³+ b³= c³. Nie mógł również znaleźć takich wartości a, b i c, że a⁴+ b⁴= c⁴. Fermat zapisał w swojej Arytmetyce, że dla dowolnej liczby n większej niż 2 nie istnieją liczby a, b i c, które spełniałyby równanie an + bn = cn. „Znalazłem istotnie zadziwiający dowód tego twierdzenia, ale brak tu miejsca, aby go umieścić”² – dodał.

Fermat nigdy nie przedstawił dowodu – ani zadziwiającego, ani żadnego innego – na swoje twierdzenie, nawet gdy nie ograniczały go wąskie marginesy. Zapiski w Arytmetyce mogą świadczyć o tym, że znalazł dowód bądź wierzył, iż go znalazł, a może po prostu były prowokacją. Tak czy owak, jego zuchwałe zdanie okazało się fantastyczną przynętą dla całych pokoleń matematyków. Zyskało nazwę wielkiego twierdzenia Fermata i było najsłynniejszym nierozwiązanym problemem matematyki, dopóki Andrew Wiles nie rozgryzł go w 1995 roku. Algebra potrafi być bardzo upokarzająca – łatwość postawienia problemu nie idzie w parze z łatwością rozwiązania. Dowód Wilesa jest tak skomplikowany, że zapewne rozumie go nie więcej niż kilkaset osób.

Udoskonalenie zapisu matematycznego doprowadziło do odkrycia nowych pojęć. Ogromnie ważnym wynalazkiem z początku XVII wieku był logarytm, wymyślony przez szkockiego matematyka Johna Napiera, lorda Merchiston, który za życia cieszył się sławą głównie jako autor prac z dziedziny teologii. Napier napisał bestsellerową polemikę protestancką, w której stwierdził, że papież jest antychrystem, i przepowiedział, że dzień Sądu Ostatecznego nastąpi między rokiem 1688 a 1700. Wieczorami lubił przechadzać się dokoła swojej wieży w powłóczystych szatach, czym między innymi zyskał opinię nekromanty. Eksperymentował z nawozami w rozległym majątku ziemskim pod Edynburgiem i wymyślił koncepcję urządzeń wojskowych, takich jak rydwan z „ruchomym wylotem z metalu”, który będzie „siać zniszczenie na wszystkie strony”, a także machiny do „pływania pod wodą z nurkami oraz innymi fortelami do szkodzenia nieprzyjaciołom” – pierwowzorów czołgu i łodzi podwodnej. Jako matematyk spopularyzował stosowanie przecinka dziesiętnego, a także wymyślił koncepcję logarytmów, których nazwę ukuł od greckich słów logos, czyli stosunek, oraz arithmos, czyli liczba.

Proszę się nie zrażać następującą definicją: logarytm (log) danej liczby to wykładnik potęgi, do której należy podnieść 10, aby otrzymać tę liczbę. Logarytmy dużo łatwiej zrozumieć, kiedy wyrazi się je w sposób algebraiczny: jeśli a = 10b, to logarytm a równa się b. A zatem:

log 10 = 1 (ponieważ 10 = 10¹)

log 100 = 2 (ponieważ 100 = 10²)

log 1000 = 3 (ponieważ 1000 = 10³)

log 10 000 = 4 (ponieważ 10 000 =10⁴)

Znalezienie logarytmu jakiejś liczby jest oczywiste, jeśli liczba ta jest potęgą 10. A co jeśli próbujemy znaleźć logarytm liczby, która nie jest potęgą 10? Ile na przykład wynosi logarytm 6? Logarytm 6 to liczba a taka, że kiedy 10 zostanie pomnożone przez siebie a razy, otrzymamy 6. Stwierdzenie, że 10 można pomnożyć przez siebie określoną liczbę razy, by uzyskać 6, wydaje się absurdalne. Jak można pomnożyć 10 przez siebie ułamek razy? Pomysł ten oczywiście jest niedorzeczny, kiedy wyobrażamy sobie, co mogłoby to znaczyć w świecie rzeczywistym, ale siła i piękno matematyki polega na tym, że nie musimy wcale przejmować się żadnym znaczeniem poza definicją algebraiczną.

Logarytm 6 wynosi 0,778 z dokładnością do 3 miejsc po przecinku. Innymi słowy, kiedy pomnożymy 10 przez siebie 0,778 razy, otrzymamy 6.

Oto lista logarytmów liczb od 1 do 10 podanych z dokładnością do 3 miejsc po przecinku:

log 1 = 0 | log 6 = 0,778
log 2 = 0,301 | log 7 = 0,845
log 3 = 0,477 | log 8 = 0,903
log 4 = 0,602 | log 9 = 0,954
log 5 = 0,699 | log 10 = 1

Do czego służą logarytmy? Zamieniają trudniejsze działanie mnożenia na prostszy proces dodawania. Innymi słowy, mnożenie dwóch liczb jest równoważne dodawaniu ich logarytmów. Jeśli x · y = z, to log x + log y = log z.

Sprawdźmy to:

3 · 3 = 9

log 3 + log 3 = log 9

0,477 + 0,477 = 0,954

I jeszcze raz:

2 · 4 = 8

log 2 + log 4 = log 8

0,301 + 0,602 = 0,903

Do pomnożenia 2 liczb można zatem zastosować następującą metodę: przekształcić je na logarytmy, dodać je, by uzyskać kolejny logarytm, a następnie przekształcić ten logarytm w liczbę. Ile się równa 2 · 3? Znajdujemy logarytmy 2 i 3, które wynoszą 0,301 i 0,477, i dodajemy je, otrzymując 0,778. Z powyższej listy wynika, że 0,778 jest logarytmem 6. A zatem odpowiedź to 6.

Pomnóżmy teraz 89 przez 62.

Najpierw musimy znaleźć logarytmy tych liczb, na przykład wpisując je do kalkulatora albo wyszukiwarki Google. Ale jeszcze pod koniec XX wieku jedynym sposobem było sprawdzanie w tablicach logarytmicznych. Logarytm 89 to 1,949 z dokładnością do 3 miejsc po przecinku. Logarytm 62 to 1,792.

A więc suma logarytmów wynosi 1,949 + 1,792 = 3,741.

Liczba, której logarytm jest równy 3,741, to 5518. I tym razem szukamy w tablicach logarytmicznych.

A zatem 89 · 62 = 5518.

Co ważne, żeby obliczyć ten iloczyn, musieliśmy wykonać jedynie dość proste dodawanie.

Napier pisał, że logarytmy mogą uwolnić matematyków od „nużących nakładów czasu” oraz „podstępnych pomyłek” związanych z „mnożeniem, dzieleniem oraz wyciąganiem pierwiastków kwadratowych i sześciennych z wielkich liczb”. Za pomocą wynalazku Napiera można było zamienić nie tylko mnożenie na dodawanie logarytmów, lecz również dzielenie na odejmowanie logarytmów; obliczanie pierwiastków kwadratowych zmieniało się w dzielenie logarytmów przez 2, a obliczanie pierwiastków sześciennych – w dzielenie logarytmów przez 3.

Wygoda, jaką przyniosły logarytmy, uczyniła z nich najdonioślejszy wynalazek matematyczny XVII wieku. Nauka, handel i przemysł ogromnie na tym skorzystały. Niemiecki astronom Johannes Kepler niemal natychmiast posłużył się logarytmami do obliczenia orbity Marsa. Ostatnio wysunięto hipotezę, że być może nie odkryłby 3 praw ruchu planet, gdyby nie ułatwienie obliczeń za sprawą nowych liczb Napiera.

W wydanej w 1614 roku książce Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio Napier stosował nieco inną wersję logarytmów niż używane we współczesnej matematyce. Logarytmy można wyrażać jako potęgę dowolnej liczby, która nazywana jest podstawą. Napier w swoim systemie używał niepotrzebnie skomplikowanej podstawy (1 – 10–7), którą następnie mnożył przez 10⁷. Henry Briggs, czołowy angielski matematyk w czasach Napiera, wybrał się do Edynburga, by pogratulować Szkotowi odkrycia. Briggs uprościł system, wprowadzając logarytmy dziesiętne (o podstawie równej 10), które nazywane są również logarytmami briggsowskimi bądź zwykłymi, ponieważ od tamtego czasu 10 pozostaje najpopularniejszą podstawą. W 1617 roku Briggs opublikował tablicę logarytmów wszystkich liczb od 1 do 1000 z dokładnością do 8 miejsc po przecinku. W 1628 roku razem z holenderskim matematykiem Adriaanem Vlacqiem rozszerzył tablice logarytmiczne do 100 000 z dokładnością do 10 miejsc po przecinku. Ich rachunki były żmudne i skomplikowane – ale raz wykonanych poprawnie obliczeń nie musiano nigdy więcej powtarzać.

Strona z tablic logarytmicznych Briggsa z 1624 roku.

To znaczy aż do 1792 roku, kiedy młoda republika francuska postanowiła zamówić nowe ambitne tablice – logarytmy wszystkich liczb do 100 000 z dokładnością do 19 miejsc po przecinku i od 100 000 do 200 000 z dokładnością do 24 miejsc po przecinku. Gaspard de Prony, który kierował tym przedsięwzięciem, twierdził, że potrafi „produkować logarytmy z taką samą łatwością, jak inni produkują szpilki”. Jego zespół liczył prawie 90 rachmistrzów, wśród nich było wielu dawnych służących i dekoratorów peruk, których przedrewolucyjny fach stał się w nowym reżimie zbędny (jeśli nie zakrawający na zdradę stanu). Większość obliczeń ukończono już w 1796 roku, ale rząd zdążył stracić zainteresowanie projektem i gigantyczny rękopis Prony’ego nigdy nie został opublikowany. Dzisiaj przechowywany jest w paryskim obserwatorium.

Tablice Briggsa i Vlacqa stanowiły podstawę dla wszystkich tablic logarytmicznych przez 300 lat. W 1924 roku Brytyjczyk Alexander J. Thompson przystąpił do ręcznego obliczania nowego zestawu z dokładnością do 20 miejsc po przecinku. Jednak praca Thompsona, zamiast nadać starej koncepcji współczesny blask, okazała się przestarzała, zanim zdążył ją ukończyć w 1949 roku. Wtedy bowiem tablice można było już z łatwością generować za pomocą komputerów.

Jeśli naniesie się na linijkę cyfry od 1 do 10 według wartości logarytmów, powstanie poniższy układ:

Możemy kontynuować tak na przykład do 100.

Jest to tak zwana skala logarytmiczna. Kolejne liczby na skali znajdują się coraz bliżej siebie.

Niektóre skale pomiarowe są logarytmiczne, co znaczy, że każda jednostka w górę skali oznacza dziesięciokrotną zmianę tego, co mierzy. (W drugiej skali odległość między 1 a 10 równa jest odstępowi między 10 a 100). Przykładem najczęściej stosowanej skali logarytmicznej jest skala Richtera mierząca amplitudę fal zarejestrowanych przez sejsmografy. Trzęsienie ziemi osiągające 7 stopni w skali Richtera wywołuje amplitudę 10 razy większą niż trzęsienie ziemi, które ma 6 stopni.

W 1620 roku angielski matematyk Edmund Gunter jako pierwszy zaznaczył skalę logarytmiczną na linijce. Zauważył, że może mnożyć, dodając długości na linijce. Jeśli umieściło się lewe ostrze cyrkla na 1, a prawe na a, to po przeniesieniu lewego ostrza na b prawe ostrze wskazywało na a · b. Na rysunku poniżej widać ustawienie cyrkla na 2, a następnie przeniesienie lewego ostrza na 3 i automatycznie prawego na 2 · 3 = 6.

Mnożenie Guntera.

Wkrótce potem anglikański duchowny William Oughtred udoskonalił linijkę logarytmiczną Guntera, tworząc narzędzie nazywane suwakiem logarytmicznym. Zrezygnował z cyrkla, zamiast którego umieścił obok siebie 2 drewniane skale logarytmiczne.

Oughtred wymyślił 2 rodzaje suwaków logarytmicznych. Jedna wersja składała się z 2 prostych linijek, a druga z okrągłej tarczy z 2 wskazówkami. Z nieznanych przyczyn Oughtred nie opublikował informacji o swoim wynalazku. Zrobił to w 1630 roku Richard Delamain, jeden z jego studentów. Oburzony Oughtred oskarżył Delamaina, że jest „złodziejem”, i spór o pochodzenie suwaka logarytmicznego ciągnął się aż do śmierci Delamaina. „Ten skandal – narzekał Oughtred pod koniec życia – przyniósł mi wiele krzywdy i szkody”.

Suwak logarytmiczny był fantastycznie pomysłową maszyną liczącą i choć dzisiaj jest już przestarzały, nadal ma swoich fanatycznych wielbicieli. Odwiedziłem jednego z nich, Petera Hoppa, w Braintree w hrabstwie Essex.

– Od XVIII wieku do 1975 roku wszystkie co do jednej innowacje technologiczne wynaleziono przy użyciu suwaka logarytmicznego – powiedział, zabierając mnie ze stacji.

Hopp, emerytowany inżynier elektryk, jest niezwykle przyjaznym człowiekiem, ma krzaczaste brwi, niebieskie oczy i obwisłe policzki. Zgodził się pokazać mi swoją kolekcję suwaków logarytmicznych, jedną z największych na świecie, zawierającą ponad 1000 zapomnianych bohaterów naszego dziedzictwa naukowego. Jadąc do jego domu, gawędziliśmy o kolekcjonowaniu. Hopp powiedział, że najlepsze okazy są wystawiane na aukcjach internetowych, gdzie konkurencja nieuchronnie winduje ceny. Rzadki suwak może kosztować setki funtów.

Kiedy przyjechaliśmy na miejsce, żona Hoppa zrobiła nam herbatę i udaliśmy się do gabinetu. Tam gospodarz pokazał mi drewniany suwak logarytmiczny z lat 70. XX wieku firmy Faber-Castell z plastikowym wykończeniem w kolorze magnolii. Suwak miał wielkość zwykłej trzydziestocentymetrowej linijki i wysuwaną część środkową. Drobnym pismem było na nim zaznaczonych kilka skal. Miał również przezroczyste ruchome okienko, na którym narysowana była linia cienka jak włos. Kształt i dotyk suwaka Faber-Castell wydał mi się kwintesencją powojennego klimatu sprzed epoki komputerów – kiedy informatycy nosili koszule, krawaty i etui na długopisy zamiast T-shirtów, tenisówek i iPodów.

Chodziłem do szkoły średniej w latach 80., kiedy suwaki logarytmiczne wyszły już z użycia, więc Hopp udzielił mi krótkiej lekcji. Polecił, bym jako początkujący korzystał ze skali logarytmicznej od 1 do 100 na głównej linijce i sąsiedniej skali logarytmicznej od 1 do 100 na ruchomej części środkowej.

Mnożenie 2 liczb za pomocą suwaka logarytmicznego – nazywanego również rachunkowym – wykonuje się przez zestawienie pierwszej liczby zaznaczonej na jednej skali z drugą liczbą zaznaczoną na drugiej skali. Nie trzeba nawet rozumieć, co to są logarytmy – wystarczy jedynie przesunąć środkową linijkę na odpowiednią pozycję i odczytać wynik na podziałce.

Powiedzmy, że chcę pomnożyć 4,5 przez 6,2. Muszę dodać długość, która wynosi 4,5 na jednej linijce, do długości, która wynosi 6,2 na drugiej. Robi się to, przesuwając 1 na środkowej linijce do punktu, w którym na głównej linijce znajduje się 4,5. Wynikiem mnożenia jest punkt na głównej linijce przylegający do 6,2 na środkowej linijce. Wyjaśnia to poniższy rysunek.

Jak się mnoży za pomocą suwaka logarytmicznego.

Dzięki okienku z linią nastawczą od razu widać, gdzie spotykają się obie skale. Przechodząc w górę od 6,2 na środkowej linijce, widzę, że przecina główną linijkę tuż poniżej 28, co jest poprawną odpowiedzią. Suwaki logarytmiczne nie są precyzyjnymi urządzeniami. A właściwie to my nieprecyzyjnie z nich korzystamy. Odczytując odpowiedź na suwaku, nie znajdujemy wyraźnego wyniku, lecz szacujemy, gdzie leży dana liczba na skali analogowej. Jednak mimo nieuniknionej niedokładności Hopp stwierdził, że – przynajmniej na jego inżynierskie potrzeby – suwaki logarytmiczne były wystarczająco dokładne w większości zastosowań.

Na suwaku, z którego korzystałem, była skala logarytmiczna od 1 do 100. Są również skale od 1 do 10, których używa się, gdy potrzebna jest większa precyzja, ponieważ między liczbami są szersze odstępy. Dlatego warto przekształcić pierwotny rachunek na liczby od 1 do 10, przesuwając przecinek dziesiętny. Aby pomnożyć 4576 przez 6231, należy przekształcić czynniki na 4,576 i 6,231, po uzyskaniu wyniku przesunąć przecinek dziesiętny o 6 miejsc z powrotem na prawo. Gdy ustawi się linijkę na 4,576 i odłoży 6,231, wyjdzie około 28,5, co oznacza, że 4576 · 6231 wynosi około 28 500 000. Dokładna odpowiedź obliczona za pomocą logarytmów wynosi 28 513 056. Niezłe przybliżenie. Suwak logarytmiczny, taki jak ten wyprodukowany przez Faber-Castell, zapewnia zwykle dokładność do 3 cyfr znaczących – co często w zupełności wystarcza. Traci się, co prawda, na precyzji, ale za to zyskuje na szybkości – wykonanie obliczenia zamuje niecałe 5 sekund. Gdyby korzystać z tablic logarytmicznych, trwałoby to 10 razy dłużej.

Najstarszym przedmiotem w kolekcji Petera Hoppa był drewniany suwak logarytmiczny z początku XVIII wieku używany przez poborców podatkowych do obliczania zawartości alkoholu. Zanim poznałem Hoppa, nie bardzo mogłem sobie wyobrazić, że zbieranie suwaków logarytmicznych może być ciekawym hobby. Znaczki i skamieniałości przynajmniej bywają ładne! A suwaki logarytmiczne to po prostu praktyczne do bólu narzędzia. Zabytkowy suwak Hoppa okazał się jednak pięknym przedmiotem ręcznej roboty ze szlachetnego drewna ozdobionym eleganckimi liczbami.

Zbiory Hoppa pozwalają prześledzić drobne udoskonalenia wprowadzane w ciągu stuleci. W XIX wieku do suwaka dodano nowe skale. Peter Roget – którego kompulsywne sporządzanie list (będące mechanizmem radzenia sobie z chorobą umysłową) zaowocowało ponadczasowym, klasycznym i wyczerpującym Tezaurusem – wynalazł skalę podwójnie logarytmiczną, która umożliwiła obliczanie ułamków potęg, takich jak 32,5, oraz pierwiastków kwadratowych. Wraz z rozwojem technik produkcyjnych powstawały nowe urządzenia o coraz większej pomysłowości, precyzji i okazałości. Model Thacher’s Calculating Instrument wygląda jak wałek do ciasta w metalowej oprawie, a Professor Fuller’s Calculator ma 3 koncentryczne puste cylindry mosiężne i mahoniowy uchwyt. Wokół cylindra wije się prawie dwunastoipółmetrowa helisa, która zapewnia dokładność do 5 cyfr znaczących. Z kolei wykonany ze szkła i chromowanej stali Halden Calculex przypomina czasomierz. Doszedłem do wniosku, że suwaki są rzeczywiście przedmiotami zaskakującej urody.

Suwak logarytmiczny – model Professor Fuller’s Calculator.

Moją uwagę zwróciło jakieś ustrojstwo przypominające młynek do pieprzu. Hopp wyjaśnił, że jest to curta. Czarny walec wielkości dłoni z korbką u góry stanowi wyjątkowy wynalazek – jest jedynym mechanicznym kalkulatorem kieszonkowym, jaki kiedykolwiek wyprodukowano. Demonstrując jej działanie, Hopp wykonał obrót korbką, aby zresetować urządzenie. Liczby wprowadza się za pomocą suwaków po bokach. Hopp ustawił 346 i przekręcił raz korbą. Potem przestawił suwaki na 217. Kiedy ponownie przekręcił korbą, u góry urządzenia ukazała się suma obu liczb: 563. Hopp powiedział, że za pomocą curty można również odejmować, mnożyć, dzielić i wykonywać inne działania matematyczne. Dodał, że kiedyś cieszyła się dużą popularnością wśród miłośników samochodów sportowych. Piloci mogli obliczać czasy jazdy, kręcąc korbką, bez odrywania na dłużej wzroku od drogi. Łatwiej odczytywało się na niej wyniki niż na suwaku logarytmicznym i była mniej wrażliwa na wyboje na drodze.

Choć curta nie jest suwakiem logarytmicznym, swoją pomysłowością w obliczeniach zyskała uznanie wśród kolekcjonerów przyrządów matematycznych. Gdy tylko jej użyłem, stała się moim ulubionym eksponatem z kolekcji Hoppa. To prawdziwy młynek do liczb – wrzuca się liczby, a po zakręceniu korbką wychodzi wynik. Jednak skojarzenie z mieleniem wyniku nie oddaje sprawiedliwości urządzeniu, które składa się z 600 części mechanicznych poruszających się z precyzją szwajcarskiego zegarka.

Reklama kalkulatora Curta z 1971 roku.

Jeszcze bardziej intrygująca jest dramatyczna historia curty. Jej wynalazca, Curt Herzstark, zaprojektował prototyp urządzenia jako jeniec obozu koncentracyjnego w Buchenwaldzie pod koniec drugiej wojny światowej. Herzstark, który był synem austriackiego Żyda, otrzymał specjalne skierowanie do pracy nad swoją maszyną liczącą, ponieważ władze obozu wiedziały, iż jest geniuszem inżynierii. Herzstarkowi powiedziano, że jeśli urządzenie będzie działać, to zostanie podarowane w prezencie Adolfowi Hitlerowi, a wynalazca zostanie uznany za Aryjczyka i będzie mu darowane życie. Kiedy skończyła się wojna, uwolniony Herzstark opuścił obóz z niemal gotowymi planami w kieszeni. Po kilku nieudanych próbach znalezienia inwestora w końcu udało mu się namówić księcia Liechtensteinu – gdzie w 1948 roku wyprodukowana została pierwsza curta. Od tamtego czasu do początku lat 70. fabryka wypuściła na rynek około 150 000 sztuk tego niezwykłego urządzenia. Herzstark mieszkał w Liechtensteinie aż do śmierci w wieku 86 lat w 1988 roku.

W latach 50. i 60. curta była jedynym kalkulatorem kieszonkowym, który dawał dokładne wyniki. Ale zarówno curta, jak i suwak logarytmiczny zostały skazane na wymarcie przez pewne zdarzenie w historii przyrządów arytmetycznych o równie katastrofalnych skutkach, co meteoryt, który ponoć unicestwił dinozaury – chodzi mianowicie o narodziny kieszonkowego kalkulatora elektronicznego.

Trudno o lepszy przykład przedmiotu, który zniknął tak błyskawicznie po tak długim okresie dominacji, niż suwak logarytmiczny. Panował niepodzielnie przez 300 lat aż do 1972 roku, kiedy firma Hewlett-Packard wprowadziła na rynek HP-35. Urządzenie reklamowano jako „przenośny elektroniczny suwak logarytmiczny o wysokiej precyzji”, nie był to jednak wcale suwak logarytmiczny. Urządzenie wielkości małej książki miało czerwony wyświetlacz LED, 35 przycisków i wyłącznik. Kilka lat później uniwersalne suwaki logarytmiczne można było kupić już tylko z drugiej ręki i interesowali się nimi wyłącznie kolekcjonerzy.

Choć kalkulator elektroniczny uśmiercił jego ukochany suwak, Peter Hopp nie żywi do niego urazy. Z upodobaniem zbiera również pierwsze kalkulatory elektroniczne. Gdy rozmowa zeszła na ich temat, pokazał mi HP-35 i zaczął wspominać moment, kiedy po raz pierwszy zobaczył go na początku lat 70. Hopp pracował od niedawna w firmie Marconi zajmującej się telekomunikacją elektryczną. Jeden z kolegów kupił HP-35 za 365 funtów – wówczas równowartość mniej więcej połowy rocznych zarobków młodszego inżyniera.

– Był tak cenny, że właściciel trzymał go w biurku pod kluczem i nigdy nie pozwalał go nikomu używać – wspominał Hopp.

Ale kolega zachowywał się tajemniczo również z innego powodu. Był przekonany, że znalazł sposób korzystania z kalkulatora, dzięki któremu przedsiębiorstwo będzie mogło zaoszczędzić 1 procent wydatków.

– Odbywał ściśle tajne spotkania z szefami. O wszystkim było cicho sza! – dodał Hopp.

Okazało się jednak, że kolega popełnił błąd. Kalkulatory nie są idealnymi przyrządami – wpisz na przykład 10 i podziel przez 3. Otrzymasz 3,3333333. Pomnóż jednak wynik przez 3, a wcale nie wrócisz do punktu wyjścia – otrzymasz 9,9999999. Kolega Hoppa, opierając się na anomalii kalkulatorów cyfrowych, stworzył coś z niczego. Hopp podsumował z uśmiechem:

– Kiedy plan został zweryfikowany przez kogoś, kto posługiwał się suwakiem logarytmicznym, uznano, że poprawa jest iluzoryczna.

Historia ta wyjaśnia, dlaczego Hopp ubolewa nad upadkiem suwaków logarytmicznych. Suwak ułatwiał wzrokowe rozumienie liczb – zanim użytkownik ustalił dokładny wynik, miał pojęcie, jaki mniej więcej będzie. Obecnie, twierdzi Hopp, ludzie pakują liczby do kalkulatora bez żadnego intuicyjnego wyczucia, czy odpowiedź jest poprawna.

Niemniej jednak elektroniczny kalkulator cyfrowy stanowił postęp w stosunku do analogowego suwaka logarytmicznego. Kalkulator kieszonkowy był łatwiejszy w obsłudze, dawał precyzyjne odpowiedzi i już w 1978 roku kosztował niecałe 5 funtów, dzięki czemu stał się powszechnie dostępny.

Choć od tamtego czasu minęło już ponad 30 lat, okazuje się, że w pewnej dziedzinie suwaki przetrwały do dziś. Piloci używają ich do sterowania samolotami. Lotniczy suwak logarytmiczny ma okrągły kształt i nazywany jest „kalkulatorem lotniczym”, mierzy prędkość, odległość, czas, zużycie paliwa oraz temperaturę i gęstość powietrza. Biegła obsługa kalkulatora lotniczego stanowi warunek uzyskania uprawnień pilota, co wydaje się bardzo dziwne w kontekście zaawansowanych technologicznie komputerów obecnych w kokpitach. Wymóg dotyczący suwaka logarytmicznego wynika stąd, że piloci muszą również umieć latać małymi samolotami, które nie są wyposażone w komputery pokładowe. Ale nawet piloci najbardziej nowoczesnych odrzutowców często wolą korzystać z okrągłych suwaków logarytmicznych. Mając je pod ręką, mogą bardzo szybko szacować dane i wzrokowo ogarniać liczbowe parametry lotu. Latanie odrzutowcami jest zatem bezpieczniejsze dzięki zręczności pilotów w posługiwaniu się urządzeniem wywodzącym się z początku XVII wieku.

Astronomicznie drogie pierwsze kalkulatory elektroniczne były luksusowymi produktami biznesowymi. Wynalazca Clive Sinclair nazwał swój pierwszy model Executive. Jeden z pomysłów marketingowych polegał na zaangażowaniu gejsz, by dotrzeć do rozrzutnych biznesmenów w Japonii. Po nocy spędzonej na wspólnej zabawie gejsza wyciągała z fałd kimona kalkulator Sinclair Executive, by gospodarz mógł podliczyć rachunek. Potem czuł się zobowiązany do jego zakupu.

Wraz ze spadkiem cen zaczęto używać kalkulatorów nie tylko do pomocy w arytmetyce, lecz także w charakterze uniwersalnej zabawki. Wydana w 1975 roku książka Pocket Calculator Game Book zawierała opisy rozrywkowych zastosowań cudu nowoczesnej elektroniki. „Kalkulatory kieszonkowe stanowią nowość w naszym życiu. Jeszcze pięć lat temu nieznane, dzisiaj stają się równie popularne, jak telewizory czy zestawy hi-fi – czytamy w niej. – Jednak w przeciwieństwie do nich nie są bierną rozrywką, korzystanie z nich wymaga nakładu inteligencji i inwencji twórczej. Interesuje nas nie to, co potrafi robić kieszonkowy kalkulator, ale to, co my możemy z nim zrobić”. W 1977 roku ukazał się bestseller Fun & Games with Your Electronic Calculator ze słowniczkiem zawierającym wyrazy, które można utworzyć wyłącznie z liter O, I, Z, E, h, S, g, L oraz B, czyli elektronicznych cyfr odwróconych do góry nogami: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 i 8.

Najdłuższe słowa to:

siedmioliterowe

OBELIZE

ELEgIZE

LIBELEE

OBLIgEE

gLOBOSE

SESSILE

LEgIBLE

BESIEgE

BIggISh

LEgLESS

ZOOgEOg

ośmioliterowe

ISOgLOSS

hEELLESS

EggShELL

dziewięcioliterowe

gEOLOgIZE

ILLEgIBLE

EISEgESIS

O dziwo, lista nie obejmuje słowa BOOBLESS – używanego przez nastoletnich chłopców na określenie płaskich jak deska koleżanek z klasy – które prawdopodobnie odpowiada za zniechęcenie do matematyki całego pokolenia dziewczyn. Tak czy owak, Fun & Games with Your Electronic Calculator to chyba jedyna książka o liczbach, która w większym stopniu kształci umiejętności językowe niż arytmetyczne.

Zapał do gier na kalkulatorze nie trwał długo, bo na rynku pojawiły się fajniejsze gry elektroniczne. Wkrótce stało się jasne, że kalkulatory miast wzbudzać miłość do liczb, przyczyniły się do upadku arytmetyki pamięciowej.

Logarytm był wynalazkiem powstałym dzięki udoskonaleniu notacji, ale na nowej symbolice skorzystało również równanie kwadratowe znane już w starożytnej matematyce. We współczesnym zapisie równanie kwadratowe ma postać: ax²+ bx + c = 0, gdzie x jest niewiadomą, a, b i c zaś są dowolnymi stałymi, na przykład: 3x² + 2x – 4 = 0.

Inaczej mówiąc, równania kwadratowe to takie równania, w których występują x i x². Stosuje się je przede wszystkim do obliczania powierzchni. Rozważmy następujący problem z babilońskiej tabliczki: prostokątne pole o powierzchni 60 jednostek kwadratowych ma jeden bok o 7 jednostek dłuższy od drugiego. Jaką długość mają boki tego pola? Aby znaleźć odpowiedź, należy wykonać rysunek pomocniczy i na jego podstawie ułożyć równanie kwadratowe: x²+ 7x – 60 = 0.

Równania kwadratowe mają tę wygodną własność, że można je rozwiązać przez podstawienie wartości a, b oraz c do uniwersalnego wzoru:

Symbol ± oznacza, że istnieją 2 rozwiązania, jedno z plusem, a drugie z minusem. W babilońskim zadaniu a = 1, b = 7, a c = –60, co daje 2 rozwiązania 5 i (–12). Rozwiązanie ujemne przy opisie powierzchni jest bezsensowne, zatem odpowiedź wynosi 5.

Równań kwadratowych używa się nie tylko do obliczeń związanych z polem powierzchni. Nowożytna fizyka narodziła się wraz z teorią swobodnego spadku ciał, którą odkrył Galileusz, zrzucając ponoć kule armatnie z Krzywej Wieży w Pizie. Wywiedziony przez niego wzór na drogę spadania przedmiotu był równaniem kwadratowym. Od tamtego czasu równania kwadratowe stały się tak istotne dla rozumienia świata, iż bez przesady można powiedzieć, że stanowią fundament współczesnej nauki.

Jednak nie każdy problem da się sprowadzić do równań z x². Czasami potrzebna jest następna potęga x, czyli x³. Są to równania sześcienne, które mają postać: ax³+ bx²+ cx + d = 0, gdzie x jest niewiadomą, a, b, c i d zaś są dowolnymi stałymi, na przykład: 2x³– x²+ 5x + 1 = 0.

Równania sześcienne pojawiają się często w obliczeniach związanych z objętością, w których trzeba pomnożyć trzy wymiary jakiejś bryły. Choć są tylko o stopień wyższe od kwadratowych, o wiele trudniej je rozwiązać. Podczas gdy równania kwadratowe rozgryziono już parę tysięcy lat temu (Babilończycy potrafili je rozwiązywać, zanim jeszcze wynaleziono algebrę), równania sześcienne na początku XVI wieku nadal pozostawały poza zasięgiem umiejętności matematyków. Wszystko miało się zmienić w roku 1535.

W renesansowych Włoszech niewiadoma, czyli x, nazywała się cosa, co znaczyło „rzecz”. Naukę o równaniach nazywano „sztuką cossową”, a ci, którzy zawodowo specjalizowali się w ich rozwiązywaniu, byli „cossistami”³, czyli dosłownie „rzeczystami”. Cossiści nie byli uczonymi z wieży z kości słoniowej. Przeciwnie, swymi umiejętnościami matematycznymi służyli rodzącej się właśnie klasie kupieckiej, która potrzebowała pomocy w rachunkach. W branży obliczania niewiadomych panowała bardzo silna konkurencja, więc cossiści, wzorem mistrzów rzemiosła, swoje najlepsze metody trzymali w sekrecie.

Mimo całej tej tajemniczości w 1535 roku po Bolonii zaczęła krążyć plotka, że dwaj cossiści odkryli, jak rozwiązać równanie sześcienne. Wiadomość zelektryzowała środowisko. Opanowanie równań trzeciego stopnia oznaczało wyprzedzenie konkurencji i możliwość pobierania wyższych stawek za usługi.

W dzisiejszym świecie naukowym dowód dotyczący jakiegoś słynnego nierozwiązanego problemu zostałby zaprezentowany w postaci artykułu albo na konferencji prasowej, ale w czasach renesansu odbywało się to inaczej: cossiści umówili się na publiczny pojedynek matematyczny.

I tak 13 lutego na Uniwersytecie Bolońskim zgromadził się tłum, by obejrzeć rywalizację między Niccolò Tartaglią i Antoniem Fiorem. Ustalono, że każdy z panów zada drugiemu 30 równań sześciennych. Za każde poprawnie rozwiązane równanie zawodnik miał być podjęty ucztą na koszt przeciwnika.

Pojedynek zakończył się miażdżącym zwycięstwem Tartaglii. (Tartaglia znaczy „jąkała” – przezwisko to zawdzięczał ranie od szabli, która szpeciła twarz i spowodowała poważną wadę wymowy). Rozwiązał wszystkie zadania Fiorego w ciągu 2 godzin, natomiast Fiore nie potrafił rozgryźć ani jednego zadania Tartaglii. Jako odkrywca metody rozwiązywania równań sześciennych Tartaglia był obiektem zazdrości matematyków z całej Europy, nie chciał jednak nikomu zdradzić swojego sekretu. Opierał się również usilnym namowom Girolama Cardana, który był bodaj najbarwniejszym z ważnych matematyków w historii.

Cardano z zawodu był lekarzem, który dzięki swej skuteczności zyskał międzynarodową sławę – pewnego razu poproszono go nawet o przyjazd do Szkocji, by podjął się leczenia tamtejszego arcybiskupa chorego na astmę. Był również płodnym autorem. W autobiografii wymienia 131 wydrukowanych książek, 111 nieopublikowanych oraz 170 rękopisów, które sam odrzucił jako nie dość dobre. Dzieło De Consolatione, kompendium porad dla pogrążonych w smutku, było bestsellerem w całej Europie i według badaczy literatury właśnie tę książkę trzymał w rękach Hamlet w monologu „być albo nie być”. Cardano spełniał się także jako astrolog i twierdził, że wynalazł „metoposkopię”, czyli odczytywanie charakteru na podstawie nieregularności twarzy. Główną zasługą tego wszechstronnego naukowca na polu matematyki było wynalezienie prawdopodobieństwa, do którego wrócę później.

Cardano rozpaczliwie pragnął się dowiedzieć, w jaki sposób Tartaglia rozwiązał równanie sześcienne, więc napisał do niego z pytaniem, czy mógłby omówić jego metodę w książce, nad którą właśnie pracował. Kiedy Tartaglia odmówił, Cardano poprosił ponownie, tym razem obiecując, że nie powie nikomu innemu. Tartaglia był nieprzejednany.

Wydobycie wzoru sześciennego od Tartaglii stało się obsesją Cardana. W końcu wymyślił podstęp – zaprosił Tartaglię do Mediolanu pod pretekstem przedstawienia go potencjalnemu mecenasowi, gubernatorowi Lombardii. Tartaglia przyjął propozycję, ale gdy dotarł na miejsce, odkrył, że gubernator wyjechał z miasta. Na spotkanie przybył tylko Cardano. Zmęczony nieustannym nagabywaniem Tartaglia ustąpił, mówiąc Cardanowi, że jeśli potrafi zachować wzór w tajemnicy, wyjawi go mu. Żądny wiedzy lekarz otrzymał upragnioną informację, ale okazało się, że Tartaglia perfidnie przedstawił rozwiązanie w zawiły sposób: jako dziwaczny wiersz składający się z 25 wersów.

Mimo tego utrudnienia wszechstronnie utalentowany Cardano odszyfrował metodę i niemal dotrzymał danej obietnicy. Ujawnił rozwiązanie tylko swemu osobistemu sekretarzowi Lodovico Ferrariemu. Okazało się to źródłem problemów, nie dlatego by Ferrari był niedyskretny, lecz dlatego, że udoskonalił metodę Tartaglii i odkrył sposób rozwiązywania równań czwartego stopnia. Są to równania, w których pojawia się potęga x⁴. Na przykład 5x⁴– 2x³– 8x²+ 6x + 3 = 0. Z równaniem czwartego stopnia możemy mieć do czynienia, kiedy mnożymy przez siebie 2 równania kwadratowe.

Cardano był w kropce – nie mógł opublikować odkrycia Ferrariego, nie łamiąc słowa danego Tartaglii, ale zarazem nie mógł odmówić Ferrariemu prawa do publicznego uznania, na które zasługiwał. Cardanowi udało się znaleźć sprytne wyjście. Otóż okazało się, że Antonio Fiore, człowiek, który przegrał pojedynek sześcienny z Tartaglią, w rzeczywistości wiedział, jak rozwiązuje się równania trzeciego stopnia, a metody nauczył się od starszego matematyka Scipione del Ferra, który wyjawił ją Fioremu na łożu śmierci. Cardano dowiedział się o tym po nawiązaniu kontaktu z rodziną del Ferra i przejrzeniu nieopublikowanych notatek zmarłego matematyka. Cardano czuł się zatem moralnie uprawniony do opublikowania wyniku z informacją, że pierwszym wynalazcą był del Ferro, a Tartaglia drugim. Metoda została przedstawiona w Ars Magna Cardana, najważniejszej książce na temat algebry w XVI wieku.

Tartaglia nigdy nie wybaczył Cardanowi i zmarł jako zagniewany i zgorzkniały człowiek. Cardano dożył natomiast prawie 75 lat. Przeniósł się na łono Abrahama 21 września 1576 roku, w dniu, który przed laty przewidział we własnym horoskopie. Niektórzy historycy matematyki uważają, że cieszył się doskonałym zdrowiem, lecz wypił truciznę, by spełniła się jego przepowiednia.

Zamiast przyglądać się równaniom z coraz wyższymi potęgami x, możemy zwiększyć stopień komplikacji, dodając drugą niewiadomą y. Układ równań, ulubieniec szkolnej algebry, to zadanie wymagające rozwiązania 2 równań zawierających po 2 zmienne. Na przykład:

Aby rozwiązać te równania, podstawiamy za zmienną w jednym równaniu jej wartość z drugiego równania. Ponieważ w tym wypadku y = x, to:

x = 3x – 2

Co sprowadza się do:

2x = 2

A zatem:

x = 1 oraz y = 1

Każde równanie z 2 zmiennymi można przedstawić graficznie. Narysuj 2 przecinające się linie, poziomą i pionową. Niech linia pozioma będzie osią x, a linia pionowa osią y. Osie przecinają się w punkcie 0. Położenie dowolnego punktu na płaszczyźnie można określić przez odwołanie do punktów na obu osiach. Położenie (a, b) definiuje się jako przecięcie linii pionowej przechodzącej przez a na osi x oraz linii poziomej przechodzącej przez b na osi y.

Prostokątny układ współrzędnych kartezjańskich.

Dla każdego równania z x i y punkty (x, y) z wartościami x i y spełniającymi to równanie opisują pewną prostą na wykresie.

Na przykład każdy z punktów (0, 0), (1, 1), (2, 2) i (3, 3) spełnia równanie y = x. Jeśli zaznaczymy te punkty na wykresie, stanie się jasne, że równanie y = x tworzy prostą, jak na rysunku na następnej stronie.

Tak samo możemy wykreślić drugie równanie, czyli y = 3x – 2. Przypisując x jakąś wartość, a następnie obliczając, ile wynosi y, możemy ustalić, że na prostej opisywanej tym równaniem znajdują się punkty (0, –2), (1, 1), (2, 4) oraz (3, 7). Jest to prosta, która przecina oś y w punkcie (–2).

y = x — y = 3x – 2

Jeśli nałożymy na siebie obie proste, zobaczymy, że przecinają się w punkcie (1, 1). Widzimy więc, że rozwiązanie układu równań stanowią współrzędne punktu przecięcia 2 prostych opisywanych przez te równania.

Idea, że proste mogą reprezentować równania, to wielki wynalazek La géométrie Kartezjusza. Kartezjański układ współrzędnych był rewolucyjny, ponieważ wytyczył nieznane dotąd przejście między algebrą a geometrią. Po raz pierwszy ukazano nie tylko związek tych dwóch odrębnych i różnych dziedzin badań, lecz także to, że reprezentują siebie nawzajem. Jednym z motywów Kartezjusza było ułatwienie zrozumienia zarówno algebry, jak i geometrii, ponieważ, jak powiedział, osobno „rozciągają się jedynie na nader abstrakcyjne kwestie, które zdają się nie mieć praktycznego zastosowania, [geometria] zawsze jest tak przywiązana do badania figur, że nie potrafi wykrzesać zrozumienia bez wielkiego nadwyrężania wyobraźni, zaś […] [algebra] jest tak podporządkowana pewnym regułom i liczbom, że stała się zawiłą i niejasną sztuką, która dręczy umysł, miast być nauką, która go rozwija”. Kartezjusz nie był fanem przemęczania się. Poza tym należał do śpiochów – znany był z tego, że jeśli mógł, nie wstawał z łóżka przed południem.

Kartezjański mariaż algebry z geometrią to znakomity przykład wzajemnej zależności między abstrakcyjnymi ideami a obrazami przestrzennymi, która jest powracającym motywem w matematyce. Wiele najbardziej imponujących dowodów w algebrze – na przykład dowód wielkiego twierdzenia Fermata – opiera się na geometrii. Podobnie dzięki możliwości opisu algebraicznego na nowo odżyły liczące 2000 lat problemy geometryczne. Jedną z najbardziej fascynujących cech matematyki jest to, że pozornie różne tematy są ze sobą powiązane i że prowadzi to do barwnych odkryć.

W 1649 roku Kartezjusz przeniósł się do Sztokholmu, by zostać prywatnym nauczycielem szwedzkiej królowej Krystyny. Władczyni była rannym ptaszkiem. Genialny matematyk nieprzyzwyczajony zarówno do skandynawskiej zimy, jak i wstawania o piątej rano, wkrótce po przyjeździe zachorował na zapalenie płuc i zmarł.

Jednym z najbardziej oczywistych następstw spostrzeżenia Kartezjusza, że równania z x i y można zapisać w postaci krzywych, było odkrycie, że różne typy równań tworzą różne typy wykresów.

Równania, takie jak y = x i y = 3x – 2, w których jedynymi wyrazami są x i y, zawsze dają proste. Natomiast równania z wyrazami kwadratowymi – czyli zawierające wartości x² i/lub y²– zawsze dają jeden z 4 typów krzywych: okrąg, elipsę, parabolę lub hiperbolę.

Okrąg — Elipsa — Parabola — Hiperbola

To, że każdy okrąg, elipsa, parabola i hiperbola, jakie można narysować, można opisać za pomocą równania kwadratowego z x i y, bardzo przydaje się w nauce, ponieważ wszystkie te krzywe występują w realnym świecie. Parabola to kształt opisujący tor lotu ciała w powietrzu (z pominięciem oporu powietrza i przy założeniu jednorodności pola grawitacyjnego). Tak leci piłka kopnięta przez piłkarza. Elipsa to krzywa opisująca, jak planety krążą po orbicie wokół Słońca. Ścieżka, jaką pokonuje w ciągu dnia cień iglicy zegara słonecznego, ma kształt hiperboli.

Rozważmy poniższe równanie kwadratowe, które zachowuje się jak maszyna do rysowania okręgów i elips:

\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1, gdzie a i b są stałymi.

Maszyna ma 2 pokrętła, jedno dla a i jedno dla b. Dobierając wartości a i b, możemy utworzyć dowolny okrąg lub elipsę o środku w punkcie 0.

Kiedy a jest takie samo jak b, równanie jest kołem o promieniu a. Kiedy a = b = 1, równanie ma postać x²+ y²= 1 i tworzy okrąg o promieniu 1, zwany okręgiem jednostkowym, jak na wykresie po lewej. Kiedy a = b = 4, równanie ma postać \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{16}=1 i jest to okrąg o promieniu 4. Jeśli natomiast a i b są różnymi liczbami, powstaje elipsa, przecinająca oś x w punkcie a oraz oś y w punkcie b. Na przykład krzywa po prawej to elipsa, gdzie a = 3 i b = 2.

W 1818 roku francuski matematyk Gabriel Lamé zaczął bawić się wzorem na okrąg i elipsę. Zastanawiał się, co się stanie, jeśli zacznie manipulować wykładnikiem potęgi zamiast wartościami a i b.

Efekt tej modyfikacji był fascynujący. Rozważmy na przykład równanie xn + yn = 1 dla n = 2, n = 4 i n = 8.

x²+y²=1 x⁴+y⁴=1 — x⁸+y⁸=1

Kiedy n = 2, powstaje okrąg jednostkowy.

Kiedy n = 4, krzywa przypomina widziany z góry ser Babybel⁴ wciśnięty do pudełka. Boki są spłaszczone, cztery rogi zaokrąglone. Wygląda to tak, jakby koło próbowało stać się kwadratem.

Kiedy n = 8, krzywa jeszcze bardziej przypomina kwadrat.

Im wyższe n, tym krzywa jest bliższa kwadratu. W granicy, gdy x∞ + y∞ = 1, równanie jest kwadratem. (Jeśli cokolwiek zasługuje na miano kwadratury koła, to z pewnością właśnie to).

To samo dzieje się z elipsą. Jeśli weźmiemy elipsę opisaną równaniem \left(\frac{x}{3}\right)^n+\left(\frac{y}{2}\right)^n=1, to przy coraz większej wartości n elipsa w końcu zamieni się w prostokąt. Na następnej stronie zamieszczono krzywe narysowane dla n=4 i n=8.

W centrum Sztokholmu znajduje się plac zwany Sergels torg. Jest to wielka prostokątna przestrzeń z poziomem dla pieszych na dole i rondem dla pojazdów u góry. Tutaj organizowane są wiece polityczne, tutaj też gromadzą się kibice, kiedy szwedzka drużyna narodowa wygra ważny mecz. Dominującym elementem placu jest środkowa część z pokaźną rzeźbą z lat 60. XX wieku, którą mieszkańcy kochają nienawidzić – świecący w nocy trzydziestosiedmiometrowy obelisk ze szkła i stali.

\left(\frac{x}{3}\right)^4+\left(\frac{y}{2}\right)^4=1 — \left(\frac{x}{3}\right)^8+\left(\frac{y}{2}\right)^8=1

Kiedy pod koniec lat 50. urbaniści projektowali Sergels torg, natknęli się na problem geometryczny. Jaki jest, pytali siebie, najlepszy kształt na rondo w prostokątnej przestrzeni? Nie chcieli okręgu, ponieważ nie wykorzystałby w pełni przestrzeni. Nie chcieli też owalu ani elipsy, które wypełniłyby przestrzeń, ponieważ zwężone końce obu kształtów pogarszałyby płynność ruchu. W poszukiwaniu odpowiedzi architekci pracujący nad projektem skonsultowali z Pietem Heinem, człowiekiem, którego określono kiedyś jako trzeciego z najsłynniejszych ludzi w Danii (po fizyku Nielsie Bohrze i pisarce Karen Blixen). Piet Hein był twórcą gruków, czyli krótkich, aforystycznych form poetyckich, które publikował w Danii podczas drugiej wojny światowej jako wyraz biernego oporu wobec nazistowskiej okupacji. Był również malarzem i matematykiem, więc miał odpowiedni zestaw cech – wrażliwość artystyczną, niestereotypowe myślenie i orientację naukową – by zaproponować świeże pomysły na rozwiązanie szwedzkich problemów planistycznych.

Rozwiązanie Heina polegało na znalezieniu, za pomocą prostej matematyki, kształtu, który sytuował się w połowie drogi między elipsą a prostokątem. Wykorzystał metodę opisaną na stronie 249. Dobrał wykładnik potęgi w równaniu na elipsę, by uzyskać kształt, który wpasowałby się w prostokątny Sergels torg. W kategoriach algebraicznych zrobił to samo, co zrobił Lamé, bawiąc się z n w równaniu elipsy:

Jak pokazałem wcześniej, zwiększając n od 2 do nieskończoności, przechodzi się od koła do kwadratu albo od elipsy do prostokąta. Hein ocenił, że najbardziej estetycznym kompromisem jest w tym przypadku krzywa dla wartości n = 2,5. Mógł nazwać nowy kształt „kwadroło”. Nazwał go jednak superelipsą.

Superelipsa jest nie tylko eleganckim tworem matematycznym, dotyka też głębszego ludzkiego wątku – wszechobecnego w naszym otoczeniu konfliktu między kołami a prostymi. Jak napisał Piet Hein, „[w] całym kręgu cywilizacji istnieją dwie tendencje, jedna ku liniom prostym i układom prostokątnym, a druga ku liniom okrągłym”. Dalej pisał, że „[o]bie te tendencje mają swoje uzasadnienie natury mechanicznej i psychologicznej. Przedmioty o prostych liniach dobrze do siebie pasują i oszczędzają przestrzeń. Natomiast łatwo nam się porusza – fizycznie lub psychicznie – wokół przedmiotów z zaokrąglonymi liniami. Jesteśmy jednak ograniczeni, musimy godzić się na jedno lub drugie, choć często lepsza byłaby jakaś forma pośrednia. Superelipsa rozwiązała problem. Nie jest ani okrągła, ani prostokątna, lecz sytuuje się pośrodku. A przy tym jest określona i wyraźna – ma w sobie jedność”.

Supereliptyczny kształt sztokholmskiego ronda kopiowali inni architekci, między innymi w projekcie stadionu Azteca w stolicy Meksyku, na którym rozegrano finał mistrzostw świata w roku 1970 i 1986. Krzywa Heina trafiła nawet do mody i stała się cechą charakterystyczną skandynawskiego wzornictwa meblarskiego lat 70. Nadal można kupić supereliptyczne talerze, tace i klamki sprzedawane przez firmę prowadzoną przez syna Pieta Heina.

Skory do igraszek umysł duńskiego matematyka nie zadowolił się jednak superelipsą. Przy następnym projekcie Hein zastanawiał się, jak wyglądałaby trójwymiarowa wersja tego kształtu. Rezultat był czymś między kulą a pudłem. Mógł nazwać go „kuludłem”. Nazwał go jednak superjajem.

Pewną niespodziewaną własnością superjaja było to, że mogło stać na czubku i nie przewracało się. W latach 70. Hein sprzedawał superjaja ze stali nierdzewnej jako „rzeźbę, nowość bądź amulet”. Były to piękne i osobliwe przedmioty. Jedno z nich mam na kominku. Ma je również izraelski iluzjonista Uri Geller. Dostał je od Johna Lennona z wyjaśnieniem, że muzyk otrzymał jajo od przybyszów z kosmosu, którzy odwiedzili go w nowojorskim mieszkaniu. „Zatrzymaj je – Lennon powiedział Gellerowi. – Dla mnie jest zbyt dziwne. Jeśli to mój bilet na inną planetę, to nie chcę tam lecieć”.

Wsuperjajowzięty: Uri Geller.

¹ Szczepan Jeleński, Lilavati. Rozrywki matematyczne, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1992, s. 67 (przyp. red.).

² Szczepan Jeleński, Śladami Pitagorasa. Rozrywki matematyczne, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1988, s. 261 (przyp. red.).

³ W literaturze przedmiotu można się też spotkać ze spolszczeniem „kosiści” (przyp. tłum.).

⁴ Podobny do polskiego liliputa (przyp. red.).

ROZDZIAŁ SZÓSTY
Czas na zabawę

Maki Kaji prowadzi japońskie czasopismo specjalizujące się w łamigłówkach liczbowych. Uważa się za fachowca od rozrywki, który w charakterze rekwizytów wykorzystuje liczby.

– Czuję się bardziej reżyserem filmowym czy teatralnym niż matematykiem – wyjaśnił.

Spotkałem się z Kajim w jego biurze w Tokio. Nie wyglądał ani na matematycznego abnegata, ani na eleganckiego przedsiębiorcę, wbrew temu, czego można by się spodziewać po gościu od liczb, który odniósł sukces w biznesie. Ubrany był w czarny T-shirt i modny rozpinany sweter w kolorze beżowym, na nosie miał lenonki. Pięćdziesięciosiedmiolatek z przystrzyżoną białą kozią bródką i z bokobrodami często uśmiechał się radośnie. Z entuzjazmem opowiadał mi o innych swoich konikach poza zagadkami liczbowymi. Kaji kolekcjonuje na przykład gumki recepturki i podczas niedawnej wycieczki do Londynu znalazł coś, co dla niego było wielkim skarbem – dwudziestopięciogramową paczkę recepturek marki WH Smith oraz stugramowe opakowanie jakiejś niezależnej firmy papierniczej. Zajmuje się również fotografowaniem interesujących arytmetycznie tablic rejestracyjnych. W Japonii tablice rejestracyjne składają się z dwóch par liczb. Kaji zawsze nosi przy sobie mały aparat fotograficzny i pstryka każdą rejestrację, w której iloczyn pierwszej pary równa się drugiej parze.

Przy założeniu, że żaden japoński samochód nie ma 00 w drugiej parze cyfr, każda fotografowana przez Kajiego rejestracja to pozycja z tabliczki mnożenia od 1 do 9. Na przykład 11 01 można ująć jako 1 · 1 = 1. Analogicznie 12 02 to 1 · 2 = 2. I tak dalej – w sumie jest 81 możliwych kombinacji. Kaji zebrał już ponad 50. Planuje, że po skompletowaniu całej tabliczki mnożenia wystawi swoją kolekcję w galerii.

Fotka 3 × 5 = 15 zrobiona przez Maki Kajiego na parkingu w Tokio.

Pomysł zabaw z liczbami jest tak stary jak sama matematyka. Na przykład w papirusie Rhinda znajduje się poniższe zestawienie, które stanowi część rozwiązania problemu 79. W przeciwieństwie do innych problemów z papirusu akurat ten nie ma wyraźnego zastosowania praktycznego.

Domy — 7

Koty — 49

Myszy — 343

Orkisz — 2401¹

Hekat² — 16 807

Suma — 19 607

Lista przedstawia inwentarz 7 domów, w których jest po 7 kotów, które zjadły po 7 myszy, które zjadły po 7 ziaren orkiszu, z których wyrosłoby po 7 hekatów. Liczby te tworzą ciąg geometryczny, w którym następny wyraz powstaje z pomnożenia poprzedniego wyrazu przez stałą liczbę, tutaj 7. Jest 7 razy więcej kotów niż domów, 7 razy więcej myszy niż kotów, 7 razy więcej ziaren orkiszu niż myszy i 7 razy więcej hekatów niż ziaren orkiszu. Sumę tych elementów można zapisać jako 7 + 7² + 7³ + 7⁴ + 7⁵.

Nie tylko Egipcjanie mieli słabość do tego typu ciągów. Niemal identyczna zagadka pojawiła się na początku XIX wieku w rymowance Babci Gąski:

As I was going to St Ives,

I met a man with seven wives,

Every wife had seven sacks,

Every sack had seven cats,

Every cat had seven kits.

Kits, cats, sacks, wives,

How many were going to St Ives?

(Kiedy zmierzałem do St Ives,

Spotkałem człeka, co miał siedem żon,

A każda żona miała siedem worków,

A w każdym worku było siedem kotów,

A każdy kot miał siedem kociąt.

Kocięta, koty, worki, żony,

Ile ich zmierzało do St Ives?)

Wierszyk ten jest najsłynniejszym podchwytliwym pytaniem w literaturze angielskiej, ponieważ przypuszczalnie ów człek i jego korowód żon z kotami w workach szli z, a nie do, St Ives. Niezależnie jednak od kierunku podróży suma kociąt, kotów, worków i żon wynosi 7 + 7² + 7³ + 7⁴, czyli 2800.

Inną, mniej znaną wersję zagadki zawiera problem opisany w Liber abaci Fibonacciego. U Włocha było 7 kobiet udających się do Rzymu z coraz większymi liczbami mułów, worków, bochenków, noży i pochew. Dodatkowe 7⁵ powiększają szereg do 137 256.

Jaki urok tkwi w rosnących potęgach siódemki, że pojawiają się w tak różnych epokach i kontekstach? Wszystkie przytoczone przykłady ilustrują szalone przyśpieszenie ciągów geometrycznych. Rymowanka w poetycki sposób ukazuje, jak szybko małe liczby mogą prowadzić do wielkich. Na początku myślimy, że kociąt, kotów, worków i żon będzie sporo – ale nie aż prawie 3000! Tę samą obserwację matematyczną wyrażają żartobliwe problemy z papirusu Rhinda i Liber abaci. Sama siódemka – choć mogłoby się wydawać, że powinna mieć jakąś szczególną własność, skoro tak często występuje w podobnych zadaniach – nie ma tu większego znaczenia. Możemy wziąć dowolną liczbę i pomnożyć ją kilka razy przez siebie, a bardzo szybko otrzymamy liczbę dużo większą, niż podpowiadałaby nam intuicja.

Nawet przy mnożeniu przez siebie najniższej możliwej liczby, czyli 2, iloczyn szybuje w niebo w zawrotnym tempie. Połóż 1 ziarno pszenicy w narożnym polu szachownicy. Na sąsiednim polu połóż 2 ziarna i zacznij wypełniać pozostałe kwadraty, podwajając za każdym razem liczbę ziaren. Ile pszenicy trzeba by położyć na ostatnim polu? Kilka ciężarówek, może kontener? Szachownica składa się z 64 pól, więc podwajaliśmy ilość 63 razy, czyli liczba 2 została pomnożona przez siebie 63 razy, co daje 2⁶³. W przeliczeniu na ziarna liczba ta jest mniej więcej stukrotnie większa, niż wynosi obecnie roczna produkcja pszenicy na całym świecie. Albo inaczej: gdybyśmy zaczęli liczyć po 1 ziarnie na sekundę w momencie Wielkiego Wybuchu około 13 miliardów lat temu, to do dziś nie doliczylibyśmy nawet do jednej dziesiątej 2⁶³.

Zagadki, rymowanki i gry matematyczne określa się mianem matematyki rozrywkowej. To bardzo szeroka i prężna dziedzina, a jej podstawową cechą jest to, że obejmuje zagadnienia przystępne dla zapalonych laików, nawet gdy kryje się za nimi niesamowicie skomplikowana teoria. Zresztą nie zawsze musi być jakaś teoria, czasem chodzi po prostu o zachwyt nad cudownością liczb – na przykład o przyjemność kolekcjonowania zdjęć tablic rejestracyjnych.

Przełomowe dla historii matematyki rozrywkowej wydarzenie miało ponoć miejsce na brzegu Żółtej Rzeki w Chinach około 2000 roku przed naszą erą. Jak głosi legenda, cesarz Yu zobaczył żółwia wychodzącego z wody. Był to święty żółw z czarnymi i białymi kropkami na brzuchu. Kropki symbolizowały pierwsze 9 liczb i tworzyły na brzuchu żółwia siatkę, która (gdyby zapisać kropki w postaci cyfr arabskich) wyglądała jak rysunek A.

Kwadrat, który zawiera kolejne liczby, począwszy od 1, ułożone w taki sposób, że suma liczb we wszystkich rzędach, kolumnach i przekątnych łączących przeciwległe wierzchołki jest równa, nazywa się kwadratem magicznym. Chińczycy nazywali go lo shu. (Suma cyfr w każdym rzędzie, kolumnie i przekątnej wynosi 15). Chińczycy wierzyli, że lo shu symbolizuje wewnętrzną harmonię wszechświata, i używali go do wróżenia oraz celów religijnych. Jeśli zaczniemy od 1 i narysujemy linię przechodzącą po kolei przez liczby w kwadracie, otrzymamy wzór widoczny na rysunku B oraz na rysunku obok, który zawiera wskazówki dla taoistycznych kapłanów, jak poruszać się po świątyni. Układ nazywany yubu podkreśla również niektóre zasady feng shui, czyli chińskiej filozofii estetyki.

Taoistyczny drzeworyt przedstawiający yubu.

Mistyczny aspekt lo shu dostrzegano nie tylko w kulturze chińskiej. Kwadraty magiczne są przedmiotami o duchowym znaczeniu dla hinduistów, muzułmanów, żydów i chrześcijan. Kultura islamska znalazła najbardziej twórcze zastosowania. W Turcji i Indiach dziewice miały obowiązek haftowania kwadratów magicznych na koszulach wojowników. Wierzono, że jeśli umieści się kwadrat magiczny na łonie rodzącej kobiety, to poród będzie łatwiejszy. Hinduiści nosili wisiorek z kwadratami magicznymi jako ochronny talizman, a renesansowi astrologowie kojarzyli je z planetami systemu słonecznego. Łatwo wyśmiewać okultystyczne skłonności naszych przodków, ale współczesny człowiek może zrozumieć ich fascynację kwadratem magicznym. Prosty, a zarazem subtelnie zawiły przypomina liczbową mantrę, przedmiot wiecznej kontemplacji i samoistny wyraz porządku w chaotycznym świecie.

Jednym z uroków kwadratów magicznych jest to, że nie są one ograniczone do siatek 3 × 3. Słynny przykład kwadratu 4 × 4 pochodzi z dzieła Albrechta Dürera. W Melancholii I (na następnej stronie) niemiecki malarz i teoretyk sztuki umieścił kwadrat 4 × 4 zawierający rok wykonania miedziorytu: 1514.

Kwadrat Dürera tak naprawdę jest übermagiczny. Nie tylko rzędy, kolumny i przekątne sumują się do 34 – tyle samo wynoszą też sumy kombinacji 4 liczb, które zaznaczono kropkami i połączono w kwadratach.

Wzory ukryte w kwadracie Dürera są wprost niewiarygodne, a im dłużej się patrzy, tym więcej się ich odkrywa. Na przykład suma kwadratów liczb z pierwszego i drugiego rzędu wynosi 748. Tyle samo wynosi suma kwadratów liczb z trzeciego i czwartego rzędu lub kwadratów liczb z pierwszego i trzeciego rzędu bądź kwadratów liczb z drugiego i czwartego rzędu bądź kwadratów liczb z obu przekątnych. Niesamowite!

Melancholia I: Słynny miedzioryt Dürera przedstawia pogrążonego w myślach anioła w otoczeniu matematycznych i naukowych akcesoriów, takich jak cyrkiel, kula, waga, klepsydra i kwadrat magiczny. Historycy sztuki, zwłaszcza ci z mistycznymi inklinacjami, od dawna zastanawiają się nad symboliką obiektu geometrycznego na środku po lewej, który nazywany jest „bryłą Dürera” – matematycy natomiast od dawna zastanawiają się nad tym, jak go, u licha, skonstruować.

Ale to nie wszystko – obróćmy kwadrat Dürera o 180 stopni i odejmijmy 1 od pól zawierających 11, 12, 15 i 16. Rezultat wygląda następująco:

Ten kwadrat pochodzi z katedry Sagrada Família w Barcelonie zaprojektowanej przez Antonia Gaudíego. Kwadrat Gaudíego nie jest magiczny, ponieważ dwie liczby powtarzają się, ale i tak jest dość szczególny. Kolumny, rzędy i przekątne sumują się tutaj do 33 – wieku, jakiego dożył Chrystus.

Kwadraty magiczne stanowią absorbującą rozrywkę, godzinami można podziwiać układy i harmonijne prawidłowości. Właściwie żaden inny niepraktyczny obszar matematyki nie budził przez tyle lat tak wielkiego zainteresowania ze strony matematyków amatorów. W XVIII i XIX wieku bujnie rozwijała się literatura na temat kwadratów magicznych. Do najszacowniejszych miłośników tej rozrywki należał Benjamin Franklin, jeden z ojców założycieli Stanów Zjednoczonych, który jako młody urzędnik Zgromadzenia Pensylwanii nudził się bardzo podczas obrad i konstruował własne kwadraty. Najsłynniejszy jest kwadrat 8 × 8 pokazany obok, który Franklin wymyślił ponoć jako młody chłopak. Zawarł w nim jedną z innowacji, jakie wprowadził do teorii kwadratów magicznych: „łamaną przekątną” składającą się z liczb na czarnych i szarych polach, jak widać na rysunkach A i B poniżej. Jego kwadrat nie jest, co prawda, właściwym kwadratem magicznym, ponieważ pełne przekątne nie sumują się do liczby 260, ale za to sumują się wynalezione przez niego łamane przekątne. Suma czarnych pól w C, D i E oraz suma szarych pól w E, a także, rzecz jasna, suma każdego rzędu i kolumny również wynosi 260.

W liście opublikowanym w 1769 roku Benjamin Franklin tak pisał o książce na temat kwadratów magicznych: „Za młodu [...] zabawiałem się tworzeniem tego rodzaju kwadratów magicznych, aż wreszcie doszedłem do takiej wprawy, że potrafiłem wypełnić pola dowolnego kwadratu magicznego o rozsądnych rozmiarach ciągiem liczb, tak szybko, jak tylko mogłem je napisać, rozmieszczonych w taki sposób, by suma każdego rzędu, poziomego, pionowego lub ukośnego, była taka sama; nie będąc jednak z nich zadowolony, gdyż uważałem je za coś pospolitego i łatwego, narzuciłem sobie trudniejsze zadania i z powodzeniem tworzyłem inne magiczne kwadraty o rozmaitych właściwościach i o wiele ciekawsze”. Następnie przedstawił powyższy kwadrat ze swojej książki Experiments and Observations on Electricity wydanej w Filadelfii w 1769 roku.

Kwadrat Franklina zawiera jeszcze bardziej urzekające symetrie. Suma liczb w każdym wewnętrznym kwadracie 2 × 2 wynosi 130, tyle samo wynosi suma dowolnych 4 liczb znajdujących się w jednakowej odległości od środka. Ponoć Franklin po czterdziestce wynalazł jeszcze jeden kwadrat. Pewnego wieczoru wymyślił niewiarygodny kwadrat 16 × 16, który sam nazwał „najmagiczniej magicznym ze wszystkich kwadratów magicznych wymyślonych kiedykolwiek przez jakiegokolwiek magika”. (Znajduje się on w aneksie trzecim).

Jedną z przyczyn nieprzemijającej popularności zabawy w układanie kwadratów magicznych jest ich zaskakująco duża liczba. Policzmy je, zaczynając od najmniejszego: jest tylko 1 kwadrat magiczny 1 × 1: liczba 1. Nie ma kwadratów magicznych z 4 liczbami w układzie 2 × 2. Na osiem sposobów można ułożyć cyfry od 1 do 9, by powstały kwadrat 3 × 3 był magiczny, ale każda z tych 8 wersji to w rzeczywistości ten sam kwadrat obrócony bądź odbity, więc mówi się, że jest tylko 1 prawdziwy kwadrat magiczny 3 × 3. Rysunek obok przedstawia, jak utworzyć poszczególne warianty, zaczynając od lo shu.

O dziwo, powyżej 3 liczba możliwych do ułożenia kwadratów magicznych rośnie w zdumiewającym tempie. Nawet odrzuciwszy obroty i odbicia, da się utworzyć 880 kwadratów magicznych o boku 4. Liczba kwadratów magicznych 5 × 5 wynosi 275 305 224, co obliczono w 1973 roku, i to wyłącznie dzięki wykorzystaniu komputera. I choć liczba ta wydaje się niebotycznie wysoka, to jednak nic w porównaniu z liczbą wszystkich możliwych układów liczb od 1 do 25 w kwadracie 5 × 5. Całkowitą liczbę układów oblicza się, mnożąc 25 przez 24 przez 23 i tak dalej aż do 1, co równa się mniej więcej 1,5 z 25 zerami, czyli 15 kwadrylionów.

Liczba kwadratów magicznych 6 × 6 w ogóle nie jest znana. Jest ona tak wielka, że przewyższa sumę ziaren pszenicy z przykładu z szachownicą.

Kwadraty magiczne nie są wyłączną domeną amatorów. Pod koniec życia zainteresował się nimi osiemnastowieczny szwajcarski matematyk Leonhard Euler. (Był on wówczas już niemal całkowicie niewidomy, co budzi tym większy podziw dla jego badań nad przestrzennym zastosowaniem liczb). Euler zajmował się zwłaszcza zmodyfikowaną wersją kwadratu, w której każda liczba lub symbol pojawia się dokładnie raz w każdym rzędzie i każdej kolumnie. Nazwał go kwadratem łacińskim.

W przeciwieństwie do kwadratów magicznych kwadraty łacińskie mają kilka zastosowań praktycznych. Można wykorzystać je do utworzenia grafiku rozgrywek sportowych, w których każdy gra z każdym; przydają się również w rolnictwie do testowania skuteczności różnych nawozów na kawałku ziemi. Jeśli rolnik ma, powiedzmy, 6 produktów do przetestowania i podzieli pole na kwadrat 6 × 6, rozprowadzając każdy środek zgodnie z układem kwadratu łacińskiego, będzie miał pewność, że zmienność warunków glebowych wpłynie tak samo na każdy ze specyfików.

Kwadraty łacińskie.

Maki Kaji, japoński twórca łamigłówek, którego przedstawiłem na początku rozdziału, na nowo rozbudził fascynację kwadratami liczbowymi. Na pomysł wpadł podczas przeglądania amerykańskiego czasopisma z rozrywkami umysłowymi. Nie znając angielskiego, przerzucał strony z niezrozumiałymi grami słownymi. Zatrzymał się dopiero na siatkach liczbowych o intrygującym wyglądzie. Łamigłówka o nazwie Number Place była częściowo wypełnionym kwadratem łacińskim 9 × 9 z cyframi od 1 do 9. Przestrzegając zasady, że każda liczba może wystąpić w każdym rzędzie i w każdej kolumnie tylko jeden raz, należało logicznie wydedukować, jak uzupełnić puste pola. Pomoc dla rozwiązującego stanowił dodatkowy warunek: kwadrat podzielony był na 9 mniejszych kwadratów 3 × 3, które wyróżniono pogrubioną linią. Każda liczba od 1 do 9 mogła pojawić się w mniejszym kwadracie również tylko 1 raz. Kaji rozwiązał Number Place i bardzo mu się to spodobało – właśnie takiego rodzaju łamigłówki chciał drukować w swoim czasopiśmie.

Number Place, które pojawiło się na rynku w 1979 roku, było dziełem Howarda Garnsa, emerytowanego architekta i miłośnika łamigłówek z Indiany. Choć Kaji zachwycił się zagadką Garnsa, postanowił ją przerobić, rozmieszczając ujawnione w diagramie liczby tak, jak to robi się w krzyżówkach. Nazwał swoją wersję sudoku, co po japońsku znaczy „liczba musi wystąpić tylko raz”.

Sudoku zadebiutowało w pierwszych numerach czasopisma rozrywkowego Kajiego w 1980 roku, ale czytelnicy nie zachwycili się łamigłówką. Dopiero kiedy trafiła za granicę, zyskała błyskawiczną popularność.

Jak Japończyk bez znajomości angielskiego mógł zrozumieć Number Place, tak niemówiący po japońsku użytkownik angielskiego mógł zrozumieć sudoku. W 1997 roku Nowozelandczyk Wayne Gould wstąpił do księgarni w Tokio. Zagubiony wśród japońskich znaków w końcu natknął się na znajomy widok. Zobaczył na okładce książki coś na kształt krzyżówki z liczbami. Gould nie od razu pojął zasady łamigłówki, ale kupił książkę z myślą, że później ją rozpracuje. Podczas wakacji na południu Włoch analizował odpowiedzi, aż rozwiązał zagadkę. Gould, który był świeżo emerytowanym sędzią z Hongkongu, uczył się samodzielnie programowania i postanowił napisać program do tworzenia sudoku. Wykonanie tego zadania zajęłoby sprawnemu programiście może kilka dni. Gouldowi zajęło 6 lat.

Było jednak warto i we wrześniu 2004 roku namówił „Conway Daily Sun” z New Hampshire do opublikowania jednej z łamigłówek. Odniosła natychmiastowy sukces. W następnym miesiącu Gould postanowił zwrócić się do prasy ogólnobrytyjskiej. Uznał, że pomysł najlepiej się sprzeda, jeśli pokaże makietę aktualnego wydania gazety z zamieszczonym sudoku. Dzięki sprawom prowadzonym w Hongkongu miał wystarczające pojęcie o fałszerstwach, by spreparować przekonującą podróbkę drugiego działu „Timesa”, z którą wybrał się do redakcji dziennika. Po kilku godzinach czekania w recepcji zaprezentował fikcyjny egzemplarz gazety i najwyraźniej zdołał przekonać redaktorów do swego pomysłu. Zaraz po jego wyjściu jeden z szefów „Timesa” wysłał Gouldowi e-mail z prośbą, by nie pokazywał sudoku nikomu innemu. 2 tygodnie później łamigłówka ukazała się po raz pierwszy, a po 3 dniach „Daily Mail” wprowadził własną wersję. W styczniu 2005 roku do gry włączył się „Daily Telegraph” i wkrótce każda brytyjska gazeta musiała zawierać codzienną porcję sudoku, by nie odstawać od konkurencji. W tym samym roku „Independent” doniósł o siedemsetprocentowym wzroście sprzedaży ołówków w Wielkiej Brytanii, co zdaniem dziennika było rezultatem nowej mody. Latem w księgarniach, kioskach i na lotniskach były już całe półki z sudoku, i to nie tylko na Wyspach, lecz na całym świecie. W 2005 roku na jednej z list bestsellerów „USA Today” 6 spośród 50 książek poświęconych było sudoku. Do końca roku łamigłówka zdążyła upowszechnić się w 30 krajach, a magazyn „Time” zaliczył Wayne’a Goulda do grona 100 osób, które najbardziej zmieniły oblicze świata w tamtym roku, obok Billa Gatesa, Oprah Winfrey i George’a Clooneya. Pod koniec 2006 roku sudoku drukowano już w 60 krajach, a w 2007 roku – w 90. Według Maki Kajiego liczba osób regularnie rozwiązujących sudoku przekracza obecnie 100 milionów.

Rozwiązanie łamigłówki zawsze mile łechce ego, ale rozwiązanie sudoku ma jeszcze tę dodatkową zaletę, że ukazuje wewnętrzne piękno i równowagę idealnego kwadratu łacińskiego, od którego wzięło swoją formę. Sukces sudoku to świadectwo starej jak świat ponadkulturowej obsesji na punkcie kwadratów liczbowych. I w przeciwieństwie do wielu innych łamigłówek, jego popularność jest również niezwykłym zwycięstwem matematyki. Sudoku to zakamuflowana matematyka. Choć nie zawiera działań arytmetycznych, wymaga abstrakcyjnego myślenia, dostrzegania prawidłowości, dedukcji logicznej i tworzenia algorytmów. Zachęca również do kreatywnego rozwiązywania problemów i zaszczepia upodobanie do matematycznej elegancji.

Kiedy zrozumie się reguły sudoku, jasna natychmiast staje się koncepcja jednoznacznego rozwiązania. Dla każdego początkowego układu liczb w diagramie istnieje tylko 1 możliwy sposób końcowego rozmieszczenia liczb w pustych polach. Nie chodzi jednak wcale o to, że każdy częściowo wypełniony diagram ma jednoznaczne rozwiązanie. Jest jak najbardziej możliwe, że kwadrat 9 × 9 z częściowo wpisanymi liczbami nie ma żadnego rozwiązania albo że ma wiele rozwiązań. W programie o sudoku, który pojawił się w telewizji Sky, narysowano kiedyś największe sudoku na świecie – diagram 275 × 275 stóp (niecałe 80 metrów) wyryto na kredowym zboczu na angielskiej wsi. Podane liczby rozmieszczono jednak w taki sposób, że było 1905 poprawnych sposobów uzupełnienia kwadratu. Największe sudoku nie miało możliwego 1 rozwiązania, a zatem w ogóle nie było sudoku.

Dział matematyki zajmujący się obliczaniem kombinacji, takich jak wszystkie 1905 rozwiązań telewizyjnego pseudosudoku, nazywa się kombinatoryką. Bada permutacje i kombinacje różnych rzeczy, na przykład siatki liczbowe, a także plany tras dla przedstawicieli handlowych. Załóżmy, że przedstawiciel handlowy ma 20 sklepów do odwiedzenia. W jakiej kolejności powinien do nich zajrzeć, by trasa była w sumie jak najkrótsza? Rozwiązanie wymaga uwzględnienia wszystkich permutacji dróg między wszystkimi sklepami i stanowi klasyczny (a przy tym wyjątkowo trudny) problem kombinatoryczny. Podobne problemy pojawiają się w całym biznesie i przemyśle, między innymi przy układaniu rozkładu odlotów na lotniskach lub tworzeniu wydajnego systemu sortowania na poczcie.

Kombinatoryka to dział matematyki, który nieustannie ma do czynienia z wyjątkowo wielkimi liczbami. Jak widzieliśmy na przykładzie kwadratów magicznych, mały zbiór liczb można uporządkować na zdumiewająco wiele sposobów. Mimo że oba rodzaje kwadratów mają takie same diagramy, to przy identycznej liczbie pól kwadratów łacińskich jest mniej niż kwadratów magicznych, choć nadal jest to olbrzymia liczba. Na przykład liczba kwadratów łacińskich 9 × 9 składa się z 28 cyfr.

Ile jest możliwych sudoku? Aby łaciński kwadrat 9 × 9 uznać za wypełniony diagram sudoku, również 9 mniejszych kwadratów musi zawierać każdą z cyfr, a to zmniejsza ogólną liczbę nadających się na sudoku kwadratów 9 × 9 do 6 670 903 752 021 072 963 960. Jednak wiele tych diagramów to różne wersje tego samego kwadratu po odbiciu lub obróceniu (jak pokazałem na przykładzie kwadratu magicznego 3 × 3). Pominąwszy zatem kwadraty, które są obróceniami i odbiciami, otrzymamy mniej więcej 5,5 miliarda różnych wypełnionych diagramów sudoku.

Ale nie jest to jeszcze cała liczba możliwych sudoku – jest ich znacznie więcej, gdyż każdy wypełniony diagram może być rozwiązaniem wielu sudoku. Weźmy sudoku z gazety, które ma jednoznaczne rozwiązanie. Po wypełnieniu jednego z pól otrzymamy nowy diagram z nowym zestawem danych, czyli nowe sudoku z tym samym jednoznacznym rozwiązaniem, i tak dalej wraz z każdym wypełnianym polem. Jeśli więc sudoku ma, dajmy na to, 30 podanych liczb, to zanim wypełnimy diagram, będziemy mogli w ten sposób utworzyć kolejne 50 sudoku o tym samym jednoznacznym rozwiązaniu. (Czyli 1 nowe sudoku po każdej dodatkowej liczbie, aż wypełnimy 80 z 81 pól w diagramie). Ustalenie całkowitej liczby sudoku nie jest tak interesujące, ponieważ większość z nich będzie miało bardzo mało wolnych pól, co jest sprzeczne z ideą łamigłówki. Matematyków o wiele bardziej intryguje, ile liczb można zostawić w diagramie. Podstawowy problem kombinatoryczny dotyczący sudoku brzmi: jaką najmniejszą liczbę liczb można zostawić w diagramie, by dało się wypełnić go tylko na 1 sposób?

W gazetowych sudoku zazwyczaj podaje się około 25 liczb. Do dziś nikt nie wymyślił sudoku o jednoznacznym rozwiązaniu, które miałoby mniej niż 17 wypełnionych pól. Wokół sudoku z 17 liczbami zrodził się swoisty kult kombinatoryczny. Gordon Royle z University of Western Australia prowadzi bazę danych sudoku z 17 liczbami i codziennie dostaje 3 lub 4 nowe od twórców łamigłówek z całego świata. Zgromadził ich już niemal 50 000. Ale choć jest światowym ekspertem od siedemnastek, mówi, że nie wie, jak blisko jest ustalenia całkowitej liczby możliwych plansz.

– Jakiś czas temu powiedziałbym, że jesteśmy bliscy końca, ale potem pewien anonimowy ofiarodawca przysłał prawie 5000 nowych sudoku – dodał. – Tak naprawdę nigdy nie dowiedzieliśmy się, jak anon17 zdołał to zrobić, ale najwyraźniej musiał użyć jakiegoś sprytnego algorytmu.

Zdaniem Royle’a nikt nie wymyślił sudoku z 16 liczbami.

– Albo nie jesteśmy dość inteligentni, albo nasze komputery nie mają wystarczającej mocy – wyjaśnił.

Anon17 nie ujawnił swojej metody najprawdopodobniej dlatego, że bez pozwolenia korzystał z czyjegoś bardzo wielkiego komputera. Rozwiązywanie problemów kombinatorycznych często polega na zadawaniu komputerowi ogromu skomplikowanych obliczeń do wykonania.

– Całkowita przestrzeń możliwych plansz z 16 liczbami jest dla nas zdecydowanie zbyt rozległa, byśmy bez jakichś nowych pomysłów teoretycznych zdołali zgłębić więcej niż drobną część – stwierdził Royle. Ma jednak przeczucie, że nigdy nie odnajdzie się sudoku z 16 liczbami. – Tak wiele mamy dzisiaj plansz z 17 podpowiedziami, że byłoby doprawdy dziwne, gdyby istniały plansze z 16 i dotąd nie natknęlibyśmy się na żadną z nich.

Na wizytówce Maki Kajiego widnieją słowa ojciec chrzestny sudoku. Wayne Gould nazywa siebie ojczymem sudoku. Spotkałem się z nim na kawie w barze w zachodnim Londynie. Przyszedł w koszulce nowozelandzkich rugbystów. Typowy dla mieszkańca antypodów zrelaksowany sposób bycia, przerwa między przednimi zębami, okulary w grubych oprawkach, krótko przycięte srebrzyste włosy i entuzjazm przywodzą na myśl raczej młodego wykładowcę akademickiego, a nie byłego sędziego. Sudoku zmieniło życie Goulda. Na emeryturze jest bardziej zapracowany niż kiedykolwiek dotąd. Dostarcza za darmo łamigłówki do ponad 700 gazet w 81 krajach, zarabiając pieniądze na sprzedaży swojego programu oraz książek, co – jak sam mówi – daje mu jedynie około 2 procent światowego rynku sudoku. Mimo to zbił na sudoku siedmiocyfrowy majątek. Poza tym zyskał status gwiazdy. Kiedy zapytałem go, jak jego niespodziewaną sławę zniosła żona, zawahał się.

– Rozstaliśmy się w zeszłym roku – wydukał. – Po 32 latach małżeństwa. Może to przez te wszystkie pieniądze. Może to dało jej wolność, jakiej nigdy wcześniej nie zaznała.

W ciszy zabrzmiał rozdzierający smutek tych słów: Gould wykreował światową modę, ale za przygodę życia zapłacił wysoką cenę.

Myślę, że jedną z przyczyn sukcesu sudoku jest egzotyczna nazwa odwołująca się do obiegowych wyobrażeń o głębokiej mądrości Wschodu, choć tak naprawdę pierwszy na ten pomysł wpadł Amerykanin Howard Garns z Indiany. Istnieje jednak pewna tradycja układanek, która rzeczywiście wywodzi się ze Wschodu. Pierwszy międzynarodowy szał łamigłówkowy wybuchł na początku XIX wieku, kiedy europejscy i amerykańscy żeglarze zaczęli przywozić z Chin zestawy figur geometrycznych z drewna lub kości słoniowej składające się z 7 elementów – 2 dużych trójkątów, 2 małych trójkątów, trójkąta średniej wielkości, równoległoboku oraz kwadratu. Po złożeniu ich razem powstawał kwadrat. Do zestawów dołączano broszurki z dziesiątkami figur geometrycznych, sylwetek ludzi i innych przedmiotów. Zabawa polegała na tym, by z wszystkich 7 elementów ułożyć każdy z pokazanych kształtów.

Łamigłówka zrodziła się z chińskiej tradycji ustawiania stołów na przyjęcia. W pewnej chińskiej książce z XII wieku przedstawiono 76 układów bankietowych, z których wiele przypominało konkretne przedmioty, takie jak łopocząca flaga, pasmo górskie czy kwiaty. U progu XIX wieku chiński pisarz o żartobliwym pseudonimie Przygłup Samotnik przeniósł tę ceremonialną choreografię na małe klocki geometryczne i opublikował figury w książce Obrazki z siedmiu zmyślnych elementów.

Figury tangramowe z różnych czasów.

Zestawy pierwotnie nazywano „chińską łamigłówką”, ale z czasem przyjęła się nazwa „tangram”. Pierwsza książka o tangramie wydana poza Chinami ukazała się w Londynie w 1817 roku. Błyskawicznie zapoczątkowała nową modę. Między rokiem 1817 a 1818 we Francji, Niemczech, Włoszech, Holandii i w krajach Skandynawii pojawiły się dziesiątki książek z tangramami. Ówcześni karykaturzyści portretowali łamigłówkowe szaleństwo, przedstawiając mężczyzn, którzy ociągali się z pójściem do łóżka z żoną, szefów kuchni, którzy nie byli w stanie gotować, oraz lekarzy, którzy odmawiali przyjmowania pacjentów, ponieważ wszyscy byli pochłonięci przestawianiem trójkątów. We Francji szaleństwo przybrało większą skalę, być może dlatego, że w jednej z książek napisano, iż układanka stanowiła ulubioną rozrywkę Napoleona podczas zesłania na Wyspie Świętej Heleny na południowym Atlantyku. Dawny cesarz był jednym z pierwszych miłośników gry, ponieważ właśnie tam zatrzymywały się statki w drodze powrotnej z Azji.

Uwielbiam tangram. W tangramie w magiczny sposób ożywają mężczyźni, kobiety i zwierzęta. Wystarczy nieco tylko przesunąć jeden klocek, a całkowicie zmienia się osobowość postaci. Figury o kanciastych i często groteskowych konturach są niezwykle sugestywne. Francuzi najdalej posunęli się w personifikacji figur i malowali nawet wizerunki na tangramowych sylwetkach.

Trudno uwierzyć, jak wciągająca jest ta łamigłówka, dopóki samemu się nie spróbuje. I choć wydaje się łatwa, rozwiązywanie problemów tangramowych w rzeczywistości potrafi być zaskakująco trudne. Kształty są bardzo zwodnicze, na przykład 2 podobne sylwetki mogą mieć całkiem różne ukryte struktury. Tangram bywa odtrutką na samozadowolenie, przypominając, że istota rzeczy nie zawsze jest taka, jak się na pierwszy rzut oka wydaje. Przyjrzyj się figurom obok. Wyglądają, jakby druga powstała przez wyjęcie małego trójkącika z pierwszej. W rzeczywistości obie figury zawierają wszystkie elementy tangramu i zostały ułożone w zupełnie inny sposób.

W połowie XIX wieku tangramy przyjęły się w szkołach, choć nie przestały być rozrywką dorosłych. Niemiecka firma Richter przemianowała tangram na Kopfzerbrecher, czyli „dręczygłowa”, i na fali sukcesu produktu wprowadziła ponad tuzin układanek o różnych kształtach pociętych na rozmaite elementy. Podczas pierwszej wojny światowej układanki Richtera stały się ulubioną rozrywką oddziałów tkwiących w okopach. Popyt był tak wielki, że asortyment zwiększono o kolejnych 18 układanek. Jedna z nich nosiła nazwę Schützengraben Geduldspiel (pasjans okopowy) i zawierała kształty wojskowe, takie jak zeppelin, rewolwer czy granat. Część figur została zaprojektowana przez żołnierzy, którzy nadsyłali pomysły z frontu.

Przed pierwszą wojną światową układanki firmy Richter sprzedawano szeroko poza granicami Niemiec. Kiedy jednak Wielka Brytania zakazała w czasie wojny importu z Niemiec, do akcji wkroczyła firma Lott’s Bricks Ltd z Watford, która aż do lat 40. produkowała brytyjskie kopie.

Reklama łamigłówek Lott’s Bricks z czasów drugiej wojny światowej: „Chwilunia, Adolf – muszę skończyć nr 62!”.

Każde pokolenie tworzy nowe figury, dzięki czemu od prawie 200 lat tangram właściwie nigdy nie wyszedł z mody. Nadal można kupić układankę w księgarniach i sklepach z zabawkami. Liczba opublikowanych dotychczas kształtów przekracza 5900.

Choć tangram jest synonimem łamigłówki układanki, nie był pierwszą tego typu grą na świecie. W starożytnej Grecji wymyślono stomachion, kwadrat podzielony na 14 części. (Stomachi znaczy „żołądek” i uważa się, że nazwa pochodzi od bólu brzucha, jaki wywołuje układanka, choć bynajmniej nie z powodu trawienia klocków). Archimedes napisał traktat na temat stomachionu, z którego zachowała się jedynie niewielka część. Z ocalałego fragmentu wynika, że dzieło było próbą ustalenia, na ile różnych sposobów można ułożyć elementy łamigłówki, by utworzyć idealny kwadrat. Dopiero niedawno rozwiązano ten problem. W 2003 roku informatyk Bill Cutler odkrył, że istnieje 536 sposobów (nie licząc rozwiązań, które są identyczne po obróceniu lub odbiciu).

Stomachion, nazywany też „loculus Archimedolius” – pudełkiem Archimedesa.

Od czasów Archimedesa wielu matematyków żywo interesowało się grami logicznymi. „Człowiek w niczym nie jest tak pomysłowy, jak w wymyślaniu gier”, powiedział Gottfried Leibniz, którego zamiłowanie do samotnictwa współgrało z obsesją na punkcie liczb dwójkowych: w zagłębieniu jest kula albo jej nie ma; jest albo 1, albo 0. Najbardziej jednak zapalonym z wielkich matematyków był Leonhard Euler, który chcąc rozgryźć pewną osiemnastowieczną łamigłówkę, wymyślił zupełnie nowy dział matematyki.

W Królewcu, który dawniej był stolicą Prus, a obecnie jest rosyjskim miastem Kaliningrad, nad Pregołą przerzucono 7 mostów. Mieszkańcy chcieli wiedzieć, czy da się przejść po wszystkich siedmiu mostach, nie przekraczając żadnego z nich więcej niż 1 raz, i wrócić do miejsca, z którego się wyruszyło.

Aby przedstawić dowód, że taka trasa jest niemożliwa, Euler utworzył graf, na którym każdy fragment lądu przedstawił w postaci kropki, czyli wierzchołka, a każdy most w postaci linii, czyli krawędzi. Euler sformułował twierdzenie wiążące liczbę krawędzi wychodzących z każdego wierzchołka z możliwością utworzenia obwodu grafu, co w tym wypadku okazało się niemożliwe.

Królewiec w XVIII wieku: w postaci mapy i grafu.

Euler odkrył, że dla rozwiązania problemu ważna była informacja nie o dokładnym położeniu mostów, lecz o ich połączeniach. Na tym samym pomyśle opiera się mapa londyńskiego metra: nie jest wierna pod względem geograficznym, oddaje za to dokładnie układ wzajemnych połączeń między poszczególnymi liniami. Twierdzenie Eulera dało początek teorii grafów i stanowiło zapowiedź rozwoju topologii – bardzo rozległego działu matematyki badającego te własności obiektów, które nie ulegają zmianie przy kurczeniu, skręcaniu lub rozciąganiu.

Fascynacja tangramami w 1817 roku była niczym w porównaniu ze skalą szaleństwa, jakie wywołała druga międzynarodowa moda łamigłówkowa. Od pewnego grudniowego dnia w 1879 roku, kiedy w bostońskim sklepie z zabawkami pojawiła się piętnastka zwana też przesuwanką, producenci nie mogli nadążyć za zamówieniami. „Ani pomarszczone oblicze starości, ani cherubinkowe liczko dzieciństwa nie jest odporne na tę zarazę” – donosił „Boston Post”.

Gra składała się z 15 kwadratowych drewnianych klocków ułożonych w pudełku w kwadrat 4 × 4 z jednym wolnym miejscem. Klocki ponumerowane były od 1 do 15 i rozmieszczone w sposób przypadkowy. Wykorzystując wolne miejsce, należało poprzesuwać klocki w obrębie kwadratu i ułożyć je w kolejności liczbowej. Gra była tak fajna i wciągająca, że wkrótce moda upowszechniła się od Massachusetts do Nowego Jorku, a potem w całych Stanach Zjednoczonych. „Ogarnęła obszar od wschodu do zachodu z gwałtownością sirocco, wypalając po drodze mózgi ludzi i najwyraźniej wywołując w nich czasowy obłęd” – donosiła „Chicago Tribune”. Według „New York Timesa” żadna zaraza, „jaka kiedykolwiek nawiedziła ten lub inne kraje, nie rozprzestrzeniała się z [taką] straszliwą szybkością”.

Układanka wkrótce trafiła za granicę, pewien sklep w Londynie ponoć nie sprzedawał niczego innego. W ciągu pół roku dotarła na antypody. „Niemało popadło już w obłęd” – głosił list wydrukowany w „Otago Witness” w Nowej Zelandii 1 maja 1880 roku.

Piętnastka na początku nosiła nazwę Gem Puzzle.

Piętnastka była dziełem Noyesa Chapmana, naczelnika poczty z północnej części stanu Nowy Jork, który niemal 20 lat wcześniej próbował skonstruować fizyczny model kwadratu magicznego 4 × 4. Wykonał małe drewniane kwadraciki dla każdej z 16 liczb i umieścił je w kwadratowym pudełku. Kiedy zauważył, że pozostawienie jednego miejsca wolnego pozwala na przesuwanie przylegających klocków, odkrył, że samo przestawianie liczb jest bardzo ciekawą grą. Chapman zrobił kilka wersji dla rodziny i przyjaciół, ale nigdy nie dorobił się na swoim wynalazku. Dopiero pewien obrotny stolarz z Bostonu postanowił skomercjalizować łamigłówkę i pomysł chwycił od razu.

Piętnastka była prawdziwą zmorą dla tych, którzy się do niej zabierali, ponieważ czasem dało się ją rozwiązać, a czasem nie. Wydawało się, że rozmieszczone w przypadkowy sposób klocki można doprowadzić tylko do 2 rozwiązań: ustawić je w porządku liczbowym albo w taki sposób, by pierwsze 3 rzędy były po kolei, ale w ostatnim rzędzie pozostawał układ 13-15-14. Gorączkę dodatkowo podsycało pragnienie rozstrzygnięcia, czy możliwe jest przejście od 13-15-14 do 13-14-15. W styczniu 1890 roku, po paru tygodniach od sprzedaży pierwszej łamigłówki, dentysta z Rochester w stanie Nowy Jork zamieścił w lokalnej gazecie ogłoszenie, że oferuje nagrodę w wysokości 100 dolarów i kompletną sztuczną szczękę dla tego, kto zdoła udowodnić jedną lub drugą hipotezę. Sam był przekonany, że przejście jest niemożliwe – ale potrzebował matematycznego wsparcia.

Konsternacja związana z piętnastką przeniosła się ze światowych salonów do auli uniwersyteckich i kiedy do dysputy włączyli się profesjonaliści, przyprawiająca o obłęd nierozwiązywalność łamigłówki stała się nierozwiązywalnością zadowalającą. W kwietniu 1890 roku jeden z wybitnych matematyków epoki Hermann Schubert opublikował w niemieckiej gazecie pierwszy dowód na to, że układ 13-15-14 jest nierozwiązywalny. Wkrótce potem istniejący od niedawna „American Journal of Mathematics” również opublikował dowód potwierdzający, że połowa wszystkich początkowych układów w piętnastce ma końcowe rozwiązanie 13-14-15, a druga połowa kończy się na 13-15-14. Piętnastka do dziś jest jedyną łamigłówką, która zrobiła międzynarodową furorę, choć nie zawsze ma rozwiązanie. Nic dziwnego, że doprowadzała do obłędu.

Podobnie jak tangram piętnastka nie znikła do końca. Była poprzedniczką układanek z przesuwanymi płytkami, jakie wciąż można znaleźć w sklepach z zabawkami, w słodyczach z niespodzianką oraz firmowych koszach upominkowych. W 1974 roku pewien Węgier, zastanawiając się nad sposobami udoskonalenia łamigłówki, wpadł na pomysł wykonania jej w 3 wymiarach. Nazywał się Ernő Rubik i stworzył prototyp – kostkę Rubika – która miała odnieść największy sukces w historii łamigłówek.

W wydanej w 2002 roku książce The Puzzle Instinct semiotyk Marcel Danesi napisał, że intuicyjna zdolność do rozwiązywania zagadek stanowi część kondycji ludzkiej. Kiedy mamy do czynienia z łamigłówką, instynkt zmusza nas do poszukiwania zadowalającego rozwiązania. Zagadki spotykane są powszechnie we wszystkich czasach i kulturach, począwszy od zagadki Sfinksa z greckiej mitologii po współczesne kryminały. Zdaniem Danesiego stanowią one formę terapii egzystencjalnej, pokazując nam, że trudne kwestie mogą mieć precyzyjne rozwiązanie. Henry Dudeney, największy brytyjski twórca łamigłówek, uznał rozwiązywanie zagadek za podstawową cechę ludzkiej natury. „Istotnie, życie w dużej mierze upływa nam na rozwiązywaniu zagadek; czymże jest bowiem zagadka, jeśli nie kłopotliwym pytaniem? Już od dzieciństwa nieustannie zadajemy pytania bądź próbujemy na nie odpowiedzieć”.

Łamigłówki to także cudownie zwięzły sposób na zachwycenie się matematyką. Często wymagają myślenia lateralnego, opierają się na prawdach sprzecznych z intuicją. Poczucie satysfakcji z rozwiązania zagadki to uzależniająca przyjemność; poczucie porażki w tej mierze jest nieznośnie frustrujące. Wydawcy dość szybko zauważyli popyt na matematykę rozrywkową. W 1612 roku we Francji ukazała się książka, której tytuł można przetłumaczyć jako Zabawne i zajmujące kwestie tyczące liczb (wielce użyteczne dla wszelakich dociekliwych ludzi, którzy używają arytmetyki) pióra Claude’a-Gasparda Bacheta. Znalazły się w niej kwadraty magiczne, sztuczki karciane, pytania w systemach niedziesiętnych oraz zadania typu „pomyśl jakąś liczbę”. Bachet był poważnym uczonym, który przetłumaczył Arytmetykę Diofantosa. Niewątpliwie jednak jego popularnonaukowa publikacja o matematyce wywarła o wiele większy wpływ niż prace akademickie. Wytyczyła grunt dla wszystkich późniejszych książek poświęconych łamigłówkom i nie zestarzała się przez stulecia – ostatnio wznowiono ją w 1959 roku. Charakterystyczną cechą matematyki, nawet matematyki rozrywkowej, jest to, że nigdy nie traci na aktualności.

W połowie XIX stulecia amerykańskie gazety zaczęły drukować problemy szachowe. Jednym z pierwszych autorów takich zadań – i zarazem najbardziej nad wiek rozwiniętym – był nowojorczyk Sam Loyd. Miał zaledwie 14 lat, kiedy w miejscowej gazecie ukazała się jego pierwsza zagadka. W wieku 17 lat był już najbardziej wziętym autorem zadań szachowych w Stanach Zjednoczonych.

Od zagadek szachowych Loyd przeszedł do matematycznych i pod koniec wieku był pierwszym na świecie zawodowym twórcą łamigłówek i impresario. Dużo publikował w amerykańskiej prasie, powiedział kiedyś, że do jego rubryki napływało 100 000 listów dziennie. Do tej liczby należy jednak odnosić się ze szczyptą rezerwy. Loyd, jak przystało na kogoś, kto zawodowo zajmuje się wymyślaniem zagadek, przejawiał żartobliwy stosunek do prawdy. Twierdził na przykład, że wynalazł piętnastkę, co brano za dobrą monetę przez ponad wiek, dopóki w 2006 roku historycy Jerry Slocum i Dic Sonneveld nie prześledzili jej pochodzenia do Noyesa Chapmana. Loyd rozbudził na nowo zainteresowanie tangramem za sprawą książki The 8th Book of Tan Part I, przeróbki starożytnego tekstu o liczącej rzekomo 4000 lat łamigłówce. Książka w istocie była parodią, chociaż z początku została poważnie przyjęta przez akademików.

Loyd z bezkonkurencyjną błyskotliwością potrafił przekształcać problemy matematyczne w zabawne, specyficznie ilustrowane łamigłówki. Najbardziej genialną wymyślił dla „Brooklyn Daily Eagle” w 1896 roku. Łamigłówka Get off the Earth³ zyskała taką popularność, że wykorzystano ją później w reklamach kilku marek, między innymi „The Young Ladies Home Journal”, Great Atlantic & Pacific Tea Company, oraz w programie republikanów w wyborach prezydenckich w 1896 roku. (Jej przesłanie nie było jednak obietnicą wyborczą). Łamigłówka przedstawia obraz chińskich wojowników rozmieszczonych dokoła Ziemi znajdującej się na tekturowej tarczy, którą można obracać wokół środka. Kiedy strzałka wskazuje kierunek NE, wojowników jest 13, ale po obróceniu tarczy w taki sposób, by strzałka wskazywała kierunek NW, wojowników jest 12. Łamigłówka wprawia w konsternację. Najpierw jest 13 Chińczyków, a potem – w mgnieniu oka – już tylko 12. Który z nich zniknął i gdzie się podział?

Sztuczka, jaką zastosowano w tej łamigłówce, nazywa się zniknięciem geometrycznym. Zademonstruję ją na innym przykładzie. Poniższy rysunek przedstawia kartkę z dziesięcioma pionowymi kreskami. Kiedy kartkę przetnie się wzdłuż ukośnej linii, rozcięte części można przesunąć w taki sposób, by powstało jedynie dziewięć kresek. Gdzie podziała się dziesiąta? Otóż przesunięcie segmentów spowodowało utworzenie dziewięciu kresek dłuższych niż pierwotne. Jeśli kreski na pierwszym rysunku mają długość 10 jednostek, to długość kresek na drugim rysunku wynosi 11\frac{1}, ponieważ jedna z pierwotnych kresek została podzielona równo między pozostałych dziewięć.

Zniknięcie geometryczne: z 10 linii powstaje 9.

Sam Loyd w swojej łamigłówce zakrzywił zniknięcie geometryczne, nadając mu postać kolistą, a zamiast kresek umieścił chińskich wojowników: 13 pozycji odpowiada 10 kreskom; pozycja w lewym dolnym rogu, gdzie pierwotnie znajduje się 2 wojowników, jest odpowiednikiem końcowych kresek zniknięcia. Kiedy strzałkę przesunie się z NE na NW, we wszystkich pozycjach przybywa trochę wojownika, wyjąwszy pozycję z 2 wojownikami, która radykalnie się zmniejsza, sprawiając wrażenie, że zaginął cały wojownik. Faktycznie został po prostu rozdzielony między pozostałych. Sam Loyd twierdził, że wyprodukowano 10 milionów egzemplarzy tej zagadki. Zyskał bogactwo i sławę oraz niekwestionowany tytuł łamigłówkowego króla Ameryki.

Tymczasem w Wielkiej Brytanii podobną renomę zdobywał Henry Dudeney. Kapitalistyczna hucpa Sama Loyda i jego dar autoreklamy odzwierciedlały zaciętą rywalizację panującą w Nowym Jorku na przełomie wieków, Dudeney natomiast uosabiał bardziej powściągliwy angielski sposób bycia.

Dudeney urodził się w rodzinie hodowców owiec z Sussex i w wieku 13 lat podjął pracę jako urzędnik służby cywilnej w Londynie. Z nudów zaczął wysyłać opowiadania i zagadki do różnych wydawnictw. W końcu mógł całkowicie poświęcić się dziennikarstwu. Jego żona Alice pisała bestsellerowe romanse osadzone w wiejskiej scenerii Sussex, gdzie dzięki jej tantiemom małżeństwo mogło wieść luksusowe życie. Dudeneyowie, dzielący czas między wsią a Londynem, byli członkami elity literackiej, do której należał sir Arthur Conan Doyle, twórca Sherlocka Holmesa – bodaj najsłynniejszego pogromcy zagadek w całej literaturze.

Dudeney i Loyd po raz pierwszy nawiązali ze sobą kontakt prawdopodobnie w 1894 roku, kiedy to Amerykanin przedstawił pewien problem szachowy, święcie przekonany, że nikt nie odkryje jego rozwiązania w 53 ruchach. Młodszy od Loyda o 17 lat Dudeney znalazł rozwiązanie w 50 ruchach. Później panowie współpracowali ze sobą, ale pokłócili się, gdy Dudeney odkrył, że Loyd plagiatuje jego prace. Dudeney nabrał tak głębokiej pogardy dla Loyda, że porównywał go do diabła.

Choć obaj byli samoukami, Dudeney odznaczał się o wiele tęższym umysłem matematycznym. Jego łamigłówki często dotyczyły głębokich problemów i wyprzedzały dociekania akademickie. Na przykład w 1962 roku matematyk Mei-Ko Kwan zajmował się problemem marszruty, jaką powinien wybrać listonosz, aby przejść każdą z ulic po jak najkrótszej trasie. Dudeney sformułował – i rozwiązał – ten sam problem w zagadce o inspektorze górniczym obchodzącym podziemne szyby niemal 50 lat wcześniej.

Dudeney przyczynił się również niechcący do rozwoju teorii liczb. Jedna z jego zagadek – „wyciąganie pierwiastków” – wykorzystuje fakt, że pierwiastki sześcienne poniższych liczb są równe sumie cyfr składających się na te liczby:

1 = 1 · 1 · 1 | 1 = 1
512 = 8 · 8 · 8 | 8 = 5 + 1 + 2
4913 = 17 · 17 · 17 | 17 = 4 + 9 + 1 + 3
5832 = 18 · 18 · 18 | 18 = 5 + 8 + 3 + 2
17 576 = 26 · 26 · 26 | 26 = 1 + 7 + 5 + 7 + 6
19 683 = 27 · 27 · 27 | 27 = 1 + 9 + 6 + 8 + 3

Liczby o takiej własności – a jest ich jedynie 6 – dzisiaj nazywa się liczbami Dudeneya. Inną szczególnie mocną stroną Brytyjczyka była dysekcja geometryczna, która polega na tym, że daną figurę tnie się na części, z których układa się inną figurę, na takiej samej zasadzie jak w tangramie. Dudeney znalazł sposób przekształcenia kwadratu w pięciokąt za pomocą podziału na 6 elementów. Metoda ta weszła do kanonu klasyki, ponieważ przez wiele lat sądzono, że przekształcenie kwadratu w pięciokąt wymaga podziału przynajmniej na 7 części.

Dudeney odkrył również nowatorski sposób podziału trójkąta na 4 części i utworzenia z niego kwadratu. Zauważył przy tym, że jeśli te 4 elementy połączy się ze sobą zawiasami, można ułożyć je w łańcuch, który w jedną stronę składa się w trójkąt, a w drugą stronę – w kwadrat. Dudeney nazwał to „łamigłówką bławatnika”, ponieważ kształty przypominają ścinki tkanin w sklepie bławatnym. W ten oto sposób łamigłówka wprowadziła koncepcję „podziału zawiasowego” i wzbudziła takie zainteresowanie, że Dudeney wykonał egzemplarz z mahoniu z mosiężnymi zawiasami i przedstawił go w 1905 roku podczas spotkania Towarzystwa Królewskiego w Londynie. „Łamigłówka bławatnika” jest najwspanialszą spuścizną Dudeneya i od ponad 100 lat fascynuje i zachwyca matematyków.

Zachwycił się nią między innymi kanadyjski nastolatek Erik Demaine. Demaine’a, który był tak genialnym dzieckiem, że w wieku 20 lat został profesorem Instytutu Technologicznego Massachusetts (MIT), najbardziej interesowała „uniwersalność” problemu. Zastanawiał się, czy dowolną figurę o prostych bokach da się podzielić w taki sposób, by połączywszy zawiasami elementy w łańcuch, można było z nich złożyć dowolną inną figurę o prostych bokach i takiej samej powierzchni? Przez 10 lat głowił się na tym problemem i w marcu 2008 roku, w wieku 27 lat, ogłosił rozwiązanie przed niezwykle otwartym audytorium miłośników łamigłówek w sali balowej hotelu w Atlancie.

„Łamigłówka bławatnika”.

Demaine jest wysoki i chudy, ma puszystą brodę i ciemnoblond włosy spięte w kucyk. Na wielkim ekranie za swoimi plecami wyświetlił obraz „łamigłówki bławatnika”. Powiedział, że ostatnio postanowił zabrać się do tego problemu ze swoimi doktorantami. „Nie wierzyłem, że to prawda” – wyjaśnił. Jednak wbrew swoim oczekiwaniom wspólnie z doktorantami przekonał się, że można przekształcić dowolny wielokąt na dowolny inny wielokąt o takiej samej powierzchni za pomocą podziału zawiasowego w stylu „łamigłówki bławatnika”. Sala zaczęła klaskać – co nie jest zjawiskiem częstym na wyżynach geometrii obliczeniowej. Ale w krainie łamigłówek był to niezmiernie ekscytujący przełom – rozwiązanie słynnego problemu przez jeden z najinteligentniejszych umysłów swojego pokolenia.

Trudno wyobrazić sobie wdzięczniejszą widownię dla wystąpienia Demaine’a od uczestników Gathering for Gardner. Konferencja nazywana w skrócie G4G to najważniejszy na świecie zjazd matematyków, iluzjonistów i miłośników łamigłówek. Jest organizowana co 2 lata na cześć człowieka, który w drugiej połowie ubiegłego wieku zrewolucjonizował matematykę rozrywkową. Dziewięćdziesięciotrzyletni obecnie Martin Gardner prowadził comiesięczną rubrykę matematyczną w „Scientific American” w latach 1957–1981. Był to okres wielkiego rozwoju nauki – lotów w kosmos, technologii komputerowej oraz genetyki – ale tak naprawdę wyobraźnię czytelników najbardziej pobudzała żywa i klarowna proza Gardnera. Jego rubryka obejmowała rozległy zakres tematyczny, od gier planszowych po sztuczki magiczne, od numerologii po pierwsze gry komputerowe, i często wypuszczała się na tereny graniczne, takie jak lingwistyka czy projektowanie.

– Uważałem, że [Gardner] ma żartobliwy szacunek do matematyki, którego często brakuje w kołach matematycznych – powiedział mi Demaine, kiedy rozmawiałem z nim po wykładzie. – Ludzie na ogół są zbyt poważni. Postawiłem sobie za cel, by wszystko, co robię, było zabawne.

Demaine’a do lektury rubryki Gardnera zachęcił ojciec, dmuchacz szkła i rzeźbiarz. Demaine’owie, którzy często wspólnie publikują artykuły matematyczne, stanowią ucieleśnienie interdyscyplinarnego ducha Gardnera. Erik jest pionierem origami obliczeniowego, dziedziny tyleż matematycznej, co artystycznej – kilka modeli origami autorstwa Demaine’ów znajduje się nawet w zbiorach nowojorskiego Museum of Modern Art. Demaine uważa matematykę i sztukę za dziedziny pokrewne, które łączy „estetyka prostoty i piękna”.

W Atlancie Demaine nie wyjaśnił słuchaczom szczegółów swojego dowodu na uniwersalność podziałów typu „łamigłówki bławatnika”, powiedział jednak, że podział jednego wielokąta w taki sposób, by można było z połączonych zawiasami elementów utworzyć inny wielokąt, nie zawsze jest elegancki, a często jest praktycznie niewykonalny. Demaine pracuje obecnie nad zastosowaniem swoich ustaleń teoretycznych dotyczących podziałów zawiasowych do utworzenia robotów, które mogłyby poprzez składanie zmieniać kształt – tak jak bohaterowie komiksu i filmu Transformery, w których roboty płynnie przekształcają się w innego typu maszyny.

Była to ósma edycja konferencji G4G, której logo, jak zwykle, zaprojektował Scott Kim. Nadał mu postać inwersji zwanej ambigramem. Jeśli przekręcimy rysunek do góry nogami, otrzymamy identyczny napis. Kim, niegdysiejszy informatyk, a obecnie twórca łamigłówek, wymyślił ten styl symetrycznej kaligrafii w latach 70. Ambigramy nie muszą być takie same po obróceniu o 180 stopni – może to być dowolny rodzaj symetrii bądź ukryty tekst.

Pisarz Isaac Asimov nazwał Kima „Escherem alfabetu”, porównując go do holenderskiego artysty, który przewrotnie wykorzystywał perspektywę i symetrię do tworzenia wewnętrznie sprzecznych obrazów – najsłynniejsze są schody, które zdają się prowadzić coraz wyżej, by w końcu dotrzeć do punktu wyjściowego. Inne podobieństwo między Escherem a Kimem polega na tym, że twórczość obu artystów po raz pierwszy trafiła do masowego odbiorcy za sprawą Martina Gardnera.

Ambigramy niezależnie i jednocześnie stworzył również typograf i artysta John Langdon. Matematycy szczególnie upodobali sobie tego typu liternictwo, ponieważ w dowcipny sposób odzwierciedla ich własne poszukiwania w zakresie wzorów i symetrii. Pisarz Dan Brown poznał ambigramy dzięki ojcu, Richardowi Brownowi, który był nauczycielem matematyki. Dan Brown zlecił Langdonowi zaprojektowanie wyrażenia Angels & Demons (anioły i demony) w postaci ambigramu do swej bestsellerowej książki o takim samym tytule i na jego cześć nazwał głównego bohatera Robert Langdon. Langdon ponownie wystąpił jako bohater Kodu Leonarda da Vinci i Zaginionego symbolu. Ambigramy znalazły sobie również nową niszę – body art. Quasi-gotyckie zawijasy, dodawane często po to, by dopełnić symetrię, w połączeniu z mistyczną energią odczytywania imienia zwyczajnie i wspak bądź do góry nogami, idealnie wpasowały się w estetykę tatuażu.

Zaprojektowany przez Marka Palmera tatuaż, w którym anioł (Angel) po odwróceniu do góry nogami staje się diabłem (Devil).

Podczas G4G trudno oprzeć się myśli, że matematyka chroni przed demencją. Wielu gości było po siedemdziesiątce – niektórzy zaś po osiemdziesiątce, a nawet po dziewięćdziesiątce. Przez ponad półwiecze Gardner korespondował z tysiącami czytelników, wśród których znalazło się wielu słynnych matematyków, a część z nich została jego bliskimi przyjaciółmi.

Osiemdziesięcioośmioletni Raymond Smullyan jest światowym ekspertem w zakresie paradoksów logicznych – „matemagikiem”. Wykład rozpoczął słowami: „Zanim zacznę mówić, chciałbym coś powiedzieć”. Smukły i uroczo niedbały Smullyan, który ma opadające pasma białych włosów i pierzastą brodę, często zabawiał gości grą na hotelowym pianinie, prezentował również sztuczki magiczne na niczego niepodejrzewających przechodniach, a pewnego wieczoru podczas kolacji powalił widownię na kolana solowym występem kabaretowym.

Siedemdziesięciosześcioletni Solomon Golomb był mniej żwawy od Smullyana, ale za to potrafił rozmawiać, nie sypiąc paradoksami. Ten człowiek o wyglądzie dziadka i łagodnym głosie dokonał ważnych odkryć w dziedzinie łączności kosmicznej, matematyki oraz inżynierii elektrycznej, a dzięki pomocnej dłoni Martina Gardnera wniósł wkład do popkultury. Na początku kariery akademickiej Golomb wymyślił koncepcję polimina, czyli rodzaju kostek domina złożonych z więcej niż 2 kwadratów. Triomino składa się z 3, tetromino z 4 i tak dalej. Artykuł Gardnera o tym, jak dopasowuje się kostki, wywołał tak duże zainteresowanie międzynarodowe, że książka Golomba Polyominoes została przetłumaczona i wydana w Rosji, gdzie stała się bestsellerem. Pewien entuzjasta opracował grę ze spadającymi kostkami tetromina. Owa gra, która zyskała nazwę Tetris, stała się jedną z najżywotniejszych i najulubieńszych gier komputerowych na świecie. Golomb, oczywiście, pograł w tetris nie dłużej niż pół godziny.

Inny uczestnik G4G, Ivan Moscovich, jest podobny jak dwie krople wody do Vincenta Price’a w podeszłym wieku. Nienagannie ubrany w szykowny ciemny garnitur, z błyskiem w oku i starannie przystrzyżonymi cieniutkimi wąsikami, miał zaczesane do tyłu gęste, siwe włosy. Dla Moscovicha atrakcyjność łamigłówek polega na tym, że wymagają twórczego myślenia. Urodził się na terenie dzisiejszej Serbii i w czasie drugiej wojny światowej był więźniem obozów w Auschwitz i Bergen-Belsen. Uważa, że przeżył dzięki wrodzonej inwencji twórczej – nieustannie kreował sytuacje, które w efekcie uratowały mu życie. Po wojnie zmienił się w pracoholicznego autora łamigłówek. Lubi ciągle myśleć niekonwencjonalnie, by unikać tego, co nieuniknione. Nieustanne generowanie nowych pomysłów, jak sam powiedział, jest efektem traumy związanej z cudownym ocaleniem.

W ciągu minionego półwiecza Moscovich opatentował i wyprodukował około 150 łamigłówek i opracował książkę z łamigłówkami, którą okrzyknięto najwspanialszym zbiorem od czasów Loyda i Dudeneya. Dzisiaj, w wieku 82 lat, wiąże nadzieje ze swoim najnowszym dziełem: grą logiczną o nazwie You and Einstein. Polega ona na tym, by przesuwając klocki w obrębie kwadratowej ramki, ułożyć zdjęcie Einsteina. Moscovich zastosował jednak przewrotną innowację: każdy klocek zawiera ukośne lustro, które odbija sąsiedni klocek, a więc to, co wydaje się nam obrazem na klocku, w istocie jest odbiciem czegoś innego. Moscovich opowiadał mi, że jest podekscytowany tym, iż gra może odnieść światowy sukces.

Marzeniem Moscovicha, jak każdego w tej branży, jest oczywiście wynalezienie łamigłówki, która zapoczątkuje nowe szaleństwo. Tylko 4 łamigłówki o matematycznym charakterze stały się międzynarodową modą: tangram, piętnastka, kostka Rubika oraz sudoku. Najbardziej lukratywną była kostka. Od czasu opracowania pomysłu przez Ernő Rubika w 1974 roku sprzedano ponad 300 milionów jej egzemplarzy. Kostka o krzykliwych kolorach odniosła nie tylko sukces komercyjny, lecz także zakorzeniła się w kulturze popularnej. W królestwie łamigłówek nie ma sobie równych i rzecz jasna nie mogło jej zabraknąć podczas G4G w 2008 roku. Wykład o kostce Rubika w 4 wymiarach przyjęto entuzjastycznymi brawami.

Oryginalna kostka Rubika ma układ 3 × 3 × 3 i składa się z 26 sześcianów. Każdy „plaster” poziomy i pionowy można przekręcać niezależnie. Gra się w ten sposób, że po pomieszaniu sześcianów obraca się plastrami, by na końcu każdy bok sześcianu był jednobarwny. Jest 6 kolorów, po jednym na każdą ścianę. Moscovich powiedział mi, że Rubik wykazał się podwójną błyskotliwością. Już sam pomysł kostki nosi znamiona geniuszu, a do tego sposób dopasowania do siebie sześcianów jest przykładem niezwykle zmyślnej inżynierskiej roboty. Po rozebraniu kostki Rubika nie znajdziemy żadnego dodatkowego urządzenia mechanicznego, które spajałoby wszystko razem – każdy klocek zawiera kawałek środkowej, zazębiającej się kuli.

Kostka jest atrakcyjna także jako przedmiot. Jest bryłą platońską, której kultowy i mistyczny status sięga przynajmniej czasów starożytnej Grecji. Ma znakomitą nazwę firmową: chwytliwą, ze wspaniałym asonansem i konsonansem. Przez pewien czas uwodziła wschodnią egzotyką, tym razem nie rodem z Azji, lecz z zimnowojennej Europy Wschodniej. Brzmienie jej nazwy kojarzyło się ze sputnikiem – pokazowym wytworem radzieckiej technologii kosmicznej.

Kolejny czynnik sukcesu to fakt, że choć ułożenie kostki nie było łatwe, nie zniechęcało ludzi. Graham Parker, budowlaniec z Hampshire, zmagał się z nią przez 26 lat, aż w końcu zrealizował swoje marzenie. „Opuszczałem ważne wydarzenia, zostawałem w domu i ją układałem, w nocy nie mogłem zasnąć, tylko cały czas o niej myślałem – mówił po spędzeniu mniej więcej 27 400 godzin na układaniu kostki. – Kiedy wstawiłem ostatni kawałek na miejsce i każda ścianka była w jednym kolorze, rozpłakałem się. Nie potrafię opowiedzieć, jaka to była ulga”. Ci, którym udało się ją ułożyć w rozsądniejszym czasie, zawsze chcieli ułożyć ją jeszcze raz, ale szybciej. Skracanie swoich rekordów w kostce Rubika stało się sportem wyczynowym.

Speedcubing, czyli układanie kostki na czas, na dobre narodził się dopiero niedawno, około roku 2000. Do jego rozkwitu po części przyczynił się sport jeszcze dziwaczniejszy niż rozwiązywanie na czas mechanicznych łamigłówek. Speedstacking to dyscyplina polegająca na jak najszybszym układaniu piętrami plastikowych kubków według ustalonych wzorów. Jest ona tyleż fascynująca, co widowiskowa – najlepsi zawodnicy poruszają się tak szybko, że wydaje się, jakby malowali powietrze plastikiem. Sport wynaleziono w Kalifornii w latach 80. jako sposób na doskonalenie koordynacji ręka–oko oraz ogólnej sprawności dzieci. Ponoć 20 000 szkół na całym świecie ma dzisiaj tę dyscyplinę w programie wychowania fizycznego. W układaniu kubków używa się specjalnych mat wyposażonych w czujnik dotyku połączony ze stoperem. Dzięki matom środowisko speedcubingu zyskało wreszcie znormalizowaną metodę pomiaru czasu układania kostki i używa się ich obecnie podczas wszystkich zawodów.

Mniej więcej co tydzień gdzieś na świecie odbywają się oficjalne zawody w speedcubingu. Aby zagwarantować dostatecznie trudny układ wyjściowy, przepisy określają, że kostki należy mieszać zgodnie z losową sekwencją ruchów wygenerowaną przez program komputerowy. Aktualny rekord 7,08 sekundy został ustanowiony w 2008 roku przez Erika Akkersdijka, dziewiętnastoletniego studenta z Holandii. Do Akkersdijka należy również rekord w układaniu kostki 2 × 2 × 2 (0,96 sekundy), kostki 4 × 4 × 4 (40,05 sekundy) oraz kostki 5 × 5 × 5 (1 minuta 16,21 sekundy). Potrafi on ułożyć kostkę Rubika także za pomocą stóp – jego czas wynosi 51,36 sekundy i jest 4. na świecie. Akkersdijk musi jednak popracować nad biegłością w układaniu kostki jedną ręką (33. miejsce na świecie) i z zawiązanymi oczami (43. miejsce). Zasady układania z zawiązanymi oczami są następujące: stoper włącza się w momencie pokazania kostki zawodnikowi. Zawodnik musi dokładnie się jej przyjrzeć i założyć przepaskę na oczy. Kiedy uzna, że ułożył kostkę, mówi sędziemu, by zatrzymał stoper. Aktualny rekord 48,05 sekundy ustanowił Ville Seppänen z Finlandii w 2008 roku. Inne dyscypliny speedcubingu to układanie kostki Rubika podczas jazdy kolejką górską, pod wodą, za pomocą chińskich pałeczek, podczas balansowania na monocyklu oraz w trakcie swobodnego spadania.

Od strony matematycznej najbardziej interesującą kategorią w turniejach kostkowych jest ustalanie sposobu rozwiązania w jak najmniejszej liczbie ruchów. Zawodnik dostaje oficjalnie pomieszaną kostkę i ma 60 minut na przestudiowanie położenia pól, by potem opisać najkrótszą sekwencję układania, jaką jest w stanie wymyślić. W 2009 roku Jimmy Coll z Belgii ustanowił rekord świata: 22 ruchy. Ale była to tylko liczba ruchów, jaką bardzo bystry człowiek potrzebował do ułożenia pomieszanej kostki po sześćdziesięciominutowym namyśle. Czy byłby w stanie znaleźć rozwiązanie tej samej konfiguracji w mniejszej liczbie ruchów, gdyby miał na to 60 godzin? Matematyków w związku z kostką Rubika najbardziej intryguje, jaka jest najmniejsza liczba ruchów n, taka że każdą konfigurację można rozwiązać w co najwyżej n ruchach. Na znak szacunku n w tym przypadku nazwano „liczbą Boga”.

Odnalezienie liczby Boga jest niezwykle skomplikowanym zadaniem, gdyż w grę wchodzą bardzo wielkie liczby. Istnieje około 43 · 10¹⁸ (czyli 43 z 18 zerami) konfiguracji kostki. Gdyby wszystkie kostki o niepowtarzalnym układzie ustawić jedna na drugiej, wieża byłaby ponad 8 milionów razy dłuższa niż odległość do Słońca i z powrotem. Analizowanie każdego układu po kolei byłoby zdecydowanie zbyt czasochłonne. Dlatego matematycy studiują grupy układów. Tomas Rokicki, który zajmuje się tym problemem od około 20 lat, przeanalizował zbiór 19,5 miliarda zbliżonych układów i odkrył sposoby rozwiązania ich w 20 lub mniej ruchach. Zbadał już jakiś milion podobnych zbiorów po 19,5 miliarda układów, by ponownie przekonać się, że wystarczy 20 ruchów. W 2008 roku udowodnił, że wszystkie pozostałe konfiguracje kostki Rubika dzielą jedynie 2 ruchy od któregoś z układów w jego zbiorach, więc górną granicą liczby Boga jest 22.

Rokicki przekonany jest, że liczba Boga to 20.

– Rozwiązałem do tej pory około 9 procent wszystkich konfiguracji kostki i do żadnej z nich nie trzeba było 21 ruchów. Jeśli pozycje wymagające co najmniej 21 ruchów w ogóle istnieją, to są one wyjątkowo rzadkie.

Wyzwaniem dla Rokickiego są nie tyle kwestie teoretyczne, ile logistyczne. Analizowanie zbiorów konfiguracji kostki wymaga niewiarygodnej ilości pamięci komputerowej i czasu.

– Przy mojej obecnej metodzie potrzebne byłoby mi około 1000 nowoczesnych komputerów przez jakiś rok, by udowodnić [że liczba Boga] wynosi 20.

Matematyka kostki jest hobby Rokickiego od dawna. Kiedy zapytałem go, czy myślał o zajęciu się matematyką innych łamigłówek, na przykład sudoku, zażartował:

– Niech pan nie próbuje mnie rozpraszać innymi lśniącymi problemami. Matematyka kostki jest wystarczająco ambitnym zadaniem!

Ernő Rubik nadal mieszka na Węgrzech i rzadko udziela wywiadów. Miałem jednak okazję poznać w Atlancie jednego z jego dawnych studentów, Dániela Erdélyego. Spotkaliśmy się w sali hotelowej poświęconej „obiektom matematycznym”. Na stołach wyłożono modele origami, kształty geometryczne i wymyślne łamigłówki. Erdély szukał tam swoich dzieł: błękitnych przedmiotów wielkości piłki do krykieta o powierzchni pofałdowanej w skomplikowane zawijasy. Traktował je z czułością, z jaką hodowca psów odnosi się do miotu szczeniąt. Podniósł jeden z nich, pokazał krystaliczny krajobraz planety mieszczącej się w dłoni i rzekł:

– Spidrony.

Erdély, tak jak Rubik, nie jest matematykiem. Rubik jest architektem, a Erdély grafikiem, który studiował projektowanie graficzne na Moholy-Nagy Művészeti Egyetem – budapeszteńskim uniwersytecie sztuk pięknych i użytkowych, gdzie Rubik był wykładowcą. W 1979 roku Erdély uczęszczał na zajęcia prowadzone przez Rubika. W ramach pracy domowej zaprojektował nowy kształt złożony z ciągu malejących trójkątów na przemian równobocznych i równoramiennych. Nazwał go spidronem, ponieważ zakręca się jak spirala. Zanim ukończył studia, spidrony stały się jego obsesją. Bawił się nimi bez końca i zauważył, że tak jak kafelki można je dopasowywać do siebie na wiele estetycznie efektownych sposobów, zarówno w 2, jak i w 3 wymiarach. Około 5 lat temu przyjaciel pomógł mu napisać program do tworzenia spidronów na komputerze. Ich mozaikowe własności zauroczyły potem matematyków, inżynierów i rzeźbiarzy, a Erdély został podróżującym po świecie opiekunem spidronu. Uważa, że mógłby znaleźć zastosowanie w projektowaniu na przykład paneli słonecznych. Podczas G4G spotkał człowieka, który prowadzi firmę wystrzeliwującą rakiety. Jak mi powiedział, być może spidron czeka właśnie lot w kosmos.

Spidron i kula spidronowa.

Pewnego popołudnia delegaci z konferencji przenieśli się do domu Toma Rodgersa na przedmieściach Atlanty. Rodgers, biznesmen dobrze po pięćdziesiątce, zorganizował pierwsze G4G w 1993 roku. Od dziecka był wielbicielem Gardnera i początkowo myślał o zjeździe, podczas którego słynący z nieśmiałości Gardner mógłby spotkać się z częścią licznego grona korespondujących z nim czytelników. Rodgers postanowił zaprosić gości z 3 konkretnych dziedzin interesujących Gardnera – matematyki, sztuczek magicznych i łamigłówek. Zjazd okazał się takim sukcesem, że w 1996 roku zorganizowano następny. Gardner pojawił się na 2 pierwszych, ale potem był już na to za słaby.

Rodgers mieszka w parterowym domu zaprojektowanym w stylu japońskim, w otoczeniu lasu, w którym rosną bambusy, sosny i drzewa owocowe, które właśnie kwitły, kiedy przyjechałem. W ogrodzie grupa gości dzieliła się na drużyny, aby zbudować rzeźby geometryczne z drewna i metalu. Inni bawili się w specjalnie przygotowane łamigłówkowe podchody ze wskazówkami przyczepionymi do zewnętrznych ścian domu.

Nagle uwagę wszystkich przykuł krzyk profesora matematyki Johna Hortona Conwaya z Uniwersytetu Princeton. Conway miał rozczochraną brodę, gęstą grzywę srebrnych włosów i ubrany był w T-shirt z równaniem. Jest jednym z najwybitniejszych matematyków ostatniego pięćdziesięciolecia. Poprosił, by wszyscy przynieśli mu po 10 sosnowych szyszek, by mógł liczyć ich spirale. Klasyfikacja szyszek to jego nowe hobby – w ciągu paru lat, od kiedy się tym zajmuje, przeanalizował około 5000 szyszek.

W domu Rodgersa spotkałem Colina Wrighta, Australijczyka mieszkającego w Port Sunlight w dystrykcie Wirral. Z rudą chłopięcą fryzurą i okularami wygląda tak, jak ludzie wyobrażają sobie matematyka. Wright jest żonglerem, co, jak powiedział, „wydawało się rzeczą oczywistą po tym, kiedy opanowałem jazdę na monocyklu”. Przyczynił się również do utworzenia matematycznego zapisu żonglowania, co może nie brzmi imponująco, ale zelektryzowało międzynarodowe środowisko żonglerki. Okazuje się, że dzięki temu żonglerzy potrafią odkryć sztuczki, które wymykały się im od tysięcy lat.

– Kiedy mamy język dotyczący danego problemu, wspomaga to nasz proces myślowy – powiedział Wright, wyjmując piłki, aby zademonstrować niedawno wymyśloną żonglerkę 3 piłkami. – Matematyka to nie rachunki, obliczenia i wzory. To rozkładanie rzeczy na części, żeby zrozumieć ich działanie.

Zapytałem go, czy nie dostrzega przejawów beztroski, jałowości albo nawet marnotrawstwa w tym, że najwspanialsze umysły matematyki poświęcają czas na zajmowanie się tak błahymi rozrywkami, jak żonglerka, liczenie szyszek czy choćby rozwiązywanie łamigłówek.

– Niech matematycy robią to, co robią – odpowiedział. – Nigdy tak naprawdę nie wiadomo, co okaże się przydatne.

Przytoczył przykład profesora z Cambridge G.H. Hardy’ego, który w 1940 roku zasłynął zadufaną wypowiedzią, że teoria liczb nie ma żadnych zastosowań praktycznych – tymczasem dzisiaj stanowi ona podstawę wielu programów bezpieczeństwa w internecie. Zdaniem Wrighta matematycy z „absurdalnym powodzeniem” znajdują zastosowania dla pozornie bezużytecznych twierdzeń, często po wielu latach od ich odkrycia.

Jednym z najbardziej ujmujących aspektów G4G jest to, że wszyscy goście proszeni są o przyniesienie podarunku – „czegoś co, chcieliby podarować Martinowi”. Właściwie to należy przynieść 300 egzemplarzy swojego prezentu, ponieważ każdy gość na zakończenie otrzymuje torbę zawierającą po 1 prezencie od każdego. Tamtego roku w pakiecie znalazłem łamigłówki, sztuczki magiczne, książki, płyty CD, gadżety i kawałek plastiku, za pomocą którego może przemówić puszka coli. Jedna torba była dla Martina Gardnera i zabrałem ją dla niego.

Gardner mieszka w Norman w Oklahomie. W dniu mojego przyjazdu przez cały stan przetaczały się burze. Po kilku złych skrętach z autostrady znalazłem jego dom – ośrodek spokojnej starości obok lokalu z teksaskim fast foodem. Drzwi do pokoju znajdują się zaledwie kilka kroków od wejścia, za świetlicą, w której siedziało i gawędziło kilkoro starszych pensjonariuszy. Obok drzwi Gardnera, który nie używa poczty elektronicznej, zamontowano skrzynkę na korespondencję. Wysyła on więcej listów niż pozostali mieszkańcy domu razem wzięci.

Gardner otworzył drzwi i zaprosił mnie do środka. Na ścianie wisiały jego portret wykonany z kostek domina, duża fotografia Einsteina oraz oryginalna praca Eschera. Gardner był ubrany w zieloną koszulę i spodnie. Miał miękką cerę bez zarostu, kosmyki białych włosów, duże szylkretowe okulary i żywe oczy. Było w nim coś eterycznego. Szczupły, doskonałą postawę zawdzięczał prawdopodobnie codziennej pracy przy pulpicie na stojąco.

Wizyta u Gardnera przypominała żywcem Czarnoksiężnika z krainy Oz. Znajdowałem się na targanym huraganem Środkowym Zachodzie i szedłem na spotkanie ze starym sztukmistrzem. Skojarzenie z Dorotką i spółką okazało się wyjątkowo trafne. Choć nie wiedziałem o tym przed spotkaniem, Gardner jest światowym ekspertem od L. Franka Bauma, autora Czarnoksiężnika z krainy Oz. Gardner powiedział mi, że dekadę wcześniej napisał nawet dalszy ciąg, w którym Dorota z przyjaciółmi wybiera się na Manhattan. Recenzje, choć nieszczególnie przychylne, ukazały się w poważnych gazetach.

– Książka została napisana głównie dla fanów Oza – stwierdził Gardner.

Przekazałem mu torbę z podarunkami z G4G i zapytałem, jak to jest być tematem konferencji.

– Jestem zaszczycony i zaskoczony – odpowiedział. – Zdumiewa mnie, jak to się rozwinęło. – Szybko stało się jasne, że rozmowa o jego splendorze wśród matematyków krępuje go. – Nie jestem matematykiem – wyjaśnił. – Właściwie jestem dziennikarzem. Nie wychodzę poza rachunek różniczkowy. To był sekret sukcesu mojej rubryki. Tak dużo czasu zajmowało mi zrozumienie tego, o czym pisałem, że wiedziałem, jak pisać, by większość czytelników zrozumiała.

Kiedy dowiedziałem się, że Gardner nie jest prawdziwym matematykiem, na początku poczułem się nieco rozczarowany, jakby Czarnoksiężnik zerwał zasłonę.

Ulubionym tematem Gardnera są sztuczki magiczne. Nazywa je swoim głównym hobby. Prenumeruje czasopisma iluzjonistyczne i – na tyle, na ile pozwala mu artretyzm – sam robi sztuczki. Zaproponował, że pokaże mi coś, co określił jako jedyną karcianą sztuczkę iluzjonistyczną, jaką sam wymyślił: wink change, w której kolor karty zmienia się „w mgnieniu oka”. Wziął talię kart i umieścił czarną kartę między talią a dłonią. Czarna karta natychmiast stała się czerwoną. Gardner zainteresował się matematyką za sprawą „matematycznych sztuczek magicznych”, i to właśnie magicy, a nie matematycy, stanowili za młodu jego krąg towarzyski. Powiedział, że lubi sztuczki magiczne, ponieważ wywołują uczucie zachwytu światem.

– Widzisz kobietę unoszącą się w powietrzu i uświadamiasz sobie, że równie cudowne jest to, że spada na ziemię pod wpływem grawitacji […] nie zdajemy sobie sprawy, że grawitacja jest czymś równie tajemniczym, jak lewitująca kobieta.

Zapytałem, czy matematyka budzi w nim taki sam zachwyt.

– Absolutnie tak – odpowiedział.

Gardner znany jest przede wszystkim jako autor piszący o matematyce, ale to zaledwie część jego dorobku. Jego debiutem była Pseudonauka i pseudouczeni, pierwsza popularna książka demaskująca pseudonaukę. Pisał o filozofii i wydał poważną powieść na temat religii. Jego bestsellerem jest The Annotated Alice, ponadczasowe kompendium przypisów do Alicji w Krainie Czarów oraz Po drugiej stronie lustra Lewisa Carrolla. W wieku 93 lat najwyraźniej nie zwalnia tempa. Ma właśnie wydać zbiór esejów poświęconych G.K. Chestertonowi i pośród wielu innych zajęć opracowuje opasłą księgę gier słownych.

Dzięki Gardnerowi matematyka rozrywkowa utrzymuje się w bardzo dobrej kondycji. Jest to pasjonująca i różnorodna dziedzina, która sprawia przyjemność ludziom w każdym wieku i każdej narodowości, a także stanowi inspirację dla poważnych badań nad poważnymi problemami. Byłem nieco zbity z tropu, gdy dowiedziałem się, że Gardner nie jest matematykiem. Po wyjściu z ośrodka doszedłem jednak do wniosku, że to przecież znakomicie pasuje do ducha matematyki rozrywkowej, iż człowiek, który ją dzisiaj uosabia, jest jedynie zapalonym amatorem.

¹ W oryginale liczba ziaren orkiszu zapisana była błędnie jako 2301.

² Egipska miara objętości.

³ Dosłownie „spadaj z Ziemi”. W Polsce łamigłówka znana jest pod nazwą „Gdzie jest Chińczyk?” oraz „Znikający Chińczyk” (przyp. red.).

ROZDZIAŁ SIÓDMY
Wciągające ciągi

W Atlancie poznałem człowieka o niezwykłym hobby. Neil Sloane kolekcjonuje liczby. Nie pojedyncze, to byłoby głupie, lecz całe rodziny liczb w uporządkowanych listach zwanych ciągami. Na przykład liczby naturalne stanowią ciąg, który można zdefiniować w ten sposób, że n-ty wyraz ciągu to n:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …

Sloane zaczął gromadzić swoją kolekcję w 1963 roku jako doktorant na Uniwersytecie Cornella i najpierw zapisywał ciągi na kartach. Dla kogoś, kto lubi uporządkowane listy, oczywistym krokiem było sporządzenie ich uporządkowanego zestawienia. Dekadę później doszedł już do 2400 ciągów, które opublikował w książce zatytułowanej A Handbook of Integer Sequences. W połowie lat 90. miał ich 5500. Jednak dopiero dzięki wynalezieniu internetu kolekcja znalazła swoje idealne medium. Lista Sloane’a przerodziła się w On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (internetową encyklopedię ciągów liczb całkowitych), kompendium, które zawiera dzisiaj ponad 160 000 pozycji i powiększa się o mniej więcej 10 000 rocznie.

Na pierwszy rzut oka Sloane wydaje się typowym domatorem. Jest drobnej budowy, łysy i nosi grube kwadratowe okulary. Odznacza się przy tym muskularnością i tężyzną, porusza się krokiem mistrza zen, co jest efektem uprawiania jego drugiej pasji – wspinaczki. Sloane tak samo lubi trudy wspinania się po formacjach geologicznych, jak i po liczbowych. Jego zdaniem podobieństwo między badaniem ciągów i pokonywaniem trudnego terenu górskiego polega na tym, że jedno i drugie wymaga umiejętności sprytnego rozwiązywania łamigłówek. Powiedziałbym, że jest jeszcze jedna paralela: ciągi zachęcają do liczbowego alpinizmu – ilekroć człowiek dociera do wyrazu n, budzi się w nim naturalna chęć znalezienia wyrazu n + 1. Pragnienie dotarcia do następnego wyrazu jest jak pragnienie zdobywania coraz wyższych szczytów – z tym że alpinistów rzecz jasna ogranicza geografia, natomiast ciągi często ciągną się w nieskończoność.

Jak kolekcjoner płyt, który przeboje sprzed lat układa obok barwnych rzadkości, Sloane w swojej encyklopedii łączy zarówno zwyczajne, jak i dziwaczne okazy. Jego kolekcja obejmuje na przykład poniższy ciąg nazywany „ciągiem zero”, który składa się z samych zer. (Każdy ciąg w encyklopedii oznaczony jest numerem referencyjnym zaczynającym się od litery A. Ciąg zero był czwartym ciągiem w zbiorze Sloane’a, stąd jego nazwa A4).

(A4) 0, 0, 0, 0, 0, …

Jako najprostszy niekończący się ciąg, jest najmniej dynamicznym ciągiem w kolekcji, choć trudno mu odmówić pewnego nihilistycznego wdzięku.

Obsługa encyklopedii internetowej to praca na okrągło, którą Sloane wykonuje oprócz etatowej – w charakterze matematyka w AT&T Labs w New Jersey¹. Nie musi już jednak poświęcać czasu na wygrzebywanie nowych ciągów. Po sukcesie encyklopedii nieustannie otrzymuje nowe propozycje. Przychodzą od zawodowych matematyków oraz, w większych ilościach, od laików z obsesją na punkcie liczb. Sloane ma tylko 1 kryterium decydujące o przyjęciu ciągu do klubu: musi on być „dobrze zdefiniowany i interesujący”. To pierwsze oznacza po prostu, że każdy wyraz ciągu musi być opisany w sposób algebraiczny bądź retoryczny. Drugie jest kwestią jego oceny, choć jeśli nie ma pewności, zwykle akceptuje dany ciąg. Z faktu, że ciąg jest dobrze zdefiniowany i interesujący, nie wynika bynajmniej, że dzieje się w nim coś matematycznego. Jest tu miejsce również dla historii, folkloru i najrozmaitszych dziwactw.

W encyklopedii znajduje się starożytny ciąg:

(A100000) 3, 6, 4, 8, 10, 5, 5, 7

Liczby ciągu to przełożone na cyfry znaki wyryte na jednym z najstarszych znanych artefaktów matematycznych – kości z Ishango, która pochodzi sprzed 22 000 lat i została odnaleziona na terenie dzisiejszej Demokratycznej Republiki Konga. Początkowo myślano, że ta kość małpy była rodzajem tally stick, później jednak wysunięto hipotezę, że sekwencja 3 i jego podwojenie, 4 i jego podwojenie, 10 i jego połowa wskazuje na bardziej wyrafinowane rozumowanie arytmetyczne.

W kolekcji znajduje się również złowrogi ciąg:

(A51003) 666, 1666, 2666, 3666, 4666, 5666, 6660, 6661, …

Ciąg ten bywa nazywany „liczbami Bestii”, ponieważ zawierają one sekwencję 666 w rozwinięciu dziesiętnym.

W lżejszym tonie utrzymany jest ciąg:

(A38674) 2, 2, 4, 4, 2, 6, 6, 2, 8, 8, 16

Są to liczby z latynoskiej piosenki dziecięcej La Farolera: Dos y dos son quatro, cuatro y dos son seis. Seis y dos son ocho, y ocho dieciseis.

Ale bodaj najbardziej klasyczny ze wszystkich ciągów tworzą liczby pierwsze:

(A40) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, …

Liczby pierwsze to liczby naturalne większe od 1, które dzielą się wyłącznie przez siebie oraz 1. Łatwo je opisać, ale ciąg ma dość efektowne, a czasem zagadkowe właściwości. Po pierwsze, jak dowiódł Euklides, ich liczba jest nieskończona. Jeśli pomyślimy jakąś liczbę, jakąkolwiek, zawsze będziemy w stanie znaleźć liczbę pierwszą większą od niej. Po drugie, każdą liczbę naturalną powyżej 1 można zapisać jako niepowtarzalny iloczyn liczb pierwszych. Innymi słowy, każda liczba równa się niepowtarzalnemu zestawowi liczb pierwszych pomnożonych przez siebie. Na przykład 221 to 13 · 17. Następna liczba, 222, to 2 · 3 · 37. Kolejna liczba, 223, jest pierwsza, więc jest iloczynem tylko 223 · 1, a 224 to 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 7. Możemy postępować tak w nieskończoność, każdą liczbę da się sprowadzić do iloczynu liczb pierwszych. Na przykład miliard to 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5. Ta cecha liczb nazywana jest podstawowym twierdzeniem arytmetyki i wyjaśnia, dlaczego liczby pierwsze uważa się za niepodzielne podstawowe elementy systemu liczb naturalnych.

Liczby pierwsze są podstawowymi elementami również wtedy, gdy je dodajemy. Każda liczba parzysta większa od 2 jest sumą 2 liczb pierwszych:

4 = 2 + 2

6 = 3 + 3

8 = 5 + 3

10 = 5 + 5

12 = 5 + 7

…

222 = 199 + 23

224 = 211 + 13

…

Przypuszczenie, że każda liczba parzysta jest sumą 2 liczb pierwszych, nazywana jest hipotezą Goldbacha, od nazwiska pruskiego matematyka Christiana Goldbacha, który korespondował na ten temat z Leonhardem Eulerem. Euler był „całkowicie pewien”, że hipoteza jest prawdziwa. W ciągu niemal 300 lat badań i prób nikomu nie udało się znaleźć liczby parzystej, która nie byłaby sumą 2 liczb pierwszych, ale jak dotąd nikt też nie zdołał udowodnić prawdziwości hipotezy. Jest to jeden z najstarszych i najsłynniejszych nierozwiązanych problemów w matematyce. W 2000 roku wydawcy matematycznego kryminału Zabójcza hipoteza Apostolosa Doxiadisa byli tak pewni, że znalezienie dowodu nadal przekracza możliwości matematyki, że ufundowali nagrodę w wysokości miliona dolarów dla każdego, kto zdoła rozwiązać ten problem. Nikt tego nie dokonał.

Hipoteza Goldbacha nie jest jedyną nierozstrzygniętą kwestią dotyczącą liczb pierwszych. Przedmiotem badań jest również ich rozmieszczenie na osi liczbowej – bez żadnego oczywistego schematu. W istocie poszukiwanie prawidłowości rządzących rozmieszczeniem liczb pierwszych jest jednym z najżyźniejszych obszarów badań w teorii liczb i doprowadziło do wielu poważnych odkryć i hipotez.

Mimo całej swej wyjątkowości liczby pierwsze nie mają jednak monopolu na skrywanie tajemnic matematycznego porządku (lub nieporządku). Wszystkie ciągi w jakiś sposób przyczyniają się do lepszego zrozumienia właściwości liczb. Encyklopedię Sloane’a można potraktować jako kompendium wzorców, księgę katastralną matematycznego DNA, katalog ukrytego ładu liczbowego świata. Całe przedsięwzięcie zrodziło się być może z osobistej obsesji Neila Sloane’a, ale z czasem stało się naprawdę ważną bazą naukową.

Sloane widzi w encyklopedii matematyczny odpowiednik bazy danych FBI z odciskami palców.

– Po znalezieniu odcisków palców na miejscu zbrodni sprawdza się je w kartotece, żeby zidentyfikować podejrzanego – powiedział. – Tak samo jest z encyklopedią. Matematycy natrafią na jakiś ciąg liczb, który w naturalny sposób pojawia się w ich pracy, a potem szukają go w bazie danych; miło im, kiedy okazuje się, że już tam jest.

Baza przydaje się nie tylko w czystej matematyce. Inżynierowie, chemicy, fizycy i astronomowie również sprawdzają ciągi w encyklopedii, odkrywając nieoczekiwane powiązania i zyskując matematyczne spojrzenie na swój obszar badań. Dla specjalistów z dziedzin obfitujących w nieprzeniknione ciągi liczbowe, które mają nadzieję zrozumieć, baza danych jest żyłą złota.

Dzięki encyklopedii Sloane poznaje mnóstwo nowych idei matematycznych, poza tym zajmuje się wymyślaniem swoich własnych. W 1973 roku stworzył koncepcję „oporności liczby” (persistence of a number). Jest to liczba kroków potrzebnych do otrzymania jednocyfrowej liczby z jakiejś liczby: mnoży się przez siebie wszystkie cyfry danej liczby, by otrzymać kolejną liczbę, następnie mnoży się przez siebie jej cyfry, by otrzymać trzecią i tak dalej, aż uzyskamy liczbę jednocyfrową. Na przykład:

88 → 8 · 8 = 64 → 6 · 4 = 24 → 2 · 4 = 8

Zatem zgodnie z systemem Sloane’a 88 ma oporność 3, ponieważ dotarcie do liczby jednocyfrowej wymaga 3 kroków. Wydawałoby się, że im większa liczba, tym większą ma oporność. Na przykład 679 ma oporność 5:

679 → 378 → 168 → 48 → 32 → 6

Licząc w taki sam sposób, przekonalibyśmy się, że oporność 277 777 788 888 899 wynosi 11. W oporności tkwi jednak pewna zagwozdka: Sloane nie odkrył liczby o oporności większej niż 11, choć sprawdził wszystkie liczby po kolei aż do 10²³³, które składa się z 1 i 233 zer. Innymi słowy, obojętnie jaką liczbę wybierzemy, mnożąc wszystkie cyfry składowe zgodnie z zasadami obliczania oporności, do liczby jednocyfrowej dotrzemy w co najwyżej 11 krokach.

Jest to cudownie sprzeczne z intuicją. Wydawałoby się bowiem, że jeśli mamy liczbę złożoną z jakichś 200 wysokich cyfr, powiedzmy ósemek i dziewiątek, to iloczyn poszczególnych cyfr powinien być dostatecznie duży, by sprowadzenie tej liczby do pojedynczej cyfry wymagało dużo więcej niż 11 kroków. Wielkie liczby załamują się jednak pod własnym ciężarem. Dzieje się tak dlatego, że ilekroć w liczbie wystąpi 0, iloczyn wszystkich cyfr wynosi 0. Jeśli w danej liczbie początkowo nie ma żadnych zer, to i tak zawsze pojawi się ono przed jedenastym krokiem, chyba że liczba zostanie wcześniej zredukowana do pojedynczej cyfry. Sloane odkrył w oporności niezwykle skutecznego pogromcę olbrzymów.

Na tym jednak nie poprzestał i skompilował ciąg, w którym n-ty wyraz jest najmniejszą liczbą o oporności n. (Bierzemy pod uwagę tylko liczby złożone z przynajmniej 2 cyfr). Pierwszym takim wyrazem jest 10, ponieważ:

10 → 0 i 10 jest najmniejszą liczbą dwucyfrową redukowaną w 1 kroku.

Drugim wyrazem jest 25, ponieważ:

25 → 10 → 0 i 25 jest najmniejszą liczbą dwucyfrową redukowaną w 2 krokach.

Trzeci wyraz to 39, ponieważ:

39 → 27 → 14 → 4 i 39 jest najmniejszą liczbą dwucyfrową redukowaną w 3 krokach.

Pełna lista wygląda następująco:

(A3001) 10, 25, 39, 77, 679, 6788, 68 889, 2 677 889, 26 888 999, 3 778 888 999, 277 777 788 888 899

Jest w tym zestawie liczb coś dziwnie fascynującego. Z jednej strony wykazują wyraźny ład, ale z drugiej strony stanowią trochę asymetryczną mieszaninę. Oporność przypomina maszynkę do mielenia mięsa na kiełbaski, która wytwarza tylko 11 kiełbasek o bardzo dziwnych kształtach.

Dobry znajomy Sloane’a, profesor John Horton Conway z Princeton, również lubi zabawiać się wymyślaniem niekonwencjonalnych koncepcji matematycznych. W 2007 roku wymyślił koncepcję „układu przenoszenia napędu” (powertrain). Dla dowolnej liczby zapisywanej jako abcd… jej powertrain to abcd… W przypadku liczb o nieparzystej liczbie cyfr ostatnia cyfra nie ma wykładnika potęgi, więc abcde przyjmuje postać abcde. Rozważmy liczbę 3462. Redukuje się ona do 3⁴6²= 81 · 36 = 2916. Zastosujmy powertrain do skutku, aż otrzymamy liczbę jednocyfrową:

3462 → 2916 → 2⁹1⁶= 512 · 1 = 512 → 5¹2 = 10 → 1⁰= 1

Conway chciał się dowiedzieć, czy istnieją liczby, które nie redukują się do liczby jednocyfrowej pod wpływem powertrain. Zdołał znaleźć tylko jedną:

2592 → 2⁵9²= 32 · 81 = 2592

Sloane naturalnie podjął wyzwanie i odkrył drugą²:

24 547 284 284 866 560 000 000 000

Sloane jest obecnie przekonany, że nie ma już więcej niezniszczalnych liczb.

Zastanówmy się nad tym przez chwilę: powertrain Conwaya jest tak zabójczą machiną, że unicestwia każdą liczbę na świecie oprócz 2592 i 24 547 284 284 866 560 000 000 000 – na pozór niepowiązanych ze sobą, stałych punktów w niekończącym się przestworze liczb.

– Rezultat jest spektakularny – stwierdził Sloane.

Wielkie liczby giną dość szybko w obliczeniach powertrain z tej samej przyczyny co w oporności – pojawia się 0 i obraca wszystko wniwecz. Zapytałem Sloane’a, czy solidność owych 2 liczb, dzięki której są wytrzymałe na powertrain, może mieć jakieś zastosowanie w realnym świecie. Odpowiedział, że raczej nie.

– To po prostu zabawne. Ale nie ma w tym nic złego. Trzeba mieć trochę frajdy w życiu.

Sloane rzeczywiście ma frajdę. Zbadał tak wiele ciągów, że wyrobił sobie własny gust estetyczny w tej mierze. Jeden z jego ulubionych ciągów wymyślił kolumbijski matematyk Bernardo Recamán Santos:

(A5132) 0, 1, 3, 6, 2, 7, 13, 20, 12, 21, 11, 22, 10, 23, 9, 24, 8, 25, 43, 62, 42, 63, 41, 18, 42, 17, 43, 16, 44, 15, 45, …

Przyjrzyj się tym liczbom i spróbuj dostrzec schemat. Prześledź je uważnie. Liczby neurotycznie podskakują. Wszystko jest poplątane: jedna tu, druga tam, kolejna jeszcze gdzieś indziej.

W rzeczywistości jednak liczby tworzone są według prostej reguły: „odejmij, jeśli się da, a jak się nie da, to dodaj”. Aby uzyskać n-ty wyraz, bierzemy poprzedni wyraz i dodajemy do niego lub odejmujemy od niego n. Reguła jest taka, że należy stosować odejmowanie, chyba że wynik jest liczbą ujemną lub liczbą, która już wystąpiła w ciągu.

Oto jak oblicza się pierwsze 8 wyrazów.

Zacznij od 0

Pierwszy wyraz to wyraz zerowy plus 1
= 1
Musimy dodać, ponieważ po odjęciu 1 od 0 uzyskamy – 1, co nie jest dozwolone

Drugi wyraz to pierwszy wyraz plus 2
= 3
Znowu musimy dodać, ponieważ po odjęciu 2 od 1 uzyskamy – 1, co nie jest dozwolone

Trzeci wyraz to wyraz drugi plus 3
= 6
Musimy dodać, ponieważ po odjęciu 3 od 3 uzyskamy 0, które występuje już w ciągu

Czwarty wyraz to wyraz trzeci minus 4
= 2
Musimy odjąć, ponieważ 6 – 4 jest liczbą dodatnią i nie występuje w ciągu

Piąty wyraz to wyraz czwarty plus 5
= 7
Musimy dodać, ponieważ po odjęciu 5 od 2 uzyskamy –3, co nie jest dozwolone

Szósty wyraz to wyraz piąty plus 6
= 13
Musimy dodać, ponieważ po odjęciu 6 od 7 uzyskamy 1, które występuje już w ciągu

Siódmy wyraz to wyraz szósty plus 7
= 20
Musimy dodać, ponieważ po odjęciu 7 od 13 uzyskamy 6, które występuje już w ciągu

Ósmy wyraz to wyraz siódmy minus 8
= 12
Musimy odjąć, ponieważ 20 – 8 jest liczbą dodatnią i nie występuje w ciągu

I tak dalej.

W ten dość mozolny sposób bierze się liczby całkowite i wylicza odpowiedzi, które wyglądają na zupełnie przypadkowe. Możemy jednak dostrzec wyłaniający się wzorzec, jeśli przedstawimy ciąg na wykresie. Oś pozioma oznacza pozycję wyrazów, więc n-ty wyraz znajduje się w n, a oś pionowa oznacza wartość wyrazów. Wykres pierwszego tysiąca wyrazów ciągu Recamána nie jest podobny chyba do żadnego znanego wykresu. Przypomina krople wody rozpryskane przez zraszacz ogrodowy lub próbę połączenia kropek przez dziecko. (Grube linie na wykresie to grupy kropek oglądane w wielkiej skali).

– To w interesujący sposób pokazuje, ile porządku można wnieść do chaosu – zauważył Sloane. – Ciąg Recamána mieści się dokładnie na pograniczu chaosu i doskonałej matematyki i właśnie dlatego jest tak fascynujący.

Ciąg Recamána.

Konflikt między ładem a nieładem w ciągu Recamána można również uzmysłowić sobie w sposób muzyczny. Encyklopedia ma funkcję, która pozwala wysłuchać dowolnego ciągu w postaci nut. Wyobraźmy sobie klawiaturę fortepianową z 88 klawiszami, która obejmuje prawie 8 oktaw. Liczba 1 uruchamia najniższy ton fortepianu, liczba 2 uruchamia drugi dźwięk w kolejności i tak dalej, aż do 88, która włącza najwyższy dźwięk. Kiedy tony się kończą, wracamy – a więc 89 cofa się do pierwszego klawisza. Liczby naturalne 1, 2, 3, 4, 5, … brzmią jak rosnąca gama ustawiona na nieskończoną pętlę. Muzyka tworzona przez ciąg Recamána mrozi jednak krew w żyłach. Przypomina ścieżkę dźwiękową horroru. Jest dysonansowa, ale nie brzmi przypadkowo. Można usłyszeć wyraźne prawidłowości, jakby za kakofonią w tajemniczy sposób kryła się ludzka ręka.

Matematyków w ciągu Recamána interesuje to, czy zawiera on wszystkie liczby. Po 10²⁵ wyrazach ciągu najmniejszą brakującą liczbą jest 852 655. Sloane podejrzewa, że każda liczba w końcu się pojawi, także 852 655, ale nie zostało to dowiedzione. Nietrudno zrozumieć, dlaczego Sloane uważa ciąg Recamána za tak frapujący.

Do ulubionych ciągów Sloane’a należy też ciąg Gijswijta³, ponieważ w przeciwieństwie do wielu innych, które rosną z niesamowitą prędkością, ten ciąg wzrasta w zadziwiająco ślimaczym tempie. Jest cudowną metaforą niedawania za wygraną:

(A90822) 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, …

Trójka pojawia się po raz pierwszy na 9. miejscu. Czwórka debiutuje na miejscu 221. Piątka po raz pierwszy ukaże się za to dopiero około pozycji 10100 000 000 000 000 000 000 000. Jest to niezwykle wielka liczba. Dla porównania – wszechświat zawiera jedynie 10⁸⁰ cząstek elementarnych. W końcu wyskoczy i 6, lecz w odległości tak dalekiej, że jej pozycję można opisać jedynie w postaci potęgi potęgi potęgi potęgi:

Pozostałe liczby też się w końcu pojawią, ale – trzeba to podkreślić – bez cienia pośpiechu.

– Ziemia umiera, nawet oceany umierają – powiedział Sloane z poetycką emfazą – ale człowiek może szukać schronienia w abstrakcyjnym pięknie ciągów, takich jak A90822 Diona Gijswijta.

Grecy poważnie interesowali się liczbami pierwszymi, ale jeszcze bardziej fascynowało ich coś, co nazywali liczbami doskonałymi. Weźmy liczbę 6: liczby, przez które się dzieli – jej dzielniki – to 1, 2 i 3. Jeśli dodamy 1, 2 i 3, voilà, otrzymamy ponownie 6. Liczba doskonała to liczba, taka jak 6, która równa się sumie swoich dzielników. (Ściśle mówiąc, dzielnikiem liczby 6 jest również 6, ale w kontekście doskonałości uwzględnia się tylko dzielniki mniejsze od danej liczby). Kolejną liczbą doskonałą jest 28, ponieważ dzieli się przez 1, 2, 4, 7 i 14, których suma wynosi 28. Nie tylko Grecy, lecz także żydzi i chrześcijanie przypisywali kosmologiczne znaczenie takiej doskonałości liczbowej. Benedyktyński teolog Rabanus Maurus pisał w IX wieku, że: „Szóstka nie jest doskonała dlatego, że Bóg stworzył świat w ciągu sześciu dni; to raczej Bóg udoskonalił świat w ciągu sześciu dni, ponieważ liczba ta była doskonała”.

Pomysł dodawania dzielników liczby prowadzi do najbardziej dziwacznych koncepcji w matematyce. Liczby są zaprzyjaźnione, jeśli suma dzielników pierwszej liczby równa się drugiej liczbie i jeśli suma dzielników drugiej liczby równa się pierwszej. Na przykład dzielnikami 220 są 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 i 110. Ich suma wynosi 284. Dzielniki 284 to 1, 2, 4, 71 i 142. Razem dają 220. Urocze! Pitagorejczycy uważali 220 i 284 za symbole przyjaźni. W średniowieczu robiono talizmany z tymi liczbami, które miały sprzyjać miłości. Pewien Arab napisał, że chciał sprawdzić, jaki efekt erotyczny uzyska, jeśli zje coś oznaczonego liczbą 284, a jego ukochana – liczbą 220. W 1636 roku Pierre de Fermat odkrył drugą parę liczb zaprzyjaźnionych: 17 296 i 18 416. Dzięki możliwościom obliczeniowym komputerów dzisiaj znamy ponad 11 milionów zaprzyjaźnionych par. Liczby z największej pary mają po ponad 24 000 cyfr, więc trudno byłoby napisać je na kawałku bakławy.

W 1918 roku francuski matematyk Paul Poulet ukuł termin liczby stowarzyszone dla nowego rodzaju przyjaźni liczbowej. Liczby podane niżej to liczby stowarzyszone, ponieważ jeśli dodamy dzielniki pierwszej, dostaniemy drugą. Jeśli zsumujemy dzielniki drugiej, otrzymamy trzecią. Jeśli dodamy dzielniki trzeciej, uzyskamy czwartą, dzielniki czwartej dadzą piątą, a dzięki dzielnikom piątej wracamy do punktu wyjścia – sumują się one do pierwszej:

12 496

14 288

15 472

14 536

14 264

Poulet odkrył tylko 2 łańcuchy liczb stowarzyszonych – 5 powyższych oraz mniej ekskluzywną paczkę 28 liczb rozpoczynających się od 14 316. Następny zestaw liczb stowarzyszonych znaleziono dopiero w 1969 roku. Henri Cohen odkrył 9 łańcuszków towarzyskich po zaledwie 4 liczby – łańcuch o najmniejszych wartościach to 1 264 460, 1 547 860, 1 727 636 oraz 1 305 184. Obecnie znanych jest 175 łańcuchów liczb stowarzyszonych i prawie wszystkie składają się z 4 liczb. Żaden z nich nie składa się z trzech (ma to szczególnie poetycki wydźwięk, gdyż powszechnie wiadomo, że troje to tłum, a czworo jest grupą zdecydowanie bardziej towarzyską). Najdłuższym łańcuchem pozostaje 28 liczb Pouleta, co jest o tyle ciekawe, że 28 jest zarazem liczbą doskonałą.

To Grecy wpadli na niespodziewane powiązanie między liczbami doskonałymi a liczbami pierwszymi, co zaowocowało dalszymi przygodami liczbowymi. Rozważmy ciąg A79 – ciąg podwojeń rozpoczynający się od 1:

(A79) 1, 2, 4, 8, 16, …

W Elementach Euklides wykazał, że kiedy suma podwojeń jest liczbą pierwszą, to przez pomnożenie tej sumy przez najwyższe z dodawanych podwojeń można utworzyć liczbę doskonałą. Brzmi to zawile, więc po prostu zacznijmy dodawać podwojenia, by zobaczyć, o co chodzi:

1 + 2 = 3. 3 to liczba pierwsza, mnożymy więc 3 przez największe podwojenie, które wynosi 2. 3 · 2 = 6 i 6 jest liczbą doskonałą.

1 + 2 + 4 = 7. 7 również jest liczbą pierwszą. Mnożymy więc 7 przez 4, by otrzymać kolejną liczbę doskonałą: 28.

1 + 2 + 4 + 8 = 15. Nie jest to liczba pierwsza. Nie ma tu liczb doskonałych.

1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31. Jest to liczba pierwsza, a 31 · 16 daje 496, czyli liczbę doskonałą.

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 63. Nie jest to liczba pierwsza.

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127. Jest to liczba pierwsza, a 127 · 64 daje 8128, liczbę doskonałą.

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 255. Nie jest to liczba pierwsza.

Swój dowód Euklides przeprowadził, ma się rozumieć, za pomocą geometrii. Nie zapisał go w postaci liczb, lecz posłużył się odcinkami. Gdyby mógł sobie pozwolić na luksus współczesnej notacji algebraicznej, zauważyłby, że sumę podwojeń 1 + 2 + 4 + … można wyrazić jako sumę potęg dwójki, czyli 2⁰+ 2¹+ 2²+ … (Dowolna liczba podniesiona do potęgi 0 zwyczajowo zawsze równa się 1, a liczba podniesiona do potęgi pierwszej jest równa samej sobie). Staje się wówczas jasne, że suma podwojeń jest równa następnemu podwojeniu minus 1. Na przykład:

1 + 2 = 3 = 4 – 1

czyli

2⁰+ 2¹= 2²– 1

1 + 2 + 4 = 7 = 8 – 1

czyli

2⁰+ 2¹+ 2²= 2³– 1

Można to uogólnić zgodnie ze wzorem: 2⁰+ 2¹+ 2²+ … + 2n–1 = 2n – 1, czyli innymi słowy suma pierwszych n wyrazów w ciągu podwojeń rozpoczynającym się od 1 wynosi 2n – 1.

Opierając się na oryginalnym twierdzeniu Euklidesa, że „jeśli suma podwojeń jest liczbą pierwszą, to iloczyn tej sumy i największego podwojenia jest liczbą doskonałą”, i dodając współczesny zapis algebraiczny, można dojść do dużo zwięźlejszego twierdzenia:

Jeśli 2n – 1 jest liczbą pierwszą, to (2n – 1) · 2n–1 jest liczbą doskonałą.

Dla kultur ceniących liczby doskonałe dowód Euklidesa był fantastyczną nowiną. Jeśli da się utworzyć liczbę doskonałą, gdy tylko 2n – 1 jest liczbą pierwszą, to do znalezienia nowych liczb doskonałych wystarczy jedynie odnalezienie nowych liczb pierwszych, które można zapisać w postaci 2n – 1. Pościg za liczbami doskonałymi został sprowadzony do pościgu za pewnym rodzajem liczb pierwszych.

Matematyczne zainteresowanie liczbami pierwszymi w postaci 2n – 1 zrodziło się być może w związku z liczbami doskonałymi, ale już w XVII wieku liczby pierwsze same w sobie stały się przedmiotem fascynacji. Tak jak niektórzy matematycy mieli obsesję na punkcie odkrywania coraz dalszych cyfr rozwinięcia pi po przecinku, tak innych pochłaniało wyszukiwanie coraz większych liczb pierwszych. Było to tyleż podobne, co przeciwstawne: szukanie cyfr w rozwinięciu pi polega na wypatrywaniu coraz mniejszych obiektów, natomiast pogoń za liczbami pierwszymi to sięganie do nieba. Uczestnicy obu misji kierowali się zarówno pragnieniem przeżycia przygody, jak i ewentualnym zastosowaniem liczb odkrywanych po drodze.

W pogoni za liczbami pierwszymi metoda generowania „2n – 1” zaczęła żyć własnym życiem. Nie dla każdej wartości n otrzymywano w ten sposób liczby pierwsze, ale w przypadku małych liczb skuteczność była całkiem niezła. Jak widzieliśmy powyżej, kiedy n równa się 2, 3, 5 lub 7, wówczas 2n – 1 jest liczbą pierwszą.

Matematykiem najbardziej sfiksowanym na zastosowaniu 2n – 1 do generowania liczb pierwszych był francuski zakonnik Marin Mersenne. W 1644 roku wygłosił ogólnikowe zapewnienie, że zna wszystkie wartości n aż do 257, dla których 2n – 1 jest liczbą pierwszą. Stwierdził, że są to:

(A109461) 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257

Mersenne był zdolnym matematykiem, ale jego lista była w dużej mierze oparta na domysłach. Liczba 2²⁵⁷– 1 składa się z 78 cyfr, więc jest zdecydowanie zbyt wielka, by ludzki umysł mógł sprawdzić, czy jest liczbą pierwszą. Mersenne zdawał sobie sprawę z tego, że podane przez niego liczby były strzelaniem w ciemno. Powiedział, że „całego czasu nie starczyłoby, by ustalić, czy są pierwsze”.

Jak to jednak często bywa w matematyce, czasu wystarczyło. W 1876 roku, po 250 latach od powstania listy Mersenne’a, francuski teoretyk liczb Edouard Lucas opracował metodę sprawdzania, czy liczby w postaci 2n – 1 są pierwsze, i stwierdził, że Mersenne mylił się co do 67 oraz pominął 61, 89 i 107.

O dziwo jednak, Mersenne miał rację ze 127. Lucas posłużył się swoją metodą, by udowodnić, że 2¹²⁷– 1 jest liczbą pierwszą. Liczba 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727 była największą znaną liczbą pierwszą aż do nastania epoki komputerowej. Lucas nie potrafił jednak ustalić, czy liczba 2²⁵⁷– 1 jest pierwsza. Była ona po prostu za wielka jak na obliczenia z kartką i ołówkiem w ręce.

Lista Mersenne’a, mimo pewnych błędów, zapewniła mu nieśmiertelność; dzisiaj liczby pierwsze, które można zapisać w postaci 2n – 1, nazywane są liczbami Mersenne’a.

Dowód na to, czy 2²⁵⁷– 1 jest liczbą pierwszą, uzyskano dopiero w 1952 roku, dzięki wykorzystaniu metody Lucasa, ale z wielką asystą. Pewnego dnia w Institute for Numerical Analysis w Los Angeles zespół naukowców obserwował, jak do jednego z pierwszych komputerów cyfrowych o nazwie SWAC (ang. Standards Western Automatic Computer) wkładana jest rolka taśmy długości 24 stóp. Samo umieszczanie taśmy trwało kilka minut. Operator wprowadził następnie liczbę do przetestowania: 257. W ułamku sekundy pojawił się wynik. Komputer powiedział nie: 2²⁵⁷– 1 nie jest liczbą pierwszą.

Tego samego wieczoru 1952 roku, kiedy odkryto, że 2²⁵⁷– 1 nie jest liczbą pierwszą, podano maszynie nowe potencjalne liczby Mersenne’a. SWAC odrzucił 42 kandydatki. W końcu o godzinie dwudziestej drugiej komputer powiedział tak! Ogłosił, że 2⁵²¹– 1 jest liczbą pierwszą. Była to najwyższa liczba Mersenne’a zidentyfikowana w ciągu 75 lat, a odpowiadająca jej liczba doskonała, 2⁵²⁰(2⁵²¹– 1), była dopiero 13. odkrytą w ciągu niemal 2 razy większej liczbie stuleci. Liczba 2⁵²¹– 1 miała jednak tylko 2 godziny na nacieszenie się miejscem na szczycie. Tuż po północy SWAC potwierdził, że 2⁶⁰⁷– 1 też jest liczbą pierwszą. W ciągu kilku miesięcy dotarł do granic swoich możliwości, znajdując jeszcze 3 liczby pierwsze. W latach 1957–1996 odkryto 17 następnych liczb Mersenne’a.

Od 1952 roku największa znana liczba pierwsza zawsze jest liczbą Mersenne’a (wyjąwszy trzyletni okres między rokiem 1989 a 1992, kiedy największą liczbą pierwszą było 39 1581 · 2216 193 – 1, które jest spokrewnionym rodzajem liczby pierwszej). Wśród wszystkich istniejących liczb pierwszych, a wiemy, że jest ich nieskończenie wiele, liczby Mersenne’a dominują w grupie najwyższych odkrytych, ponieważ stanowią łatwiejszy cel dla poszukiwaczy liczb pierwszych. Najlepszym sposobem znajdowania wysokich liczb pierwszych jest szukanie liczb Mersenne’a: trzeba wpisać do komputera liczbę 2n – 1 dla coraz wyższych wartości n i zastosować test Lucasa-Lehmera – który jest udoskonaloną wersją metody Lucasa – żeby sprawdzić, czy jest to liczba pierwsza.

Liczby Mersenne’a mają także pewien estetyczny urok. W notacji dwójkowej każda liczba 2n zapisywana jest jako 1 z n zerami. Na przykład 2²= 4 w systemie dwójkowym zapisuje się jako 100, a 2⁵= 32 jako 100 000. Ponieważ wszystkie liczby Mersenne’a są mniejsze o 1 od 2n, to wszystkie dwójkowe rozwinięcia liczb Mersenne’a są ciągami cyfr zawierającymi wyłącznie jedynki.

Najbardziej wpływowy poszukiwacz liczb pierwszych naszych czasów inspirację dla swojej misji znalazł w stemplach na kopercie. W latach 60., kiedy George Woltman był chłopcem, ojciec pokazał mu stempel pocztowy z wyrażeniem 211 213 – 1, które było wówczas najnowszą obliczoną liczbą pierwszą. Jak wspomina Woltman: „Byłem zdumiony, że można dowieść pierwszości tak wielkiej liczby”.

Woltman napisał później program, który wniósł ogromny wkład w poszukiwania liczb pierwszych. Niegdyś wszystkie projekty wymagające olbrzymich i skomplikowanych obliczeń realizowano na superkomputerach, do których dostęp był limitowany. Jednak od lat 90. wiele dużych zadań dzieli się na kawałki i praca rozkłada się na tysiące mniejszych urządzeń połączonych ze sobą przez internet. W 1996 roku Woltman stworzył program, który po darmowym pobraniu i zainstalowaniu przydziela użytkownikom nieprzebadany fragment osi liczbowej, na której ich komputer może szukać liczb pierwszych. Program korzysta z procesora tylko wtedy, gdy komputer jest bezczynny. Kiedy uczestnik pogrążony jest w głębokim śnie, jego komputer pracowicie przedziera się przez liczby na rubieży nauki. GIMPS (ang. Great Internet Mersenne Prime Search) łączy obecnie jakieś 75 000 komputerów. Niektóre znajdują się w placówkach akademickich, niektóre w firmach, a jeszcze inne to prywatne laptopy. GIMPS był jednym z pierwszych projektów „obliczeń rozproszonych” i należy do najbardziej udanych. (Największy podobny projekt, czyli Seti@home, odszyfrowuje szum kosmiczny w poszukiwaniu oznak życia pozaziemskiego. Szczyci się 3 milionami użytkowników, ale jak dotąd niczego nie znalazł). Już po kilku miesiącach działania GIMPS w internecie dwudziestodziewięcioletni francuski programista złowił 35. liczbę Mersenne’a: 21 398 269 – 1. Od tamtego czasu GIMPS ujawnił kolejnych 11 liczb Mersenne’a, co daje średnio mniej więcej 1 liczbę na rok. Żyjemy w złotej epoce wysokich liczb pierwszych.

Obecnie berło najwyższej liczby pierwszej dzierży 45. liczba Mersenne’a: 243 112 609 – 1, która składa się z prawie 13 milionów cyfr i została odkryta w 2008 roku przez komputer podłączony do GIMPS na University of California w Los Angeles. Liczby Mersenne’a znalezione jako 46. i 47. są w rzeczywistości mniejsze od 45. Wynika to z tego, że komputery pracują z różną szybkością nad różnymi fragmentami osi liczbowej jednocześnie, więc może się zdarzyć, że liczby pierwsze z wyższych sekcji zostaną odkryte wcześniej niż liczby pierwsze z niższych partii.

GIMPS, którego racją bytu jest zbiorowa współpraca ochotników na rzecz rozwoju nauki, stał się symbolem liberalnego internetu. Woltman niechcący uczynił z poszukiwania liczb pierwszych ruch quasi-polityczny. W uznaniu symbolicznego znaczenia projektu Electronic Frontier Foundation, organizacja broniąca praw obywatelskich w sieci, od 1999 roku oferuje nagrody pieniężne za każdą liczbę pierwszą, której cyfry osiągają kolejny rząd wielkości. 45. liczba Mersenne’a była pierwszą, która przekroczyła 10 milionów cyfr, a nagroda wyniosła 100 000 dolarów. EFF oferuje 150 000 dolarów za pierwszą liczbę pierwszą o 100 milionach cyfr oraz 250 000 dolarów za pierwszą liczbę pierwszą o miliardzie cyfr. Jeśli przedstawimy największe znane liczby pierwsze znalezione od 1952 roku na wykresie z logarytmiczną skalą względem czasu odkrycia, powstanie niemal prosta linia.

Liczba cyfr w najwyższych znanych liczbach pierwszych a rok odkrycia.

Krzywa ta ilustruje niezwykle systematyczny wzrost mocy przetwarzania w czasie, a poza tym pozwala oszacować, kiedy poznamy pierwszą liczbę pierwszą o miliardzie cyfr. Postawiłbym pieniądze na to, że stanie się to około 2025 roku. Zapis tej liczby milimetrową czcionką byłby dłuższy, niż wynosi odległość z Paryża do Los Angeles.

Przy nieskończonej liczbie liczb pierwszych (nie wiadomo jednak jeszcze, czy liczb Mersenne’a jest nieskończenie wiele) poszukiwanie coraz wyższych liczb pierwszych to zadanie niemające kresu. Nieważne, do jak wielkiej liczby pierwszej dotrzemy, zawsze jakaś jeszcze większa liczba pierwsza będzie szydzić z naszego braku ambicji.

Nieskończoność jest chyba najbardziej głęboką i trudną ideą podstawowej matematyki. Umysłowi trudno wyobrazić sobie coś ciągnącego się bez końca. Co na przykład by się stało, gdybyśmy zaczęli liczyć 1, 2, 3, 4, 5, … i nigdy nie przestali? Pamiętam, jak w dzieciństwie zadawałem to pozornie łatwe pytanie i nie otrzymywałem jasnej odpowiedzi. Standardowa odpowiedź rodziców i nauczycieli była taka, że dotrzemy do „nieskończoności”, ale w gruncie rzeczy było to powtórzenie pytania. Nieskończoność po prostu definiuje się jako liczbę, do której dotrzemy, jeśli zaczniemy liczyć i nigdy nie przestaniemy.

Już w stosunkowo wczesnym wieku jesteśmy uczeni, by traktować nieskończoność jak liczbę, osobliwą co prawda, ale jednak liczbę. Pokazuje się nam symbol nieskończoności – pętlę ∞ nazywaną „lemniskatą” – i uczy jej dziwnej arytmetyki. Jeśli dodamy dowolną skończoną liczbę do nieskończoności, otrzymamy nieskończoność. Jeśli odejmiemy dowolną skończoną liczbę od nieskończoności, otrzymamy nieskończoność. Jeśli pomnożymy lub podzielimy nieskończoność przez skończoną liczbę różną od 0, wynikiem będzie również nieskończoność. Łatwość, z jaką mówi się nam, że nieskończoność jest liczbą, tuszuje ponad 2000 lat zmagań i oswajania się z jej tajemnicami.

Kłopoty z nieskończonością pierwszy omówił grecki filozof Zenon z Elei, który żył w V wieku przed naszą erą. W jednym ze słynnych paradoksów opisał teoretyczny wyścig Achillesa z żółwiem. Achilles jest szybszy od żółwia, więc żółw dostaje fory. Słynny wojownik startuje z punktu A, a jego gadzi rywal z położonego dalej punktu B. Po rozpoczęciu wyścigu Achilles pędzi przed siebie i błyskawicznie dociera do punktu B, ale w tym czasie żółw osiąga punkt C. Achilles rusza więc do punktu C. Lecz i tym razem żółw zdąża doczłapać do punktu D. Achilles musi więc oczywiście dobiec do D, ale wtedy żółw będzie już w E. Zenon przekonywał, że zabawa w pościg musi trwać w nieskończoność i – co za tym idzie – że śmigły Achilles nigdy nie przegoni ślamazarnego rywala. Atleta jest o wiele szybszy niż żółw, ale nie może pokonać go w wyścigu.

We wszystkich paradoksach Zenona absurdalne wnioski wynikają z podziału ciągłego ruchu na zdarzenia dyskretne⁴. Zanim Achilles dotrze do żółwia, musi pokonać nieskończoną liczbę dyskretnych odcinków. Paradoks rodzi się z założenia, że nie sposób pokonać nieskończonej liczby odcinków w skończonej ilości czasu.

Grecy nie rozumieli jednak na tyle dogłębnie matematyki nieskończoności, by zauważyć, że takie założenie jest błędne. Otóż da się pokonać nieskończoną liczbę odcinków w skończonej ilości czasu. Zasadniczy warunek polega na tym, by odcinki były coraz krótsze i zajmowały mniej czasu oraz by zarówno odległość, jak i czas zbliżały się do 0. Jest to warunek konieczny, ale nie wystarczający – odcinki muszą jednocześnie maleć w dostatecznie szybkim tempie.

Oto, co dzieje się z Achillesem i żółwiem. Powiedzmy, że Achilles biegnie dwa razy szybciej niż żółw i że B znajduje się o metr przed A. Kiedy Achilles dotrze do B, żółw przemieści się o 0,5 metra do C. Kiedy Achilles dotrze do C, żółw przesunie się o kolejne 0,25 metra do D. I tak dalej. Łączna odległość w metrach, jaką przebiegnie Achilles, zanim dogoni żółwia, wynosi:

Achilles i żółw.

Jeśli Achillesowi pokonanie każdego z tych odcinków będzie zajmować sekundę, to pokonanie całej odległości będzie trwać w nieskończoność. Tak jednak nie jest. Przy założeniu stałej prędkości przebiegnięcie metra zajmie mu sekundę, 0,5 metra zajmie mu 0,5 sekundy, 0,25 metra 0,25 sekundy i tak dalej. A zatem czas w sekundach, jaki zajmie mu dogonienie żółwia, można opisać takim samym dodawaniem:

Czas i odległość opisywane przez ciąg wyrazów malejących o połowę zbiegają się jednocześnie do stałej, skończonej wartości. W tym wypadku do 2 sekund i 2 metrów. Okazuje się, że Achilles może jednak dogonić żółwia.

Nie wszystkie paradoksy Zenona rozwiązuje się za pomocą matematyki szeregów nieskończonych. W paradoksie dychotomii biegacz zmierza od A do B. Aby jednak dotrzeć do B, musi minąć punkt C leżący w połowie drogi między A i B. Ale by biegacz dotarł do C, musi najpierw minąć punkt znajdujący się w połowie drogi między A i C. Wynika z tego, że nie może być żadnego „pierwszego punktu” mijanego przez biegacza, bo zawsze będzie jakiś punkt, który biegacz musi minąć przed nim, na przykład punkt w połowie drogi. A jeśli nie ma pierwszego punktu mijanego przez biegacza, to – jak przekonuje Zenon – biegacz w ogóle nie może opuścić A.

Legenda głosi, że Diogenes z Synopy, aby obalić ten paradoks, wstał i bez słowa przeszedł z A do B, demonstrując w ten sposób, że taki ruch jest możliwy. Ale paradoksu dychotomii Zenona nie da się tak łatwo obalić. Przez 2500 lat łamania sobie głów żaden uczony nie potrafił rozwiązać tej zagadki. Przyczyną zamętu było między innymi to, że linii ciągłej nie reprezentuje idealnie ciąg nieskończonej liczby punktów czy nieskończona liczba małych odcinków. Podobnie nieprzerwanego odcinka czasu nie reprezentuje idealnie nieskończona liczba dyskretnych chwil. Pojęcia ciągłości i dyskretności nie dają się całkowicie ze sobą pogodzić.

Doskonałego przykładu paradoksu w duchu Zenona dostarcza system dziesiętny. Jaka jest największa liczba mniejsza od 1? Nie jest to 0,9, ponieważ 0,99 jest od niej większe i nadal mniejsze niż 1. Nie jest to 0,99, ponieważ 0,999 jest jeszcze większe, a przy tym również mniejsze niż 1. Jedynym możliwym kandydatem jest ułamek dziesiętny okresowy 0,(9), gdzie (9) oznacza, że dziewiątki ciągną się w nieskończoność. Ale tu właśnie dochodzimy do paradoksu. Nie może to być 0,(9), ponieważ liczba 0,(9) jest identyczna z 1!

Pomyślmy o tym w ten sposób. Jeśli 0,(9) jest liczbą różną od 1, to musi istnieć odstęp między nimi na osi liczbowej. A zatem musi być możliwe wciśnięcie jakiejś liczby, która jest większa od 0,(9) i mniejsza od 1. Ale jaka mogłaby to być liczba? Nie można zbliżyć się bardziej do 1 niż 0,(9). Jeśli zatem 0,(9) i 1 nie mogą być różne, to muszą być takie same. Choć jest to sprzeczne z intuicją, 0,(9)… = 1.

Jaka jest zatem największa liczba mniejsza od 1? Jedyna zadowalająca odpowiedź na ten paradoks jest taka, że największa liczba mniejsza od 1 nie istnieje. (Podobnie jak nie ma największej liczby mniejszej od 2 lub mniejszej od 3 czy w ogóle mniejszej od dowolnej liczby).

Paradoks Achillesa i żółwia został rozwiązany przez zapisanie czasu pokonywanych odcinków w postaci sumy o nieskończonej liczbie wyrazów, która jest nazywana szeregiem nieskończonym. Jeśli wyrazy ciągu są do siebie dodawane, tworzą szereg. Istnieją zarówno szeregi skończone, jak i nieskończone. Jeśli zsumujemy pierwsze 5 liczb naturalnych, otrzymamy szereg skończony:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Oczywiście możemy obliczyć tę sumę w głowie, ale kiedy szereg ma dużo więcej wyrazów, cała sztuka polega na znalezieniu drogi na skróty. Pewien słynny przykład rozwiązał w dzieciństwie niemiecki matematyk Carl Friedrich Gauss. Podobno nauczyciel poprosił o obliczenie sumy szeregu pierwszych 100 liczb naturalnych:

1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100

Ku niedowierzaniu nauczyciela Gauss odpowiedział niemal natychmiast: „5050”. Cudowne dziecko opracowało pokazany niżej wzór. Jeśli sprytnie połączy się liczby w pary, biorąc pierwszą i ostatnią, drugą i drugą od końca i tak dalej, to szereg można przekształcić następująco:

(1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + … + (50 + 51)

co równa się:

101 + 101 + 101 + 101 + … + 101

Jest 50 wyrazów, każdy o wartości 101, a zatem suma wynosi 50 · 101 = 5050. Możemy sformułować uogólnienie, że dla dowolnej liczby n suma pierwszych n liczb wynosi n + 1 dodawane do siebie \frac{n}{2} razy, co równa się \frac{n(n+1)}{2}. W tym przypadku n równa się 100, więc suma wynosi \frac{100(100+1)}{2} = 5050.

Kiedy dodajemy wyrazy szeregu skończonego, zawsze otrzymamy liczbę skończoną, to oczywiste. Kiedy jednak dodajemy wyrazy szeregu nieskończonego, możliwe są 2 scenariusze. Granica, czyli liczba, do której zbliża się suma w miarę dodawania coraz większej liczby wyrazów, może być liczbą skończoną bądź nieskończonością. Jeśli granica jest skończona, szereg nazywa się zbieżnym. W przeciwnym wypadku szereg jest rozbieżny.

Widzieliśmy już na przykład, że szereg

jest zbieżny i dąży do 2. Dowiedzieliśmy się również, że istnieje wiele szeregów nieskończonych, które są zbieżne do pi.

Z drugiej strony szereg

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …

jest rozbieżny i dąży do nieskończoności.

Grecy byli nieufni wobec nieskończoności, ale już w XVII wieku matematycy z radością stawili jej czoła. Dzięki zrozumieniu szeregu nieskończonego Isaac Newton mógł wymyślić rachunek różniczkowy i całkowy – jeden z najważniejszych wynalazków matematyki.

Kiedy studiowałem matematykę, do moich ulubionych ćwiczeń należało ustalanie, czy dany szereg nieskończony jest zbieżny, czy rozbieżny. Zawsze zdumiewało mnie, że choć między zbieżnością i rozbieżnością zachodzi drastyczna różnica – różnicą między skończoną liczbą a nieskończonością jest nieskończoność – to czynniki decydujące, jaką drogę obierze szereg, często wydają się zupełnie nieznaczne.

Oto szereg harmoniczny:

Licznik każdego wyrazu to jeden, a mianownikami są liczby naturalne. Wydaje się, że szereg harmoniczny powinien być zbieżny. Kolejne wyrazy w szeregu są coraz mniejsze, więc moglibyśmy pomyśleć, że suma wszystkich wyrazów będzie ograniczona przez jakąś stałą liczbę. Szereg harmoniczny jest jednak niespodziewanie rozbieżny, posuwa się coraz wolniej, lecz się nie zatrzymuje. Po 100 wyrazach szeregu suma ledwo przekracza 5. Po 15 092 688 622 113 788 323 693 563 264 538 101 449 859 497 wyrazach suma po raz pierwszy przekracza 100. Lecz uparty ślimak będzie kontynuował swój marsz, pokonując dowolną odległość, jaką zechcemy mu wyznaczyć. Szereg w końcu osiągnie milion, potem miliard, dążąc w kierunku nieskończoności. (Dowód znajduje się w aneksie piątym).

Z szeregiem harmonicznym mamy do czynienia podczas układania klocków jenga. Powiedzmy, że 2 klocki chcemy ułożyć jeden na drugim w taki sposób, by górny był jak najbardziej wysunięty, a jednocześnie nie spadł. Otóż należy wysunąć górny klocek dokładnie o połowę długości. W ten sposób środek ciężkości górnego klocka przypada na krawędź dolnego.

A jak ustawić 3 klocki, żeby sumaryczny występ był jak największy, a przy tym stabilny? Górny klocek należy wysunąć o połowę nad środkowym, a środkowy o jedną czwartą nad dolnym (B).

Ogólny schemat tworzenia maksymalnego łącznego występu przy coraz większej liczbie klocków jest taki, że górny klocek zawsze musi być wysunięty o połowę nad drugim, który musi być o jedną czwartą wysunięty nad trzecim, który musi być o jedną szóstą wysunięty nad czwartym, który musi być o jedną ósmą wysunięty nad piątym i tak dalej. W ten sposób powstaje krzywa wieża z klocków (C).

Łączny występ tej wieży, który stanowi sumę pojedynczych występów, tworzy następujący szereg:

Co można przekształcić w

Co jest połową szeregu harmonicznego, jeśli będziemy kontynuować przez nieskończoną liczbę wyrazów.

Skoro już wiemy, że szereg harmoniczny rośnie w nieskończoność, to wiemy również, że szereg harmoniczny podzielony przez 2 rośnie w nieskończoność, ponieważ nieskończoność podzielona przez 2 daje nieskończoność. W kontekście układania klocków jenga oznacza to, że teoretycznie jest możliwe zbudowanie wolno stojącego występu o dowolnej długości. Jeśli szereg harmoniczny podzielony przez 2 przekroczy żądaną liczbę (pod warunkiem że uwzględnimy dostatecznie dużo wyrazów), wówczas występ krzywej wieży z klocków przekroczy żądaną długość (pod warunkiem że ułożymy dostatecznie dużo klocków). Choć zbudowanie wieży o dużym występie jest teoretycznie możliwe, to jednak perspektywa praktyczna nie wydaje się zachęcająca. Aby utworzyć występ o długości 50 klocków, musielibyśmy zbudować wieżę z 15 · 10⁴² klocków – o wiele dłuższą niż odległość dzieląca nas od krańca obserwowalnego wszechświata.

A

B

C

Jak układać klocki jenga, by były maksymalnie wysunięte, a jednocześnie nie spadały.

Szeregi harmoniczne mają wiele uroków, więc porozkoszujmy się nimi. Rozważmy szereg harmoniczny wykluczający wszystkie wyrazy zawierające cyfrę 9, który również jest szeregiem nieskończonym. Innymi słowy, usuwamy następujące wyrazy:

Zatem uszczuplony szereg wygląda tak:

Szereg harmoniczny sumuje się w nieskończoność, więc można by pomyśleć, że szereg harmoniczny bez dziewiątek również sumuje się do pokaźnej liczby. Błąd. Sumuje się zaledwie do niespełna 23.

Odfiltrowując dziewiątki, poskromiliśmy nieskończoność: zabiliśmy bestię wieczności, po której pozostał smętny zewłok około 23.

Wynik wydaje się niezwykły, ale po bliższym przyjrzeniu jest zupełnie zrozumiały. Eliminacja dziewiątek usuwa tylko 1 wyraz z pierwszych 10 wyrazów szeregu harmonicznego. Ale już z pierwszych 100 wyrazów usuwa 19, a z pierwszego 1000 wyrazów – 271. Kiedy liczby robią się bardzo wielkie, powiedzmy stucyfrowe, ogromna większość zawiera dziewiątkę. Jak się okazuje, odchudzenie szeregu harmonicznego przez odrzucenie wyrazów zawierających dziewiątkę usuwa go niemal w całości.

Przykrawanie szeregu harmonicznego może być jeszcze bardziej intrygujące. Decyzja o wyrzuceniu dziewiątek była arbitralna. Gdyby usunąć z szeregu harmonicznego wszystkie wyrazy zawierające ósemki, pozostałe wyrazy również zbiegałyby się do skończonej liczby. Tak samo byłoby, gdyby usunąć tylko wyrazy zawierające siódemkę albo inną pojedynczą cyfrę. Tak naprawdę nie trzeba się ograniczać do pojedynczych cyfr. Wystarczy usunąć wszystkie wyrazy zawierające jakąkolwiek liczbę, a odchudzony szereg harmoniczny będzie zbieżny. Dotyczy to z równym powodzeniem 9, jak i 42 lub 666 czy 314 159.

Posłużę się przykładem 666. Między 1 a 1000 liczba 666 występuje raz. Między 1 a 10 000 występuje 20 razy, a między 1 a 100 000 występuje 300 razy. Innymi słowy, częstość występowania 666 wynosi 0,1 procent w pierwszym 1000 liczb, 0,2 procent w pierwszych 10 000 oraz 0,3 procent w pierwszych 100 000. Przy coraz większych liczbach sekwencja cyfr 666 jest proporcjonalnie częstsza. W końcu prawie wszystkie liczby będą zawierały 666. Po ich usunięciu przetrzebiony szereg harmoniczny będzie zbieżny.

W 2008 roku Thomas Schmelzer i Robert Baillie obliczyli, że szereg harmoniczny bez wszystkich wyrazów zawierających liczbę 314 159 sumuje się do nieco ponad 2,3 miliona. Jest to wielka liczba, ale bardzo odległa od nieskończoności.

Z powyższego wynika, że szereg harmoniczny składający się wyłącznie z wyrazów zawierających 314 159 musi sumować się do nieskończoności. Innymi słowy:

sumuje się do nieskończoności. Choć zaczyna się od niewielkiej liczby, a kolejne wyrazy są jeszcze mniejsze, to suma wyrazów w końcu przekroczy każdą liczbę, jaką chcemy. Przyczyna jest taka sama – kiedy liczby robią się bardzo wielkie, niemal każda z nich zawiera 314 159. Prawie wszystkie ułamki z licznikiem 1 zawierają 314 159.

Spójrzmy na ostatni szereg nieskończony – szereg harmoniczny liczb pierwszych, czyli ułamków z 1 w liczniku i liczbami pierwszymi w mianowniku:

W miarę wzrastania liczby pierwsze stają się coraz rzadsze, więc można by się spodziewać, że szereg nie ma wystarczającego rozmachu, by sumować się do nieskończoności. Trudno w to uwierzyć, ale się jednak sumuje. Ten sprzeczny z intuicją, spektakularny wynik uświadamia nam moc i znaczenie liczb pierwszych. Można uznać je nie tylko za podstawowe składniki liczb naturalnych, lecz także za budulec nieskończoności.

ROZDZIAŁ ÓSMY
Złoty palec

Siedzieliśmy w salonie, gdy Eddy Levin wręczył mi białą kartkę i poprosił, bym napisał swoje imię i nazwisko drukowanymi literami. Levin, który ma 75 lat i profesorską twarz z siwym zarostem oraz wysokim czołem, niegdyś był dentystą. Mieszka w East Finchley w północnej części Londynu, przy ulicy, która jest typowym przykładem bogatego i konserwatywnego brytyjskiego przedmieścia. Drogie samochody stoją na podjazdach przed ceglanymi domami z międzywojnia ze świeżo przyciętymi żywopłotami i zielonymi trawnikami. Wziąłem kartkę i napisałem: ALEX BELLOS.

Levin podniósł przyrząd ze stali nierdzewnej, który wyglądał jak małe szczypce z 3 pazurami. Przyłożył go do kartki i zaczął analizować moje pismo ze skupieniem rabina przygotowującego się do obrzezania.

– Całkiem nieźle – stwierdził.

Szczypce to wynalazek Levina. Pazury usytuowane są w taki sposób, że kiedy szczypce się rozwierają, ich szpice pozostają w jednej linii i w takim samym stosunku do siebie. Odległość między pazurem środkowym a górnym zawsze wynosi 1,618 odległości między środkowym a dolnym. Ponieważ liczbę tę nazywa się złotym podziałem, Levin nazwał swój przyrząd Golden Mean Gauge – miernikiem złotego podziału. (Inne synonimy 1,618 to także złota liczba, złota proporcja, boska proporcja lub \phi, czyli fi).

Levin przyłożył miernik do litery E w moim imieniu i ostrze górnego pazura znalazło się na górnej poziomej kresce E, środkowe ostrze na środkowej kresce E, a dolne na dolnej. Przypuszczałem, że pisząc drukowane E, postawiłem środkową kreskę w równej odległości od górnej i dolnej, ale miernik Levina pokazał, że podświadomie umieściłem kreskę nieco powyżej środka – dzieląc w ten sposób wysokość litery na 2 odcinki, których proporcja wynosiła 1 do 1,618. Choć nabazgrałem imię z radosną beztroską, z przedziwną dokładnością zachowałem złoty podział.

Levin uśmiechnął się i przeszedł do S. Wyregulował miernik, żeby boczne ostrza dotykały najwyższego i najniższego punktu litery, i ku mojemu jeszcze większemu zdumieniu środkowe ostrze znalazło się dokładnie w miejscu, w którym linia S się zakrzywiała.

– Strzał w dziesiątkę – powiedział spokojnie Levin. – Pismo odręczne zawsze ma złote proporcje.

Złoty podział to liczba opisująca dokładną proporcję, kiedy odcinek dzieli się na 2 części w taki sposób, by stosunek całego odcinka do dłuższej części był taki sam jak stosunek dłuższej części do krótszej. Innymi słowy, kiedy stosunek A + B do A równa się stosunkowi A do B:

Odcinek podzielony zgodnie z zasadą złotego podziału ma złotą proporcję, a fi, czyli stosunek dłuższej części do krótszej, można obliczyć jako \frac{(1+\sqrt{5})}. Jest to liczba niewymierna, której postać dziesiętna rozpoczyna się następująco: 1,61803398874989484820…

Greków fascynowało fi. Odkryli je w pięcioramiennej gwieździe, czyli pentagramie, otoczonym czcią symbolu Związku Pitagorejskiego. Euklides nazywał je „podziałem w stosunku średnim i skrajnym” i podał metodę wykreślania go za pomocą cyrkla i liniału. Począwszy co najmniej od czasów renesansu, liczba fi intrygowała zarówno artystów, jak i matematyków. Głównym dziełem na temat złotego podziału było De divina proportione (O boskiej proporcji) Luki Paciolego z 1509 roku z ilustracjami Leonarda da Vinci, w którym podano liczne przykłady konstrukcji geometrycznych zawierających liczbę fi. Pacioli napisał, że złota proporcja była przesłaniem od Boga, źródłem tajemnej wiedzy o wewnętrznym pięknie rzeczy.

Pentagram, mistyczny symbol znany od czasów starożytnych, zawiera złotą proporcję.

Matematyczne zainteresowanie liczbą fi wynika z jej związku z najsłynniejszym ciągiem w matematyce – ciągiem Fibonacciego, który zaczyna się od 0, 1, a każdy następny wyraz ciągu jest sumą dwóch poprzednich:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, …

Oto, jak wyznacza się kolejne liczby:

0 + 1 = 1

1 + 1 = 2

1 + 2 = 3

2 + 3 = 5

3 + 5 = 8

5 + 8 = 13

. . .

Zanim omówię związek między fi a ciągiem Fibonacciego, zbadajmy liczby tego ciągu. Szczególne upodobanie do liczb Fibonacciego ma natura. Jeśli zajrzymy do ogrodu, odkryjemy, że liczba płatków w większości kwiatów jest liczbą Fibonacciego:

3 płatki — lilia i irys

5 płatków — goździk i jaskier

8 płatków — ostróżka

13 płatków — nagietek i starzec

21 płatków — aster

55 lub 89 płatków — stokrotka

Może nie każdy kwiat ma dokładnie taką liczbę płatków, ale średnia liczba płatków jest liczbą Fibonacciego. Na łodyżce koniczyny na przykład zwykle są 3 liście, co jest liczbą Fibonacciego. Rzadko się zdarza, by koniczyny miały 4 liście, i właśnie dlatego uważamy je za wyjątkowe. Czterolistne koniczyny są niepospolite, ponieważ czwórka nie jest liczbą Fibonacciego.

Liczby Fibonacciego występują również w spiralnych układach na powierzchni szyszek, ananasów, kalafiorów i słoneczników. Jak widać na zdjęciu obok, można policzyć spirale prawoskrętne i lewoskrętne. Liczby spiral w obu kierunkach to kolejne liczby Fibonacciego. Ananasy mają zwykle 5 i 8 spiral lub 8 i 13. Szyszki świerkowe najczęściej mają 8 i 13 spiral. Słoneczniki mogą mieć 21 i 34 spirale lub 34 i 55 spiral – choć znaleziono też okazy liczące 144 i 233 spirale. Im więcej nasion, tym wyższe wartości przyjmują spirale.

Nazwa ciąg Fibonacciego wzięła się stąd, że jego wyrazy pojawiają się w Liber abaci Fibonacciego w problemie dotyczącym królików. Ale dopiero w 1877 roku, ponad 600 lat po wydaniu książki, teoretyk liczb Edouard Lucas, który badał ciąg, postanowił złożyć hołd Włochowi, nazywając ciąg jego imieniem.

Słonecznik z 34 spiralami lewoskrętnymi i 21 prawoskrętnymi.

W Liber abaci ciąg został opisany w następujący sposób: „Powiedzmy, że mamy parę królików i po miesiącu tej parze rodzi się kolejna para. Jeśli każda dorosła para królików sprowadza na świat parę młodych co miesiąc, a młode osiągają dojrzałość po miesiącu, to ile królików od pierwszej pary pojawi się w ciągu roku?”.

Odpowiedź można znaleźć, licząc króliki miesiąc po miesiącu, tak jak zrobiono to na następnej stronie. W pierwszym miesiącu jest tylko 1 para. W drugim są 2, ponieważ pierwotnej parze urodziła się nowa para. W 3 miesiącu są trzy pary, gdyż pierwotna para ma znowu młode, ale tylko pierwsza para jest dorosła. W czwartym miesiącu 2 dorosłe pary mają młode, co zwiększa populację królików o kolejne 2 pary. I tak dalej. Ciąg Fibonacciego stanowi sumę par miesiąc po miesiącu:

| Suma par
Pierwszy miesiąc: 1 dorosła para | 1
Drugi miesiąc: 1 dorosła para i 1 para młodych | 2
Trzeci miesiąc: 2 dorosłe pary i 1 para młodych | 3
Czwarty miesiąc: 3 dorosłe pary i 2 pary młodych | 5
Piąty miesiąc: 5 dorosłych par i 3 pary młodych | 8
Szósty miesiąc: 8 dorosłych par i 5 par młodych | 13
… | …

Ważną cechą ciągu Fibonacciego jest rekurencyjność – każdy nowy wyraz powstaje z wartości poprzednich wyrazów. Wyjaśnia to, dlaczego liczby Fibonacciego są tak szeroko rozpowszechnione w naturze. Wiele form życia rozwija się na zasadzie rekurencji.

Wykres ilustrujący rodowód trutnia (pokazanego u dołu).

Przykładów liczb Fibonacciego w przyrodzie jest mnóstwo – jeden z moich ulubionych dotyczy schematu rozmnażania pszczół. Kiedy narysujemy „drzewo genealogiczne” samca pszczoły, czyli trutnia, zobaczymy, że ma on tylko jednego rodzica: swoją matkę. Natomiast samice pszczół mają dwoje rodziców: matkę i ojca. Zatem truteń ma troje dziadków, pięcioro pradziadków, ośmioro prapradziadków i tak dalej. Liczba krewnych w każdym pokoleniu jest zawsze liczbą Fibonacciego!

Oprócz związków z owocami, promiskuitycznymi ssakami oraz owadami latającymi ciąg Fibonacciego charakteryzuje się pasjonującymi własnościami matematycznymi. Lista pierwszych 20 liczb pomoże nam dostrzec pewne prawidłowości. Liczby Fibonacciego tradycyjnie zapisuje się za pomocą litery F z indeksem dolnym oznaczającym miejsce danej liczby w ciągu:

(F | 0) |  |
F₁ | 1 | F₁₁ | 89
F₂ | 1 | F₁₂ | 144
F₃ | 2 | F₁₃ | 233
F₄ | 3 | F₁₄ | 377
F₅ | 5 | F₁₅ | 610
F₆ | 8 | F₁₆ | 987
F₇ | 13 | F₁₇ | 1597
F₈ | 21 | F₁₈ | 2584
F₉ | 34 | F₁₉ | 4181
F₁₀ | 55 | F₂₀ | 6765

Po dokładnej analizie można zauważyć, że ciąg odtwarza się na wiele zaskakujących sposobów. Spójrzmy na wyrazy F₃, F₆, F₉, …, czyli na co trzecią liczbę F. Wszystkie są podzielne przez 2. Porównajmy to z F₄, F₈, F₁₂, …, czyli z co czwartą liczbą F – wszystkie są podzielne przez 3. Co piąta liczba F podzielna jest przez 5; co szósta liczba F dzieli się przez 8; a co siódma przez 13. Dzielniki te są ni mniej, ni więcej, tylko kolejnymi liczbami F w ciągu.

Innym niezwykłym przykładem jest \frac{1}}, czyli \frac{1}. Liczba ta jest równa następującej sumie:

0,0

0,01

0,001

0,0002

0,00003

0,000005

0,0000008

0,00000013

0,000000021

0,0000000034

0,00000000055

0,000000000089

0,0000000000144

Znowu jak królik z kapelusza wyskakuje ciąg Fibonacciego.

Oto następna interesująca własność matematyczna ciągu. Weźmy 3 dowolne kolejne liczby F. Pierwsza pomnożona przez trzecią zawsze różni się o 1 od kwadratu drugiej:

dla F₄, F₅, F₆:

F₄ · F₆ = F₅ · F₅ – 1 ...ponieważ 24 = 25 – 1

dla F₅, F₆, F₇:

F₅ · F₇ = F₆ · F₆ + 1 ...ponieważ 65 = 64 + 1

dla F₁₈, F₁₉, F₂₀:

F₁₈ · F₂₀ = F₁₉ · F₁₉ – 1 ...ponieważ 17 480 760 = 17 480 761 – 1

Na tej własności opiera się sztuczka magiczna, która polega na tym, że tnie się kwadrat złożony z 64 kwadratów jednostkowych na 4 części i składa się z nich prostokąt złożony z 65 elementów. Robi się to w ten sposób: rysujemy kwadrat złożony z 64 kwadratów jednostkowych. Ma on bok długości 8. Dwie liczby F poprzedzające 8 w ciągu to 5 i 3. Podzielmy kwadrat, używając długości 5 i 3, jak pokazano na rysunku po lewej. Pocięte kawałki można złożyć w prostokąt o bokach 5 i 13, którego powierzchnia wynosi 65.

Sztuczkę wyjaśnia się faktem, że złożone kształty nie są idealnie dopasowane. Choć nie jest to zbyt widoczne gołym okiem, w środkowej części przekątnej znajduje się długa wąska szczelina o powierzchni 1 kwadratu jednostkowego.

Wynika stąd, że kwadrat złożony ze 169 kwadratów jednostkowych (13 × 13) można przekształcić w prostokąt zbudowany ze 168 kwadratów jednostkowych (8 × 21). W tym wypadku segmenty będą nieco na siebie nachodzić na środku przekątnej.

Na początku XVII wieku niemiecki astronom Johannes Kepler napisał, że: „Jak 5 ma się do 8, tak 8 ma się w przybliżeniu do 13, i jak 8 ma się do 13, tak 13 ma się w przybliżeniu do 21”. Zauważył, innymi słowy, że proporcje kolejnych liczb F są podobne. Wiek później szkocki matematyk Robert Simson dostrzegł coś jeszcze bardziej niesamowitego. Jeśli ustawimy stosunki kolejnych liczb F w ciągu:

co równa się:

czyli (z dokładnością do 3 miejsc po przecinku):

1; 2; 1,5; 1,667; 1,6; 1,625; 1,615; 1,619; 1,618; …

to wartości tych wyrazów coraz bardziej zbliżają się do fi.

Inaczej mówiąc, proporcje sąsiednich liczb Fibonacciego stanowią przybliżenie złotej proporcji, przy czym dokładność przybliżenia wzrasta wraz z kolejnymi wyrazami ciągu.

Idźmy dalej tym tokiem myślenia i rozważmy ciąg podobny do ciągu Fibonacciego – rozpoczniemy od dwóch przypadkowych liczb, a kolejne wyrazy będziemy tworzyć przez dodanie 2 poprzednich. Zacznijmy od 4 i 10, następnym wyrazem będzie więc 14, kolejnym 24 i tak dalej, czyli:

4, 10, 14, 24, 38, 62, 100, 162, 262, 424, …

Przyjrzymy się proporcjom kolejnych wyrazów:

czyli:

2,5; 1,4; 1,714; 1,583; 1,632; 1,612; 1,620; 1,617; 1,618; …

Algorytm rekurencji Fibonacciego polegający na dodawaniu 2 kolejnych wyrazów ciągu, by uzyskać następny, ma taką siłę, że obojętnie od jakich 2 liczb zaczniemy, proporcja kolejnych wyrazów zawsze jest zbieżna do fi. Uważam to za absolutnie fascynujące zjawisko matematyczne.

Rozpowszechnienie liczb Fibonacciego w naturze oznacza również stałą obecność fi w świecie. Wróćmy zatem do emerytowanego dentysty Eddy’ego Levina. Na początku pracy zawodowej mnóstwo czasu poświęcał na wykonywanie sztucznych szczęk, co uważał za bardzo frustrujące zajęcie, ponieważ bez względu na to, jak ułożył zęby, nie był w stanie sprawić, by uśmiech ich właściciela wyglądał dobrze.

– Wypruwałem sobie żyły – wspominał. – Czego bym nie zrobił, zęby wyglądały sztucznie.

Ale wtedy właśnie Levin zaczął chodzić na zajęcia z matematyki i duchowości, na których poznał liczbę fi. Dowiedział się o traktacie De divina proportione, który go zainspirował. A może fi, które zdaniem Paciolego ujawniało prawdziwe piękno, skrywało również sekret boskich protez?

– To był mój moment „Eureka!” – opowiadał Levin. Była druga w nocy, a on pędził do gabinetu. – Przez resztę nocy mierzyłem zęby.

Levin przewertował zdjęcia i odkrył, że w najbardziej atrakcyjnych uzębieniach duży górny ząb przedni (siekacz przyśrodkowy) był szerszy niż ząb sąsiedni (siekacz boczny) o czynnik fi. Siekacz boczny był również szerszy niż sąsiedni ząb (kieł) o czynnik fi, podobnie kieł był szerszy od następnego zęba (przedtrzonowego). Levin nie mierzył wielkości prawdziwych zębów, lecz zębów na zdjęciach robionych z przodu. Mimo to czuł, że dokonał historycznego odkrycia: piękno idealnego uśmiechu określała liczba fi.

– Byłem bardzo podekscytowany – wspominał Levin.

Powiedział o odkryciu kolegom z pracy, ale wzięli go za dziwaka. Mimo to kontynuował prace i w 1978 roku opublikował artykuł ze swoimi pomysłami w „Journal of Prosthetic Dentistry”.

– Wtedy pojawiło się zainteresowanie – powiedział. – Dzisiaj w żadnym wykładzie na temat estetyki [stomatologicznej] nie może zabraknąć części poświęconej złotej proporcji.

Levin tak często stosował fi w swojej pracy, że na początku lat 80. poprosił pewnego inżyniera o zaprojektowanie przyrządu, za pomocą którego mógłby sprawdzać, czy 2 zęby pozostają w złotej proporcji. Tak powstał miernik złotego podziału z 3 pazurami. Do dziś Levin sprzedaje go dentystom z całego świata.

Nie umiałem rozpoznać, czy własne zęby Levina spełniają zasadę złotej proporcji, choć niewątpliwie miały w sobie sporo złota. Levin powiedział mi, że miernik stał się czymś więcej niż tylko narzędziem pracy, że zaczął nim mierzyć również inne przedmioty. Odnalazł fi w formach kwiatów, w rozmieszczeniu gałązek wzdłuż łodygi oraz listków wzdłuż gałązek. Zabierał ze sobą miernik na wakacje i odnajdywał fi w proporcjach budynków. Odkrył też fi w innych częściach ludzkiego ciała, w stosunku długości knykci do palców oraz w usytuowaniu nosa, zębów i podbródka względem siebie. Zauważył ponadto, że większość ludzi stosuje złoty podział w piśmie odręcznym, jak pokazał na moim przykładzie.

Im bardziej Levin poszukiwał fi, tym częściej je znajdował.

– Odkryłem tak wiele zbieżności, że zacząłem się zastanawiać, o co w tym wszystkim chodzi.

Otworzył laptop i puścił mi pokaz slajdów – na każdym 3 końce miernika wskazywały, gdzie dokładnie znajdował się złoty podział. Zobaczyłem zdjęcia skrzydeł motyli, pawich piór i ubarwienia zwierząt, odczyt EKG serca zdrowego człowieka, obrazy Mondriana i zdjęcie samochodu.

Kiedy narysuje się prostokąt o proporcji boków równej fi, otrzymamy „złoty prostokąt”. Prostokąt ten ma tę praktyczną cechę, że gdybyśmy przecięli go pionowo, by po jednej stronie był kwadrat, to po drugiej stronie znalazłby się również złoty prostokąt. Matka rodzi córeczkę.

Złoty prostokąt i spirala logarytmiczna.

Możemy postępować w ten sposób w nieskończoność, tworząc wnuczki, prawnuczki i tak dalej. Narysujmy teraz w największym kwadracie ćwiartkę koła za pomocą cyrkla: w prawym dolnym wierzchołku należy umieścić nóżkę cyrkla, a rysikiem przesunąć od jednego sąsiedniego wierzchołka do drugiego. Powtórzmy to w następnym pod względem wielkości kwadracie: tym razem nóżkę cyrkla wbija się w lewym dolnym wierzchołku, a rysikiem kontynuuje krzywiznę przez następne ćwierć koła. Analogicznie postępujemy w mniejszych kwadratach. Powstała w ten sposób krzywa jest przybliżeniem spirali logarytmicznej.

Prawdziwa spirala logarytmiczna przechodziłaby przez te same wierzchołki tych samych kwadratów, ale zakręcałaby się płynnie w odróżnieniu od krzywej na rysunku, która ma małe skoki krzywizny w miejscach łączenia ćwiartek kół. W spirali logarytmicznej linia prosta od środka spirali – „bieguna” – przecina krzywiznę spirali w każdym punkcie pod tym samym kątem, co wyjaśnia, dlaczego Kartezjusz nazwał ją spiralą równokątną.

Spirala logarytmiczna jest jedną z najbardziej urzekających krzywych w matematyce. Pierwszym uczonym, który gruntownie badał jej własności, był siedemnastowieczny matematyk Jakob Bernoulli. Nazwał ją spira mirabilis, czyli cudowną. Poprosił o wyrycie jej na swoim nagrobku, niestety kamieniarz przez pomyłkę wykuł spiralę Archimedesa.

Spirala logarytmiczna – cudowna.

Spirala Archimedesa – nie tak cudowna.

Podstawową cechą spirali logarytmicznej jest to, że nigdy nie zmienia kształtu. Bernoulli wyraził to w swoim epitafium: Eadem mutata resurgo, czyli „Pozostaję tym samym, choć się zmieniłem”. Spirala obraca się nieskończoną liczbę razy, nim dotrze do swojego bieguna. Gdybyśmy wzięli mikroskop i popatrzyli na środek spirali logarytmicznej, zobaczylibyśmy taki sam kształt, jaki ukazałby się nam, gdyby spirala logarytmiczna rozwinęła się do rozmiarów galaktyki, a my oglądalibyśmy ją z innego systemu słonecznego. W istocie wiele galaktyk ma ten właśnie kształt. Spirala logarytmiczna, niczym fraktal, jest samopodobna, każdy mniejszy fragment ma kształt identyczny z większym.

Najbardziej olśniewającym przykładem spirali logarytmicznej w przyrodzie jest muszla łodzika. W miarę rozrastania się muszli każda kolejna komora jest większa, ale ma taki sam kształt, jak poprzednia. Jedyną spiralą, która może pomieścić takie komory jest spira mirabilis Bernoullego.

Muszla łodzika.

Jak zauważył Kartezjusz, linia prosta od bieguna spirali logarytmicznej zawsze przecina krzywą pod takim samym kątem, i to tłumaczy właśnie, dlaczego sokoły wędrowne atakują swoje ofiary po takiej spirali.

Sokół spadający na ofiarę po spirali logarytmicznej.

Sokoły nie pikują w linii prostej, ale dopadają ofiary, obniżając się spiralnie wokół niej. W 2000 roku Vance Tucker z Duke University w Karolinie Północnej przetestował sokoły w tunelu aerodynamicznym. Zauważył bowiem, że ptaki te mają oczy po bokach głowy, dlatego jeśli chcą patrzeć przed siebie, muszą obrócić głowę o 40 stopni. Wykazał, że przy głowie ustawionej pod takim kątem opór wiatru jest o 50 procent większy niż wtedy, gdy sokoły patrzą prosto przed siebie. Tor, który pozwala drapieżnikowi utrzymywać głowę w najbardziej aerodynamicznej pozycji, umożliwiając mu przy tym stałą obserwację ofiary pod tym samym kątem, to spirala logarytmiczna.

Nie tylko ptaki drapieżne, lecz również rośliny poruszają się w rytm muzyki fi. Kiedy roślina wzrasta, musi wypuszczać liście z łodygi w taki sposób, by na każdy z nich padało jak najwięcej światła słonecznego. Liście nie są zatem umieszczone bezpośrednio jeden nad drugim, ponieważ spowodowałoby to zupełne zacienienie dolnych.

Na wydłużającej się łodydze każdy nowy liść wyrasta pod stałym kątem w stosunku do poprzedniego liścia. Łodyga wypuszcza kolejne liście, zachowując określony z góry obrót, jak pokazano na rysunku obok.

Jaki jest stały kąt maksymalizujący dostęp światła słonecznego do liści, przy którym liście wyrastające wokół łodygi nachodzą na siebie w najmniejszym stopniu? Nie jest to 180 stopni, czyli pół obrotu, bo wtedy trzeci liść znajdowałby się dokładnie nad pierwszym. Kąt ten nie wynosi 90 stopni, czyli ćwierć obrotu, ponieważ wówczas piąty liść wyrósłby bezpośrednio nad pierwszym – a poza tym pierwsze 3 liście znalazłyby się po jednej stronie rośliny, co byłoby marnowaniem światła słonecznego dostępnego po drugiej stronie. Kąt, który zapewnia najlepsze rozmieszczenie, jest równy 137,5 stopnia. Rysunek obok pokazuje, jak usytuowane byłyby liście, gdyby każdy kolejny zawsze wyrastał pod tym kątem do poprzedniego. Pierwsze 3 liście są rozmieszczone dość daleko od siebie. Następne 2, czyli czwarty i piąty, oddalone są od sąsiednich o ponad 50 stopni, co nadal daje im sporo miejsca. Szósty liść znajduje się pod kątem 32,5 stopnia od pierwszego. Jest to mniejsza odległość niż między poprzednimi, bo w końcu przybyło liści, ale cały czas jest całkiem szeroka.

Kąt 137,5 stopnia nazywany jest złotym kątem. Można go uzyskać po podzieleniu koła (360 stopni na 2 kąty) zgodnie ze złotą proporcją, czyli w ten sposób, by proporcja większego do mniejszego wynosiła fi, czyli 1,618. Te 2 kąty mają 222,5 i 137,5 stopnia, z dokładnością do 1 miejsca po przecinku.

Jak liście wyrastają spiralnie w górę łodygi.

Matematyczne wyjaśnienie, dlaczego złoty kąt umożliwia najlepszy rozkład liści wokół łodygi, ma związek z pojęciem liczb niewymiernych, czyli liczb, których nie można wyrazić w postaci ułamków. Jeśli dany kąt jest liczbą niewymierną, to bez względu na to, ile razy obrócimy go wokół koła, nigdy nie trafimy z powrotem na miejsce, z którego zaczęliśmy. Może to brzmieć jak z Orwella, ale niektóre liczby niewymierne są bardziej niewymierne od innych. I nie ma liczby bardziej niewymiernej niż złota proporcja. (Krótkie wyjaśnienie znajdziesz w aneksie szóśtym).

Złoty kąt.

Złoty kąt wyjaśnia, dlaczego na łodygach roślin zarówno liczba liści, jak i liczba obrotów do momentu, gdy jakiś liść wyrośnie mniej więcej bezpośrednio nad pierwszym, na ogół jest liczbą Fibonacciego. Na przykład róże mają po 5 liści na 2 obroty, astry po 8 liści na 3 obroty, a migdałowce po 13 liści na 5 obrotów. Liczby Fibonacciego pojawiają się tu dlatego, że stanowią najbardziej zbliżone do złotego kąta proporcje wyrażone w liczbach całkowitych: jeśli roślina wypuszcza 8 liści na 3 obroty, to każdy liść występuje co \frac{3}{8} obrotu, czyli 135 stopni.

Jedyne w swoim rodzaju własności złotego kąta najbardziej rzucają się w oczy w układzie nasion. Wyobraźmy sobie, że koszyczek kwiatowy wytwarza nasiona pod stałym kątem obrotu od punktu środkowego. Kiedy pojawiają się nowe nasiona, starsze są wypychane bardziej na zewnątrz. Na poniższym rysunku pokazano układy nasion rozmieszczonych pod trzema różnymi kątami stałymi:

Nieznaczna zmiana może spowodować zaskakująco wielkie różnice w rozmieszczeniu nasion. Przy złotym kącie koszyczek kwiatowy ma hipnotyzujący układ splecionych spirali logarytmicznych. Jest to najbardziej zwarty układ. Natura wybiera złoty kąt właśnie z powodu owej zwartości – nasiona są ściślej upakowane i dzięki temu organizm będzie silniejszy.

Pod koniec XIX wieku Niemiec Adolf Zeising wysunął pogląd, że złota proporcja jest wcielonym pięknem, nazywając ją uniwersalnym prawem, „które przenika jako nadrzędny ideał duchowy wszelkie struktury, formy i proporcje, zarówno kosmiczne, jak i jednostkowe, organiczne i nieorganiczne, akustyczne i optyczne; które najpełniejszą jednakże realizację znajduje w ludzkiej formie”. Zeising pierwszy twierdził, że fasada Partenonu ma kształt złotego prostokąta. W rzeczywistości nie ma żadnych świadectw pisanych, by osoby odpowiedzialne za projekt architektoniczny, w tym rzeźbiarz Fidiasz, posługiwały się złotą proporcją. Poza tym, jeśli przyjrzeć się uważnie, okazuje się, że złoty prostokąt wcale nie jest dokładnym odpowiednikiem. Nie mieszczą się w nim krawędzie cokołu. Niemniej jednak związek Fidiasza z Partenonem zainspirował około 1909 roku amerykańskiego matematyka Marka Barra do określenia złotej proporcji mianem fi.

Mimo ekscentrycznego wydźwięku praca Zeisinga została potraktowana serio przez Gustava Fechnera, jednego z twórców psychologii eksperymentalnej. W poszukiwaniu doświadczalnych dowodów na potwierdzenie tezy, że złoty prostokąt uchodzi za piękniejszy od wszystkich innych rodzajów prostokątów, Fechner opracował test, w którym badanym pokazywano kilka różnych prostokątów i pytano, jaki wolą.

Wyniki Fechnera zdawały się dowodzić słuszności poglądów Zeisinga. Prostokąt najbardziej zbliżony do złotego był wybierany najczęściej – preferowała go nieco ponad jedna trzecia badanej grupy. Choć metody Fechnera były niewyrafinowane, testowanie prostokątów dało początek nowej dziedzinie naukowej – eksperymentalnej psychologii sztuki – oraz węższej działce „estetyki prostokątów”. Wielu psychologów przeprowadzało podobne badania na temat atrakcyjności prostokątów, co wcale nie jest takie niedorzeczne, jak mogłoby się wydawać. Gdyby bowiem istniał najbardziej „rajcowny” prostokąt, taki kształt przydałby się projektantom wyrobów handlowych. Karty kredytowe, paczki papierosów i książki często mają proporcje zbliżone do złotego prostokąta. Ku rozczarowaniu fanów złotego prostokąta, najnowsze szczegółowe badania przeprowadzone przez zespół pod kierownictwem Chrisa McManusa z University College London wskazują, że Fechner się mylił. W artykule z 2008 roku czytamy, że „z przeszło stuletniej pracy doświadczalnej wynika, iż złoty podział odgrywa faktycznie niewielką rolę normatywną w preferencjach badanych w zakresie prostokątów”. Autorzy nie dochodzą jednak do wniosku, że analizowanie preferencji w zakresie prostokątów jest stratą czasu. Wręcz przeciwnie. Stwierdzili, że choć nie ma jednego powszechnie preferowanego prostokąta, to istnieją ważne różnice indywidualne w estetycznym upodobaniu do prostokątów, które zasługują na dalsze badania.

Również naukowcy mniejszego kalibru niż Fechner inspirowali się teoriami Zeisinga. Frank A. Lonc z Nowego Jorku porównał wzrost 65 kobiet z wysokością pępka i odkrył, że proporcja wynosi 1,618. Kiedy tak nie było, miał wytłumaczenie: „Badane, których wymiary nie mieściły się w tej proporcji, informowały o urazach stawu biodrowego bądź innych deformujących wypadkach w dzieciństwie”. Francuski architekt Le Corbusier utworzył Modulora, aby stosować właściwe proporcje w architekturze i wzornictwie. Stosunek wzrostu modelowego człowieka doskonałego do wysokości pępka równa się 1829/1130, czyli 1,619, a stosunek odległości między pępkiem a podniesioną prawą ręką do odległości między pępkiem a głową 1130/698, czyli ponownie 1,619. W zamyśle Corbusiera Modulor miał stanowić kanon proporcji dla architektury oraz wzornictwa.

Gary Meisner jest pięćdziesięciotrzyletnim doradcą biznesowym z Tennessee. Nazywa siebie Phi Guy (gość od fi) i na swojej stronie internetowej sprzedaje gadżety, takie jak T-shirty i kubki z fi. Bestsellerem jest jednak PhiMatrix, czyli program, który tworzy na ekranie komputera siatkę do sprawdzania obrazów pod kątem złotej proporcji. Większość nabywców wykorzystuje go do projektowania sztućców, mebli i domów. Niektórzy klienci używają programu do spekulacji finansowych – nakładają siatkę na wykresy indeksów i stosują fi do przewidywania przyszłych trendów.

– Pewien człowiek na Karaibach używał mojej matrycy w handlu ropą, gość z Chin wykorzystywał ją w handlu walutami – powiedział Phi Guy.

Meisner zainteresował się złotym podziałem, bo jest uduchowionym człowiekiem i pomogło mu to zrozumieć wszechświat, ale nawet on uważa, że zwolennicy fi potrafią się zagalopować. Nie przekonują go na przykład spekulanci giełdowi.

– Kiedy patrzy się na giełdę wstecz, dość łatwo odnaleźć powiązania pasujące do fi – stwierdził. – Kłopot w tym, że patrzenie wstecz różni się od wyglądania przez frontowe okno.

Za pośrednictwem strony internetowej do Meisnera zwracają się różnej maści miłośnicy fi. Powiedział mi, że miesiąc wcześniej otrzymał e-mail od pewnego bezrobotnego, który wierzył, że jedynym sposobem dostania się na rozmowę kwalifikacyjną jest zaprojektowanie życiorysu w proporcjach zgodnych ze złotym podziałem. Meisnerowi zrobiło się żal tego naiwnego człowieka. Udzielił mu kilku wskazówek dotyczących projektowania zgodnego z fi, ale zasugerował, że bardziej obiecujące byłoby postawienie na bardziej tradycyjne sposoby szukania pracy, takie jak nawiązywanie kontaktów zawodowych.

– Dzisiaj rano dostałem od niego list – zdradził Meisner. – Powiedział, że umówił się na rozmowę kwalifikacyjną. Uważa, że to dzięki nowemu układowi CV!

W Londynie opowiedziałem Eddy’emu Levinowi historyjkę o złotym życiorysie jako przykład przesadnego dziwactwa. Levinowi nie wydało się to jednak wcale śmieszne. Potwierdził, że układ CV zgodny z proporcjami fi jest lepszy od zwykłego.

– Będzie ładniej wyglądać, więc bardziej zainteresuje czytającego.

Po 30 latach studiowania złotego podziału Levin jest przekonany, że tam, gdzie jest piękno, tam jest fi.

– We wszelkich dziełach sztuki, które są dobre wizualnie, dominują złote proporcje – stwierdził.

Wie, że pogląd ten nie cieszy się popularnością, ponieważ określa przepis na piękno, ale Levin zapewnia, że potrafi znaleźć fi w dowolnym dziele sztuki.

Moją odruchową reakcją na obsesję Levina na punkcie fi był sceptycyzm. Nie byłem przekonany, że jego miernik jest na tyle dokładny, by mierzyć 1,618 z wystarczającą precyzją. Nie jest wielką sztuką znaleźć proporcję „zbliżoną do fi” w obrazie czy budowli, zwłaszcza gdy można samemu wybrać elementy do pomiaru. Poza tym skoro stosunek kolejnych liczb Fibonacciego stanowi dobre przybliżenie 1,618, to złoty prostokąt będzie wszędzie tam, gdzie występuje siatka 5 × 3 lub 8 × 5, lub 13 × 8 i tak dalej. Nic dziwnego, że taka proporcja jest często spotykana.

Niemniej jednak przykłady podawane przez Levina miały w sobie coś fascynującego. Odczuwałem dreszcz zachwytu za każdym razem, kiedy pokazywał mi nowy obraz. Fi rzeczywiście było wszędzie. Owszem, złoty podział zawsze przyciągał maniaków, nie znaczy to jednak, że wszystkie teorie na ten temat są maniackie. Są również bardzo poważani uczeni, którzy twierdzą, że fi tworzy piękno, szczególnie w strukturze kompozycji muzycznych. Argument, że ludzi pociąga pewna proporcja, która najlepiej wyraża naturalny wzrost i odrastanie, nie wydaje się zbyt naciągany.

Dzień był słoneczny, więc przenieśliśmy się z Levinem do ogrodu. Usiedliśmy na krzesłach i popijaliśmy herbatę. Levin powiedział mi, że limeryk jest tak udaną formą poetycką, ponieważ sylaby w wersach (8, 8, 5, 5, 8) są liczbami Fibonacciego. Przyszedł mi do głowy pewien pomysł. Zapytałem Levina, czy wie, co to jest iPod. Nie wiedział. Wyciągnąłem swój egzemplarz z kieszeni i podałem mu. Powiedziałem, że jest to piękny przedmiot, więc zgodnie z jego rozumowaniem powinien zawierać złoty podział.

Levin wziął mój biały błyszczący iPod i potrzymał go w dłoni. Odpowiedział, że owszem, jest piękny. By ostudzić nadzieje, ostrzegł mnie jednak, że przedmioty produkowane fabrycznie często nie stosują się dokładnie do złotego podziału.

– Zmienia się nieco kształt dla ułatwienia produkcji – wyjaśnił, otworzył swoje szczypce i zaczął mierzyć wszystkie istotne punkty. – Och, tak – powiedział z uśmiechem.

¹ Sloane w maju 2012 roku przeszedł na emeryturę (przyp. red.).

² Przy założeniu, że 0⁰ = 1. Gdyby 0⁰ = 0, liczba natychmiast by runęła.

³ Definicja tego ciągu znajduje się w aneksie czwartym.

⁴ A zatem nieciągłe (przyp. red.).

ROZDZIAŁ DZIEWIĄTY
Szansa od losu

Kiedyś mówiło się, że do Las Vegas jeździ się, żeby wziąć ślub, a do Reno, żeby wziąć rozwód. Teraz do obu tych miast można wybrać się, by poszaleć na automatach. Kasyno Peppermill w Reno z 1900 automatami do gier nie jest nawet największym przybytkiem hazardu w mieście. Kiedy szedłem przez główny hol, uderzyło mnie, że stoły do ruletki i blackjacka są ciemne i przygaszone w porównaniu z zastępami świecących, wirujących i brzęczących automatów. Rozwój techniczny pozbawił większość jednorękich bandytów dźwigniowych kończyn i mechanicznych wnętrzności. Obecnie gracze stawiają zakłady, naciskając podświetlone przyciski lub ekrany dotykowe. Od czasu do czasu słyszałem ekscytujący dźwięk brzęczącego bilonu, ale dochodził on z nagranych sampli, ponieważ monety zostały zastąpione przez elektroniczne punkty.

Automaty do gier to podstawa działalności w branży hazardowej – wykorzystują najnowocześniejsze technologie i są głównym źródłem dochodów. W Stanach Zjednoczonych maszyny zarabiają 25 miliardów dolarów rocznie (już po wypłaceniu wszystkich wygranych), czyli dwuipółkrotnie więcej, niż wynosi łączna wartość biletów do kina sprzedawanych rocznie w całym kraju. W Nevadzie, światowym zagłębiu kasyn, automaty przynoszą obecnie prawie 70 procent dochodów z hazardu – i z roku na rok odsetek ten wzrasta.

Badanie prawdopodobieństwa to badanie szans. Kiedy rzucamy monetą lub gramy na automacie, nie wiemy, jak upadnie moneta ani gdzie zatrzymają się wirujące bębny. Teoria prawdopodobieństwa daje nam narzędzie opisu szans na to, że moneta spadnie orzełkiem do góry lub że zgarniemy najwyższą stawkę. Dzięki matematycznemu podejściu nieprzewidywalność staje się bardzo przewidywalna. Choć na co dzień traktujemy to jako coś oczywistego – na przykład gdy czytamy prognozę pogody – zrozumienie, że matematyka może powiedzieć nam coś o przyszłości, jest bardzo głęboką i stosunkowo nową ideą w historii myśli ludzkiej.

Przyjechałem do Reno, żeby spotkać się z matematykiem, który ustala szanse wygranej dla ponad połowy automatów do gier na całym świecie. Jego zawód ma głęboko zakorzenione tradycje – teorię prawdopodobieństwa zapoczątkował Girolamo Cardano, nasz szesnastowieczny włoski znajomy, którego poznaliśmy przy okazji omawiania równań trzeciego stopnia. Rzadko się zdarza, by przełom w matematyce był wynikiem takiej nienawiści do samego siebie: „Nie mając wątpliwości, że byłem w sposób nieumiarkowany uzależniony od szachownicy i stołu do gry w kości – pisał Cardano – wiem, że należy uznać mnie raczej za zasługującego na najsurowsze potępienie”. Jego nałóg zaowocował powstaniem krótkiego traktatu na temat gier hazardowych, który był pierwszą naukową analizą prawdopodobieństwa. Dzieło tak bardzo jednak wyprzedzało swój czas, że opublikowano je dopiero wiek po śmierci autora.

Cardano zauważył, że jeśli zdarzenie losowe ma kilka jednakowo prawdopodobnych rezultatów, szanse na pojawienie się danego rezultatu są równe stosunkowi tego rezultatu do wszystkich możliwych rezultatów. Znaczy to, że jeśli szanse wystąpienia jakiegoś zdarzenia są jak 1 do 6, to prawdopodobieństwo tego zdarzenia wynosi jedną szóstą. Kiedy zatem rzucamy kostką, szansa uzyskania szóstki jest równa \frac{1}. Szanse na trafienie liczby parzystej wynoszą \frac{3}, co równa się \frac{1}. Prawdopodobieństwo można zdefiniować jako szanse na wystąpienie jakiegoś zdarzenia wyrażone w postaci ułamka. Niemożliwość to prawdopodobieństwo równe 0, pewność to prawdopodobieństwo równe 1, a reszta znajduje się pomiędzy.

Wydaje się to proste, ale wcale tak nie jest. Grecy, Rzymianie i starożytni Hindusi byli maniakami hazardu. Nikt z nich jednak nie próbował zrozumieć praw matematycznych rządzących przypadkowością. W Rzymie na przykład rzucano monetą w ramach rozstrzygania sporów. Jeśli wylądowała głową Cezara do góry, znaczyło to, że władca zgadza się z decyzją. W zdarzeniach losowych nie widziano dzieła przypadku, lecz wyraz woli boskiej. Na przestrzeni dziejów ludzie z niezwykłą pomysłowością wynajdywali sposoby interpretowania takich zdarzeń. Rapsodomancja na przykład polegała na szukaniu porad w losowo wybranym fragmencie utworu literackiego. Z kolei według Biblii wyciągnięcie krótkiego źdźbła było bezstronnym sposobem dokonania wyboru, tyle że warunkowanym przyzwoleniem Boga: „We fałdy sukni wrzuca się losy, ale Pan sam rozstrzyga”¹.

Przesądy skutecznie powstrzymywały rozwój naukowych badań nad prawdopodobieństwem, ale po tysiącach lat rzucania kostką mistycyzm został w końcu pokonany przez silniejsze ludzkie pragnienie – chęć osiągania zysków finansowych. Girolamo Cardano był pierwszym człowiekiem, który okiełznał Fortunę. Można nawet postawić tezę, że wynalezienie prawdopodobieństwa było pierwotną przyczyną podupadania przesądów i religii w ostatnich stuleciach. Jeśli nieprzewidywalne wydarzenia podlegają prawom matematyki, nie trzeba uciekać się do bogów, by je wyjaśnić. Sekularyzację świata zwykle wiąże się z takimi myślicielami, jak Karol Darwin czy Friedrich Nietzsche, niewykluczone jednak, że człowiekiem, który zainicjował ten proces, był Girolamo Cardano.

W grach losowych najczęściej używano kości. W starożytności popularnym modelem był astragalus – kość skokowa owcy lub kozy – który miał 4 wyraźnie płaskie boki. Hindusi upodobali sobie kości w kształcie pałeczek i batoników Toblerone, a poszczególne ścianki oznaczali oczkami, co najczęściej wyjaśnia się tym, że kości są starsze niż formalny system zapisu liczbowego. Tradycja ta zachowała się do dziś. Najbardziej uczciwe są kości o identycznych bokach, a jeśli nałożyć dodatkowy warunek, że każda ściana musi być wielokątem foremnym, to spełni go tylko pięć kształtów – bryły platońskie. Każdej z brył platońskich używano jako kości. W grze z Ur, prawdopodobnie najstarszej znanej grze na świecie, sięgającej przynajmniej III tysiąclecia przed naszą erą, wykorzystano czworościan, który jest jednak najgorszym wyborem z całej piątki, ponieważ słabo się toczy i – jak sama nazwa wskazuje – ma tylko 4 ściany. Ośmiościanów używano w starożytnym Egipcie, a dwunastościany i dwudziestościany nadal należą do akcesoriów wróżbiarskich.

Zdecydowanie najpopularniejszym kształtem kości jest sześcian. Najłatwiej go wykonać, zakres liczb nie jest ani za duży, ani za mały, toczy się dobrze, ale nie za lekko, i nie ma wątpliwości, na jakiej liczbie wypada. Sześcienne kostki z oczkami to międzykulturowy symbol szczęścia i przypadku, równie dobrze odnajdują się w chińskich salonach madżonga, jak i w breloczkach zwisających z lusterka wstecznego w brytyjskich samochodach.

Jak wspomniałem wcześniej, kiedy rzucimy jedną kostką, szanse na trafienie szóstki są równe \frac{1}. Kiedy rzućmy drugą, szanse na szóstkę również są równe \frac{1}. A jakie są szanse, że rzucając 2 kostkami, otrzymamy parę szóstek? Najbardziej podstawowa zasada prawdopodobieństwa brzmi, że szanse zajścia 2 niezależnych zdarzeń są takie same jak szanse zajścia pierwszego zdarzenia pomnożone przez szanse zajścia drugiego zdarzenia. Kiedy rzucamy parą kostek, wynik pierwszej kostki jest niezależny od wyniku drugiej i vice versa. Szanse na wyrzucenie 2 szóstek równe są zatem \frac{1} · \frac{1}, czyli \frac{1}. Można przedstawić to wizualnie, licząc wszystkie możliwe kombinacje 2 kostek: jest 36 jednakowo prawdopodobnych wyników i tylko jeden z nich to 6 i 6.

I na odwrót, z 36 możliwych wyników 35 nie jest podwójną szóstką. Prawdopodobieństwo niewyrzucenia 6 i 6 wynosi więc \frac{35}{36}. Zamiast liczyć 35 przykładów, równie dobrze możemy zacząć od pełnego zestawu i odjąć przypadki podwójnych szóstek: 1-\frac{1}{36} = \frac{35}{36}. Zatem prawdopodobieństwo, że coś się nie zdarzy, wynosi 1 minus prawdopodobieństwo, że dana rzecz się wydarzy.

Stół do kości był dawnym odpowiednikiem automatu do gier, w którym gracze obstawiali wyniki rzutu kośćmi. Jedną z klasycznych odmian gry było stawianie zakładów, że w rzucie 4 kośćmi pojawi się przynajmniej jedna szóstka. Każdemu, kto był gotów postawić na to pieniądze, przynosiło to niezłe dochody, a my mamy już wystarczającą wiedzę matematyczną, by zrozumieć dlaczego:

Krok 1: Prawdopodobieństwo trafienia szóstki w 4 rzutach kostką jest takie samo jak 1 minus prawdopodobieństwo niewyrzucenia szóstki na żadnej z 4 kostek.

Krok 2: Prawdopodobieństwo niewyrzucenia szóstki na 1 kostce wynosi \frac{5}{6}, więc jeśli mamy 4 kostki, to prawdopodobieństwo wynosi \frac{5}{6} · \frac{5}{6} · \frac{5}{6} · \frac{5}{6} = \frac{625}{1296}, co się równa 0,482.

Krok 3: Zatem prawdopodobieństwo wyrzucenia szóstki wynosi 1 – 0,482 = 0,518.

Prawdopodobieństwo równe 0,518 oznacza, że jeśli rzucimy 4 kostkami 1000 razy, możemy oczekiwać, że przynajmniej 1 szóstkę otrzymamy około 518 razy, a żadnej szóstki nie trafimy około 482 razy. Gdybyśmy obstawiali wyrzucenie przynajmniej jednej szóstki, średnio wygrywalibyśmy częściej, niż przegrywali, więc ostatecznie wyszlibyśmy na plus.

Siedemnastowieczny pisarz Antoine Gombaud, znany jako kawaler de Méré, wytrwale grywał w kości w najmodniejszych salonach Paryża. Równie mocno jak wygrywaniem pieniędzy zainteresowany był matematyką gry w kości. Miał jednak kilka pytań na temat hazardu, na które nie potrafił sam odpowiedzieć, więc w 1654 roku zwrócił się do wybitnego matematyka Blaise’a Pascala. Jego przypadkowa prośba okazała się przygodnym zdarzeniem, które zapoczątkowało prawdziwe badania nad zdarzeniami losowymi.

Pascal w momencie otrzymania pytań de Méré’a miał zaledwie 31 lat, ale w kręgach intelektualnych znany był już od niemal 20. Był tak zdolnym dzieckiem, że w wieku 13 lat ojciec pozwolił mu chodzić na spotkania salonu naukowego – prowadzonego przez Marina Mersenne’a, zakonnika i miłośnika liczb pierwszych – który gromadził wielu słynnych matematyków, między innymi Kartezjusza i Pierre’a de Fermata. Jeszcze jako nastolatek Pascal udowodnił ważne twierdzenia w geometrii i wynalazł wczesny model mechanicznej maszyny liczącej, nazwanej później paskaliną.

Pierwsze pytanie, jakie de Méré zadał Pascalowi, dotyczyło podwójnych szóstek. Szanse na otrzymanie podwójnej szóstki w rzucie 2 kostkami wynoszą \frac{1}{36}. Ogólne prawdopodobieństwo uzyskania podwójnej szóstki wzrasta wraz z liczbą rzutów pary kostek. Kawaler chciał się dowiedzieć, ile rzutów kostkami potrzeba, by obstawienie podwójnej szóstki było dobrym zakładem.

Drugie pytanie było bardziej złożone. Powiedzmy, że Jean i Jacques grają w grę kościaną składającą się z kilku rund, w których obaj rzucają kostką, starając się uzyskać jak najwyższą liczbę. Ostatecznym zwycięzcą jest ten, kto 3 razy wyrzuci najwyższą liczbę. Każdy wniósł stawkę w wysokości 32 franków, więc pula wynosi 64 franki. Jak należałoby podzielić pulę w przypadku zakończenia gry po 3 rundach, jeśli Jean wyrzucił dotychczas najwyższą liczbę 2 razy, a Jacques raz?

Rozmyślając nad odpowiedziami i czując potrzebę omówienia ich z innym geniuszem, Pascal napisał do starego znajomego z salonu Mersenne’a, Pierre’a de Fermata. Fermat mieszkał z dala od Paryża, w Tuluzie, mieście, którego nazwa świetnie pasowała do kogoś, kto analizował problem dotyczący hazardu². Był on o 22 lata starszy od Pascala i pracował na stanowisku sędziego w miejscowym sądzie karnym, a matematyką zajmował się wyłącznie hobbystycznie, traktując ją jako rodzaj rozrywki intelektualnej. Jednak dzięki swoim amatorskim rozmyślaniom stał się jednym z najbardziej szanowanych matematyków pierwszej połowy XVII wieku.

Krótka wymiana listów między Pascalem a Fermatem na temat prawdopodobieństwa – które nazywali hasard – okazała się punktem zwrotnym w historii nauki. Panowie korespondencyjnie rozwiązali oba problemy literackiego bon vivanta, a przy okazji położyli podwaliny pod współczesną teorię prawdopodobieństwa.

Wróćmy do odpowiedzi na pytania kawalera de Méré. Ile razy trzeba rzucić parą kostek, żeby szanse na uzyskanie podwójnej szóstki były większe niż szanse, że para szóstek wcale nie wypadnie? W jednym rzucie dwiema kostkami szanse na podwójną szóstkę są równe \frac{1}{36}, czyli 0,028. Prawdopodobieństwo, że podwójna szóstka pojawi się w 2 rzutach parą kostek, wynosi 1 minus prawdopodobieństwo niewystąpienia podwójnej szóstki w 2 rzutach, czyli 1 – (\frac{35}{36} · \frac{35}{36}). Po przeliczeniu wychodzi \frac{71}{1296}, czyli 0,055. (Uwaga: szanse na podwójną szóstkę w 2 rzutach nie wynoszą \frac{1}{36} · \frac{1}{36}. To są szanse na podwójną szóstkę w obu rzutach. Nas interesuje prawdopodobieństwo trafienia przynajmniej jednej podwójnej szóstki, co obejmuje takie wyniki, jak podwójna szóstka w pierwszym rzucie lub w drugim rzucie bądź też w obu rzutach. By wygrać, gracz potrzebuje tylko 1 pary szóstek, a nie pary szóstek w obu rzutach). Szanse na parę szóstek w 3 rzutach 2 kostkami wynoszą 1 minus prawdopodobieństwo nietrafienia ani jednej pary, co tym razem równa się 1 – (\frac{35}{36} · \frac{35}{36} · \frac{35}{36}) = \frac{3781}{46656}, czyli 0,081. Jak widać, im więcej rzutów, tym wyższe prawdopodobieństwo trafienia pary szóstek: 0,028 przy 1 rzucie, 0,055 przy 2 rzutach i 0,081 przy 3. Ponieważ prawdopodobieństwo większe niż 0,5 oznacza, że zajście jakiegoś zdarzenia jest bardziej prawdopodobne niż jego niezajście, pierwotne pytanie można przeformułować następująco: „Po ilu rzutach ułamek ten przekroczy 0,5?”. Pascal obliczył, że wystarczy 25 rzutów. Gdyby kawaler postawił na wystąpienie pary szóstek w 24 rzutach, mógłby spodziewać się straty pieniędzy, ale po 25 rzutach szanse zmieniają się na jego korzyść i mógłby oczekiwać wygranej.

Pytanie dotyczące podziału puli często nazywane jest problemem punktów i było stawiane już wcześniej, zanim Fermat i Pascal się nim zajęli; nigdy jednak nie zostało poprawnie rozwiązane. Przeformułujmy je na pytanie dotyczące orła i reszki. Jean wygrywa rundę, jeśli wypada orzeł, Jacques wygrywa, jeśli wypada reszka. Ten, kto pierwszy wygra 3 rundy, zgarnia pulę w wysokości 64 franków. Przy wyniku 2 orły dla Jeana i 1 reszka dla Jacques’a gra musi zostać nagle przerwana. Jak w takim wypadku najsprawiedliwiej podzielić pulę? Według jednej z odpowiedzi Jean powinien wziąć całą pulę, ponieważ prowadzi – ale nie uwzględnia to faktu, że Jacques nadal ma szanse na wygraną. Inna odpowiedź jest taka, że Jean powinien wziąć 2 razy więcej niż Jacques, ale to również nie jest sprawiedliwe, ponieważ rezultat 2 : 1 odzwierciedla zdarzenia przeszłe. Nie wynika z niego, co mogłoby zdarzyć się w przyszłości. Jean nie jest lepszy od Jacques’a w rzucaniu monetami. Przy każdym rzucie monetą prawdopodobieństwo wyrzucenia orła lub reszki wynosi 50 : 50. Najlepszym i najbardziej sprawiedliwym rozwiązaniem jest rozważenie, co mogłoby zdarzyć się w przyszłości. Jeśli monetą rzuci się jeszcze 2 razy, możliwe są następujące wyniki:

orzeł, orzeł

orzeł, reszka

reszka, orzeł

reszka, reszka

Po tych 2 rzutach gra zostanie rozstrzygnięta. W pierwszych 3 przypadkach wygrywa Jean, a w 4. Jacques. Najbardziej sprawiedliwy podział puli to \frac{3}{4} dla Jeana i  \frac{1}{4} dla Jacques’a, czyli rozdzielenie pieniędzy w stosunku 48 franków do 16. Dzisiaj wydaje się nam to dość proste, ale w XVII wieku pomysł matematycznego ujmowania zdarzeń losowych, które jeszcze nie zaszły, stanowił doniosły przełom. Koncepcja ta leży u podstaw naukowego rozumienia współczesnego świata, od fizyki i finansów do medycyny i badań rynkowych.

Kilka miesięcy po pierwszym liście do Fermata na temat pytań hazardzisty Pascal doświadczył tak silnego przeżycia religijnego, że relację ze swojej wizji spisał na kartce, którą do końca życia nosił w specjalnej kieszonce wszytej w podszewkę marynarki. Być może przyczyną był nieomal tragiczny wypadek, w którym jego powóz zawisł na krawędzi mostu po tym, jak konie przeskoczyły balustradę, a może była to reakcja moralna na dekadencję stolików kościanych w przedrewolucyjnej Francji – tak czy owak, Pascal związał się silniej z jansenizmem, ortodoksyjnym odłamem katolicyzmu, i porzucił matematykę na rzecz teologii i filozofii.

Nie potrafił jednak przestać myśleć w sposób matematyczny. Jego najsłynniejszy wkład w filozofię – argument rozstrzygający, czy należy wierzyć w Boga – był kontynuacją nowego podejścia do analizy prawdopodobieństwa, które omawiał wcześniej z Fermatem.

Wartość oczekiwana to w uproszeniu to, czego można oczekiwać w efekcie zakładu. Jakiej wygranej mógłby spodziewać się kawaler de Méré, stawiając 10 funtów na trafienie szóstki w rzucie 4 kostkami? Wyobraźmy sobie, że kawaler wygrywa 10 funtów, jeśli wypadnie szóstka, a przegrywa wszystko, jeśli nie wypadnie szóstka. Wiemy, że szanse wygrania tego zakładu wynoszą 0,518. Zatem w nieco ponad połowie razy wygrywa 10 funtów, a w nieco mniej niż połowie razy przegrywa 10 funtów. Wartość oczekiwaną oblicza się w ten sposób, że mnoży się prawdopodobieństwo każdego wyniku przez wartość tego wyniku, a potem sumuje iloczyny. W tym wypadku można spodziewać się wygranej:

(prawdopodobieństwo wygrania 10 funtów) · 10 funtów + (prawdopodobieństwo przegrania 10 funtów) · (–10 funtów)

czyli

0,518 · 10 funtów + 0,482 · (–10 funtów) = 5,18 funtów – 4,82 funtów = 36 pensów

(W tym równaniu pieniądze wygrane są liczbą dodatnią, a pieniądze przegrane liczbą ujemną). W żadnym pojedynczym zakładzie de Méré nie wygra rzecz jasna 36 pensów – albo wygra 10 funtów, albo straci 10 funtów. Wartość 36 pensów jest teoretyczna, ale jeśli będzie dalej obstawiać, jego wygrane będą zbliżać się do przeciętnej wartości 36 pensów na zakład.

Pascal był jednym z pierwszych myślicieli, którzy wykorzystywali pojęcie wartości oczekiwanej. Umysł filozofa zajmowały jednak sprawy o wiele wznioślejsze niż zyski finansowe z gry w kości.

Wyobraźmy sobie, pisał Pascal, że obstawiamy istnienie Boga. Według Pascala wartość oczekiwaną takiego zakładu można obliczyć za pomocą następującego równania:

(prawdopodobieństwo istnienia Boga) · (co wygrywasz, jeśli istnieje) + (prawdopodobieństwo nieistnienia Boga) · (co wygrywasz, jeśli nie istnieje)

Powiedzmy, że szanse na istnienie Boga wynoszą 50 : 50, czyli że prawdopodobieństwo istnienia Boga wynosi \frac{1}{2}. Jeśli wierzysz w Boga, to czego możesz oczekiwać po tym zakładzie? Wzór przybiera postać:

(\frac{1}{2} · szczęście wieczne) + (\frac{1}{2} · nic) = szczęście wieczne

Inaczej mówiąc, obstawienie istnienia Boga jest bardzo dobrym zakładem ze względu na tak fantastyczną nagrodę. Z arytmetyki wynika, że połowa niczego to nic, ale połowa czegoś nieskończonego również jest nieskończona. Jeśli szanse na istnienie Boga są zaledwie jak 1 : 100, wzór wygląda analogicznie:

(\frac{1}{100} · szczęście wieczne) + (\frac{99}{100} · nic) = szczęście wieczne

Korzyści z wiary w istnienie Boga są tu równie fenomenalne, ponieważ jedna setna czegoś nieskończonego dalej jest czymś nieskończonym. Stąd wniosek, że jakkolwiek minimalne by było prawdopodobieństwo istnienia Boga, jeśli tylko nie równa się 0, to wierzącemu w Boga taki zakład zawsze przyniesie nieskończony zysk. Przeszliśmy zawiłą drogę, by dojść do nader oczywistego wniosku. Jasne, że chrześcijanie postawią na istnienie Boga.

Pascala bardziej zajmowała kwestia, co zdarzy się, jeśli ktoś nie wierzy w Boga. Czy w takim wypadku obstawianie istnienia lub nieistnienia Boga jest dobrym zakładem? Jeśli przyjmiemy, że prawdopodobieństwo, iż Boga nie ma, wynosi 50 : 50, to równanie przyjmuje postać:

( \frac{1}{2} · wieczne potępienie) + ( \frac{1}{2} · nic) = wieczne potępienie

Wartością oczekiwaną staje się wieczność w piekle, co wygląda na fatalny zakład. Choćby prawdopodobieństwo istnienia Boga wynosiło tylko jedną setną, to dla niewierzących równanie jest dalej tak samo niewesołe. Jeśli w ogóle istnieje jakiekolwiek prawdopodobieństwo istnienia Boga, to oczekiwana wartość zakładu jest nieskończenie marna dla niewierzącego.

Powyższy argument nazywany jest zakładem Pascala. Można go podsumować w następujący sposób: jeśli jest choćby najmniejsze prawdopodobieństwo, że Bóg istnieje, to zdecydowanie warto w Niego wierzyć. Jeśli bowiem Boga nie ma, niewierzący nie ma nic do stracenia, ale jeśli jednak Bóg jest, niewierzący ma wszystko do stracenia. Sprawa jest jasna. Bądź chrześcijaninem, możesz tylko zyskać.

Po dokładniejszej analizie okazuje się jednak, że argumentacja Pascala nie działa. Pascal bierze pod uwagę jedynie opcję wiary w chrześcijańskiego Boga. A co z bogami innych religii, nawet tymi zmyślonymi? Wyobraźmy sobie, że o tym, czy po śmierci pójdziemy do nieba czy piekła, będzie decydować kot z zielonego sera. Nie jest to zbyt prawdopodobne, niemniej jednak jest możliwe. Zgodnie z argumentacją Pascala warto wierzyć, że ów serowy kot istnieje, co jest rzecz jasna absurdem.

Z zakładem Pascala wiążą się też inne problemy, bardziej pouczające dla matematyki prawdopodobieństwa. Można powiedzieć, że szanse na wyrzucenie szóstki na kostce są jak 1 : 6, ponieważ wiadomo, że na kostce jest zaznaczona szóstka. Abyśmy mogli zrozumieć w ujęciu matematycznym zdanie, że szanse na istnienie Boga wynoszą jeden do iluś tam, musi być możliwy świat, w którym Bóg rzeczywiście istnieje. Innymi słowy, przesłanka argumentu zakłada, że gdzieś Bóg istnieje. Takiej przesłanki nie przyjąłby niewierzący, a poza tym pokazuje ona, że rozumowanie Pascala jest z premedytacją oparte na błędnym kole.

Mimo pobożnych intencji Pascala jego dziedzictwo należy bardziej do sfery profanum niż sacrum. Wartość oczekiwana to podstawowe pojęcie w niezwykle dochodowej branży hazardu. Niektórzy historycy przypisują Pascalowi również wynalezienie ruletki. W każdym razie ruletka z pewnością wywodzi się z Francji i pod koniec XVIII wieku była już popularną atrakcją w Paryżu.

Zasady są następujące: kulka wiruje dokoła zewnętrznej obręczy, a kiedy straci impet, wpada do wewnętrznego koła, które również się obraca. Wewnętrzne koło ma 38 przegródek, ponumerowanych od 1 do 36 (na przemian czerwonymi i czarnymi) plus dwie specjalne 0 i 00 (zielone). Kulka wpada do koła i podskakuje, by wreszcie zatrzymać się w którejś przegródce. Gracze mogą stawiać różnego rodzaju zakłady. Najprostszy polega na obstawieniu przegródki, w której wyląduje kulka. Jeśli trafimy, kasyno wypłaca wygraną w stosunku 35 do 1. Zakład w wysokości 10 funtów przyniesie więc wygraną w wysokości 350 funtów (oraz zwrot postawionych 10 funtów).

Ruletka to bardzo wydajna maszynka do zarabiania pieniędzy, ponieważ każdy zakład w tej grze ma ujemną wartość oczekiwaną. Inaczej mówiąc, przy każdym obstawieniu można spodziewać się straty pieniędzy. Czasami się wygrywa, czasami przegrywa, ale na dłuższą metę gracz skończy z mniejszą kwotą pieniędzy, niż zaczynał. Ważne jest zatem pytanie: jak dużej straty może oczekiwać? Kiedy obstawia się pojedynczą liczbę, prawdopodobieństwo wygranej wynosi \frac{1}{38}, ponieważ jest 38 możliwych wyników. Za każde 10 funtów postawione na jedną liczbę gracz może spodziewać się więc następującej wygranej:

(prawdopodobieństwo trafienia danej liczby) · (wygrana) + (prawdopodobieństwo nietrafienia danej liczby) · (wygrana)

czyli

\frac{1}{38} · 350 funtów + \frac{37}{38} · (–10 funtów) = –52,6 pensa

Znaczy to, że gracz traci 52,6 pensa na każde 10 postawionych funtów. Prawdopodobieństwo pozostałych zakładów w ruletce – obstawiania 2 lub więcej liczb, obstawiania linii, kolorów bądź kolumn – również daje wartość oczekiwaną w wysokości –52,6 pensa, wyjąwszy zakład „pięć numerów” polegający na obstawianiu 0, 00, 1, 2 lub 3, w którym szanse są jeszcze marniejsze, a oczekiwana strata wynosi 78,9 pensa.

Mimo kiepskich szans wygranej ruletka była – i nadal jest – bardzo lubianą rozrywką. Dla wielu ludzi 52,6 pensa stanowi godziwą cenę za dreszczyk związany z możliwością wygrania 350 funtów. W XIX wieku było już tyle kasyn, że w walce o klienta zaczęto produkować koło bez 00, dzięki czemu szanse na trafienie pojedynczej liczby wzrosły do \frac{1}{37} , a oczekiwana strata zmniejszyła się do 27 pensów przy dziesięciofuntowym zakładzie. W rezultacie gracz tracił pieniądze mniej więcej 2 razy wolniej. Kasyna europejskie mają zwykle koła z jednym 0, natomiast w amerykańskich, jak niegdyś, spotyka się najczęściej 0 i 00.

We wszystkich grach kasynowych zakłady mają ujemną wartość oczekiwaną – gracze powinni zatem spodziewać się, że stracą pieniądze. Gdyby było inaczej, kasyna by splajtowały. Zdarzają się jednak pomyłki. Pewne kasyno na statku w Illinois wprowadziło kiedyś promocję zmieniającą kwotę wygranej za pewien układ kart w blackjacku, nie zdając sobie sprawy, że dzięki temu oczekiwana wartość zakładu zmieniła się z ujemnej na dodatnią. Zamiast straty gracze mogli spodziewać się wygranej w wysokości 20 centów za każde postawione 10 dolarów. Podobno kasyno straciło 200 000 dolarów w ciągu 1 dnia.

Najlepszy interes w kasynie można zrobić przy stoliku do crapsa. Gra narodziła się z francuskiej odmiany angielskiej gry w kości. Rzuca się 2 kostkami, a wynik zależy od wyrzuconych liczb oraz ich sumy. W crapsie szanse wygranej wynoszą 244 do 495 możliwych wyników, czyli 49,2929 procent, a zatem oczekiwana strata wynosi zaledwie 14,1 pensa na 10 postawionych funtów.

O tej grze warto wspomnieć również z uwagi na możliwość postawienia interesującego zakładu bocznego, który można wnieść razem z kasynem – to znaczy przeciwko graczowi rzucającemu kostkami. Obstawiający zakład boczny wygrywa, kiedy główny obstawiający przegrywa, i na odwrót, gracz boczny przegrywa, kiedy główny gracz wygrywa. Ponieważ gracz główny przegrywa średnio 14,1 pensa na 10 postawionych funtów, gracz boczny może zarobić średnio 14,1 pensa na 10 postawionych funtów. Ale ten zgrabny wynik w zakładach bocznych uniemożliwia pewna dodatkowa zasada. Otóż jeśli gracz główny wyrzuci parę szóstek w pierwszym rzucie (co oznacza, że przegrywa), gracz boczny nie wygrywa, lecz dostaje jedynie zwrot pieniędzy. Wygląda to na bardzo nieznaczną zmianę. Szanse na wyrzucenie podwójnej szóstki wynoszą zaledwie 1 : 36. Ale mniejsze o  \frac{1}{36} prawdopodobieństwo wygranej obniża wartość oczekiwaną o 27,8 pensa na 10 postawionych funtów, co przenosi wartość oczekiwaną zakładu na stronę ujemną. Zamiast tak jak kasyno wygrać 14,1 pensa na 10 postawionych funtów, gracz boczny wygra 14,1 pensa minus 27,8 pensa na zakład, co wynosi –13,7 pensa, czyli jest stratą 13,7 pensa. Zakład boczny rzeczywiście stanowi lepszy interes, ale różnica jest minimalna: 0,4 pensa na 10 funtów.

Na stratę oczekiwaną można spojrzeć również w kategoriach współczynnika wypłat. Jeśli postawimy 10 funtów w crapsie, możemy spodziewać się, że otrzymamy około 9,86 funta z powrotem. Innymi słowy, gra craps ma współczynnik wypłat w wysokości 98,6 procent. Europejska ruletka ma współczynnik wypłat 97,3 procent, a amerykańska 94,7 procent. Może wydawać się to niekorzystne dla graczy, ale i tak jest lepsze niż w automatach do gier.

W 1893 roku gazeta „San Francisco Chronicle” informowała czytelników, że w mieście jest 1500 „maszyn na pięciocentówki, które przynoszą olbrzymie zyski. […] Przybywają jak grzyby po deszczu, pojawiły się w ciągu ledwie kilku miesięcy”. Było wiele rodzajów maszyn, ale dopiero na przełomie wieków, kiedy niemiecki imigrant Charles Fey wpadł na pomysł 3 obracających się rolek, narodził się współczesny automat do gier. Na rolkach jego automatu Liberty Bell widniały obrazki z podkową, gwiazdą, sercem, karo, pikiem oraz pękniętym Dzwonem Wolności (ang. Liberty Bell) z Filadelfii. Różnym kombinacjom symboli odpowiadały różne wypłaty, najwyższa stawka przypisana była 3 dzwonom. Z automatem łączył się dodatkowy element napięcia, jakiego nie miały maszyny konkurencji, ponieważ obracające się koła zatrzymywały się jedno po drugim. Pomysł został skopiowany przez inne firmy, które upowszechniły go poza San Francisco, i już w latach 30. automaty z 3 rolkami stały się częścią amerykańskiego krajobrazu społecznego. Jedna z pierwszych maszyn, aby obejść przepisy dotyczące gier hazardowych, wypłacała owocową gumę do żucia. W ten sposób pojawiły się klasyczne symbole arbuza oraz wiśni, i stąd też w Wielkiej Brytanii automaty do gier nazywane są fruit machines (owocówkami).

Automat Liberty Bell Charlesa Feya o wymiarach kasy sklepowej odniósł natychmiastowy sukces – pierwsze egzemplarze wyprodukowano pod koniec XIX wieku.

Współczynnik wypłat Liberty Bell wynosił przeciętnie 75 procent, ale dzisiaj automaty są bardziej szczodre niż kiedyś.

– Praktyczna zasada jest taka, że w przypadku [automatów] dolarowych [współczynnik wypłat] najczęściej ustawia się na 95 procent – powiedział Anthony Baerlocher, dyrektor do spraw projektowania gier w firmie International Game Technology (IGT), z której pochodzi 60 procent z mniej więcej miliona aktywnych automatów do gier na całym świecie, mając na myśli automaty, w których stawia się kwoty liczone w dolarach. – W przypadku pięciocentówek jest to około 90 procent, 92 procent w przypadku ćwierćdolarówek, a jeśli przyjmują centy, to współczynnik może spaść do 88 procent.

Technika komputerowa umożliwia automatom przyjmowanie zakładów w różnych nominałach, więc ta sama maszyna może mieć różne współczynniki wypłat w zależności od kwoty zakładu. Zapytałem Baerlochera, czy istnieje granica, poniżej której gracze przestają korzystać z automatu z powodu zbyt dużych przegranych.

– Jestem przekonany, że kiedy zaczynamy schodzić poniżej około 85 procent, niezwykle trudno zaprojektować grę, w którą się fajnie gra. Trzeba mieć naprawdę dużo szczęścia. Za mało jest po prostu pieniędzy do oddania graczowi, by gra była ekscytująca. Całkiem nieźle radzimy sobie przy 87,5 procent, 88 procentach. A kiedy wchodzimy na 95, 97 procent, gry potrafią być bardzo emocjonujące.

Z Baerlocherem spotkałem się w centrali IGT w Reno, 20 minut jazdy samochodem od kasyna Peppermill. Oprowadził mnie po linii produkcyjnej, gdzie każdego roku powstają dziesiątki tysięcy automatów do gier, oraz po magazynach, gdzie starannie ustawione w rzędy stały setki gotowych maszyn. Baerlocher był gładko ogolony i elegancki, miał krótkie ciemne włosy i dołeczek na podbródku. Pochodzi z Carson City oddalonego o pół godziny drogi samochodem, a w IGT zaczął pracować po studiach matematycznych na University of Notre Dame w Indianie. Dla kogoś, kto jako dziecko uwielbiał wymyślać gry, a na uczelni odkrył w sobie talent do prawdopodobieństwa, była to wprost wymarzona praca.

Kiedy pisałem, że podstawowym pojęciem w hazardzie jest wartość oczekiwana, nie wspomniałem o czymś, co matematycy nazywają prawem wielkich liczb. Jeśli zagrasz w ruletkę lub na automatach tylko parę razy, możesz wyjść na swoje. Im więcej jednak będziesz grać, tym większe prawdopodobieństwo, że stracisz. Na dłuższą metę współczynniki wypłat są, niestety, nieubłagane.

Prawo wielkich liczb mówi, że jeśli rzuci się monetą 3 razy, może w ogóle nie wypaść orzeł, ale jeśli rzuci się 3 miliardy razy, można być całkiem pewnym, że orzeł wypadnie z dużą dokładnością w połowie rzutów. Podczas drugiej wojny światowej matematyk John Kerrich wybrał się w odwiedziny do Danii, gdzie został aresztowany i internowany przez Niemców. Mając dużo wolnego czasu, postanowił przetestować prawo wielkich liczb i rzucił monetą 10 000 razy w więziennej celi. Wynik: 5067 orłów, czyli 50,67 procent ogólnej liczby rzutów. Około 1900 roku statystyk Karl Pearson zrobił to samo 24 000 razy. Przy znacznie większej liczbie prób należałoby się spodziewać się, że ów odsetek będzie bliższy 50 procentom – i był. Pearson wyrzucił 12 012 orłów, czyli 50,05 procent.

Wspomniane wyniki zdają się potwierdzać to, co uważamy za rzecz oczywistą – że w rzucie monetą uzyskanie orła jest równie prawdopodobne jak uzyskanie reszki. Ostatnio jednak zespół z Uniwersytetu Stanforda pod kierownictwem statystyka Persiego Diaconisa zbadał, czy wyrzucenie orła rzeczywiście jest równie prawdopodobne jak wyrzucenie reszki. Naukowcy zbudowali maszynę do rzucania monetą i fotografowali w zwolnionym tempie wirujące w powietrzu monety. Po żmudnej analizie, uwzględniającej szacunkowe wyliczenia, że w jednym na mniej więcej 6000 rzutów pięciocentówka ląduje na krawędzi, wydawało się, że eksperyment Diaconisa przyniósł fascynujący i zaskakujący wynik, że w około 51 procent przypadków moneta w rzeczywistości ląduje tą samą stroną, jaką została wyrzucona. Jeśli więc monetę rzucać się będzie orłem do góry, to orzeł będzie wypadać nieco częściej niż reszka. Diaconis doszedł jednak do wniosku, że jego badania dowiodły w istocie, jak trudno badać zjawiska losowe i że „w rzucie monetą klasyczne założenia niezależności przy prawdopodobieństwie \frac{1}{2} są dość solidne”.

Kasyna wielkimi liczbami stoją. Jak wyjaśnił Baerlocher:

– Zamiast jednego automatu [kasyna] chcą mieć ich tysiące, ponieważ wiedzą, że jeśli pójdą w ilość, to choćby jedna maszyna była, jak to mówimy, „do góry nogami”, czyli przegrywała, grupa jako całość z bardzo dużym prawdopodobieństwem zapewni im wynik dodatni.

Automaty IGT są tak zaprojektowane, by współczynnik wypłat był osiągany z półprocentowym marginesem błędu po 10 milionach gier. W Peppermill, gdzie zatrzymałem się podczas wizyty w Reno, na każdym automacie odbywa się około 2000 gier dziennie. Przy prawie 2000 urządzeń w kasynie daje to cztery miliony gier dziennie. Po 2,5 dnia kasyno Peppermill może być niemal pewne, że osiągnie swój współczynnik wypłat z dokładnością do 0,5 procent. Jeśli przeciętny zakład wynosi dolara, a współczynnik ustawiono na 95 procent, daje to 500 000 dolarów zysku plus minus 50 000 co 60 godzin. Nic dziwnego, że automaty cieszą się coraz większą przychylnością kasyn.

Zasady ruletki i gry w kości nie zmieniły się od momentu wynalezienia tych gier przed kilkuset laty. Natomiast urok pracy Baerlochera polega na tym, że wymyśla nowe zestawy prawdopodobieństw dla każdego nowego automatu, jaki IGT wprowadza na rynek. Najpierw decyduje, jakie symbole umieścić na rolkach. Tradycyjnie były to wiśnie, cyfra siedem i słowo „bar” na kolorowym pasku, ale dzisiaj równie dobrze mogą to być postacie z kreskówek, malarze renesansu lub zwierzęta. Potem ustala, jak często symbole te mają występować na rolce, jakie kombinacje skutkują wygraną i ile automat ma wypłacać za zwycięską kombinację.

Baerlocher rozrysował dla mnie prostą grę A pokazaną obok, w której są 3 rolki po 82 pozycje obejmujące wiśnie, paski z napisem „bar”, czerwone siódemki, paski z napisem „jackpot” (główna wygrana) i puste pola. Z tabeli wynika, że szanse trafienia wiśni na pierwszej rolce wynoszą \frac{9}{82}, czyli 10,976 procent, a kiedy to nastąpi, za 1 dolara otrzymuje się 4 dolary wypłaty. Prawdopodobieństwo zwycięskiej kombinacji pomnożone przez wypłatę nazywa się wkładem oczekiwanym. Wkład oczekiwany kombinacji wiśnia–coś–coś wynosi 4 · 10,967 = 43,902 procent. Innymi słowy, za każdego dolara włożonego do automatu wypłaca się 43,902 centa przy kombinacji wiśnia–coś–coś. Podczas projektowania gier Baerlocher musi zadbać, by suma wkładów oczekiwanych dla wszystkich wypłat równała się pożądanemu współczynnikowi wypłat całej maszyny.

Elastyczność w projektowaniu automatów polega na tym, że zmieniając symbole, zwycięskie kombinacje i wypłaty, można tworzyć bardzo różne gry. Gra A to „wisienkowy skapywacz” (ang. cherry dribbler) – automat, który wypłaca wygrane często, ale w małych kwotach. Ponad połowa wszystkich wypłacanych pieniędzy przypada na wygrane w wysokości zaledwie 4 dolarów. Natomiast w grze B tylko jedna trzecia wygranych to kwoty czterodolarowe, dzięki czemu zostaje o wiele więcej pieniędzy na wypłatę większych głównych wygranych. Gra A to gra o niskiej zmienności, gra B zaś cechuje się wysoką zmiennością – rzadziej trafia się zwycięską kombinację, ale rosną szanse na wielką wygraną. Im większa zmienność, tym większe ryzyko krótkoterminowe po stronie operatora automatu.

Niektórzy gracze wolą automaty o niskiej zmienności, inni z kolei preferują wysoką. Głównym zadaniem projektanta gry jest zadbanie o to, by automat wypłacał grającemu tylko tyle, by chciał on kontynuować grę – ponieważ im więcej ktoś gra, tym więcej przeciętnie przegra. Wysoka zmienność zapewnia więcej emocji, zwłaszcza w kasynie, gdzie rozbiciu banku towarzyszy efektowne i przejmujące widowisko typu światło i dźwięk. Zaprojektowanie dobrej gry nie jest jednak wyłącznie kwestią wyrafinowanej grafiki, żywych brzmień i wciągających opowieści wideo – obejmuje również precyzyjne ustalenie ukrytych prawdopodobieństw. Zapytałem Baerlochera, czy manipulując zmiennością, można zaprojektować urządzenie o niskich wypłatach, które byłoby dla graczy bardziej atrakcyjne od maszyny o wyższych wypłatach.

– Razem z kolegą przez ponad rok rozrysowywaliśmy elementy i zapisywaliśmy równania i udało się nam opracować metodę ukrywania prawdziwego współczynnika wypłat – powiedział. – Teraz dostajemy od kasyn informacje, że wprowadziły automaty o niższych wypłatach i że gracze rzeczywiście się nie orientują. To było wielkie wyzwanie.

Zapytałem, czy nie jest to trochę nieetyczne.

– To jest po prostu konieczne – odparł. – Chcemy, żeby gracze nadal mieli frajdę, ale musimy dbać o to, by nasi klienci zarabiali.

Tabele wypłat Baerlochera pomagają zrozumieć wewnętrzny organizm jednorękich bandytów, a przy okazji świetnie ilustrują mechanizm działania branży ubezpieczeniowej. Ubezpieczenie ma wiele wspólnego z grą na automatach. Jedno i drugie jest systemem opartym na teorii prawdopodobieństwa, w którym przegrane niemal wszystkich składają się na wygrane nielicznych. Jedno i drugie może też być niesamowicie dochodowym interesem dla tych, którzy kontrolują współczynniki wypłat.

Składka ubezpieczeniowa nie różni się w istocie od zakładu. Obstawiasz prawdopodobieństwo, że nastąpi włamanie do twojego domu. Jeśli dojdzie do włamania, otrzymujesz wypłatę, czyli odszkodowanie za skradzione rzeczy. Jeśli nie będzie włamania, to oczywiście nic nie dostajesz. Aktuariusz w firmie ubezpieczeniowej postępuje dokładnie tak samo jak Anthony Baerlocher w IGT. Wie, ile chce w sumie oddać z powrotem klientom. Zna prawdopodobieństwo każdego zdarzenia podlegającego rekompensacie (włamanie, pożar, poważna choroba), więc ustala, ile powinny wynosić wypłaty za poszczególne zdarzenia, by suma wkładów oczekiwanych równała się ogólnej kwocie wypłat. Sporządzanie tabel ubezpieczeniowych jest bez porównania bardziej skomplikowane niż tworzenie automatów do gier, ale zasada jest taka sama. Ponieważ firmy ubezpieczeniowe wypłacają mniej, niż otrzymują w składkach, ich współczynnik wypłat jest niższy niż 100 procent. Kupno polisy ubezpieczeniowej to zakład o ujemnej wartości oczekiwanej, czyli niekorzystny dla klienta.

Dlaczego więc ludzie korzystają z ubezpieczeń, skoro to taki kiepski interes? Różnica między ubezpieczeniem a hazardem polega na tym, że w kasynach stawiasz pieniądze, na przegranie których możesz (miejmy nadzieję) sobie pozwolić. Natomiast w przypadku ubezpieczenia chronisz to, na stratę czego nie możesz sobie pozwolić. Choć nieuchronnie stracisz niewielkie sumy pieniędzy (składka), zabezpiecza cię to przed stratą katastrofalnej kwoty (na przykład wartości wyposażenia domu). Ubezpieczenie stanowi dobrą cenę za spokój ducha.

Wynika z tego jednak, że ubezpieczenie na wypadek utraty kwoty niekatastrofalnej mija się z celem. Telefony komórkowe, dajmy na to, są stosunkowo tanie (powiedzmy 100 funtów), ale ubezpieczenie od ich utraty jest drogie (powiedzmy 7 funtów miesięcznie). Przeciętnie lepiej wyjdziemy, jeśli nie skorzystamy z możliwości ubezpieczenia, a w razie czego kupimy nowy aparat. W ten sposób „ubezpieczamy się” sami, zatrzymując dla siebie marżę zysku firmy ubezpieczeniowej.

Jedną z przyczyn rozwoju rynku automatów do gier w ostatnim czasie jest wprowadzenie automatów „progresywnych”, które mają niewiele wspólnego z postępową polityką społeczną, za to dużo z marzeniem o błyskawicznym wzbogaceniu się. Automaty progresywne mają wyższe wygrane główne niż inne urządzenia, ponieważ połączone są w sieć, w ramach której każdy automat wnosi pewien wkład do wspólnej nagrody głównej, której wartość progresywnie rośnie. W Peppermill zdumiały mnie rzędy połączonych automatów oferujących nagrody w wysokości dziesiątek tysięcy dolarów.

Automaty progresywne cechują się wysoką zmiennością, co oznacza, że na krótką metę kasyna mogą stracić znaczne sumy.

– Jeśli wprowadzamy grę z progresywną nagrodą główną, mniej więcej 1 na 20 [właścicieli kasyn] pisze do nas list, że nasza gra się zepsuła. Bo trafiły się 2 lub 3 nagrody główne w pierwszym tygodniu i automaty są do tyłu o 10 000 dolarów – wyjaśnił Baerlocher, uważając za paradoksalne, że ludziom, którzy próbują zarabiać na prawdopodobieństwie, trudno zrozumieć je na elementarnym poziomie. – Przeprowadzamy analizy i widzimy, że prawdopodobieństwo takiego zdarzenia wynosi, powiedzmy, 200 : 1. Zdarzyły się im [wyniki], które powinny zdarzyć się w zaledwie 0,5 procent przypadków, przecież komuś musi się to przytrafić. Mówimy im, przeczekajcie, to normalne.

Najpopularniejszy automat progresywny firmy IGT – Megabucks – łączy setki urządzeń na terenie Nevady. Kiedy 10 lat temu firma wprowadziła go na rynek, minimalna nagroda główna wynosiła milion dolarów. Początkowo kasyna nie chciały brać na siebie ryzyka wypłacania tak dużej kwoty, więc IGT ubezpieczyła całą sieć, pobierając procent od wszystkich swoich automatów, i sama wypłacała nagrody główne. Mimo wypłacenia setek milionów dolarów w wygranych IGT nigdy nie poniosła straty na Megabucks. Prawo wielkich liczb jest nadzwyczaj niezawodne: im większa skala przedsięwzięcia, tym większe powodzenie.

Dzisiaj nagroda główna w Megabucks zaczyna się od 10 milionów dolarów. Jeśli nikt jej nie wygra, nim sięgnie 20 milionów, w kasynach zaczynają się tworzyć kolejki przed automatami, a IGT otrzymuje prośby o dostarczenie większej liczby urządzeń.

– Ludzie myślą, że minął moment, w którym normalnie pada główna wygrana, więc musi paść za chwilę – wyjaśnił Baerlocher.

Takie rozumowanie jest jednak błędne. Każda gra rozgrywana na automacie jest zdarzeniem losowym. Prawdopodobieństwo wygranej jest takie samo, niezależnie czy nagroda główna wynosi 10, 20 czy nawet 100 milionów dolarów, ale intuicja silnie podpowiada, że po długim czasie posuchy prawdopodobieństwo wypłacenia pieniędzy przez automaty jest większe. Przekonanie, że nagroda główna ma właśnie paść, to złudzenie gracza – niezwykle silne ludzkie pragnienie, w które automaty do gier wpisują się ze szczególną zjadliwością, co sprawia, że są bodaj najbardziej uzależniającymi ze wszystkich gier w kasynach. Jeśli ktoś gra wiele gier jedna po drugiej, to całkiem naturalne, że po długiej serii przegranych pomyśli: „Następnym razem na pewno wygram”. Hazardziści często mówią o automacie, że jest „gorący” lub „zimny”, co ma znaczyć, że odpowiednio wypłaca dużo lub mało. To również jest niedorzeczne, ponieważ szanse zawsze są takie same. Można jednak zrozumieć, skąd bierze się skłonność do personifikowania urządzenia ludzkiego wzrostu z plastiku i metalu, często nazywanego jednorękim bandytą. Gra na automacie to intensywne i intymne przeżycie – jesteś bardzo blisko maszyny, dotykasz jej palcami i odcinasz się od reszty świata.

Ponieważ mózg człowieka kiepsko sobie radzi z rozumieniem losowości, rachunek prawdopodobieństwa to dział matematyki najbardziej najeżony paradoksami i niespodziankami. Instynktownie dopatrujemy się prawidłowości w różnych sytuacjach nawet wówczas, gdy wiemy, że jej tam nie ma. Osoba, która myśli, że po złej passie jest większe prawdopodobieństwo wygrania na automacie, może budzić w nas politowanie, ale psychologiczne złudzenie gracza występuje nie tylko wśród miłośników hazardu.

Oto przykład pewnej sztuczki towarzyskiej. Poproś 2 osoby i wyjaśnij, że jedna ma rzucić monetą 30 razy i zapisać kolejność orłów i reszek. Druga ma tylko wyobrażać sobie rzucanie monetą 30 razy i zapisać kolejność orłów i reszek, jaką sobie wyobraziła. Uczestnicy ustalają między sobą w tajemnicy, jakie kto wykona zadanie, a następnie pokazują ci 2 listy. Poprosiłem o to mamę i ojczyma i otrzymałem następujące listy:

Lista 1

O R R O R O R R R O O R O O R O O O O R O R R O R O R R O O

Lista 2

R R O O R R R R R O O R R R O R R O R O O O O R O O R O R O

W tej grze chodzi o to, że bardzo łatwo rozpoznać, która lista zawiera wyniki prawdziwych rzutów monetą, a która wyobrażonych. W powyższym wypadku było dla mnie jasne, że prawdziwa jest druga lista, i miałem rację. Najpierw przyjrzałem się najdłuższym seriom orłów i reszek. Na drugiej liście maksymalna seria składa się z 5 reszek. Na pierwszej najdłuższa seria obejmuje 4 orły. Prawdopodobieństwo serii 5 w 30 rzutach wynosi prawie \frac{2}{3}, więc jest o wiele bardziej prawdopodobne, że w 30 rzutach moneta upadnie tą samą stroną 5 razy z rzędu, niż że nie upadnie tak 5 razy. Druga lista była już dobrym kandydatem na rzucanie prawdziwą monetą. Poza tym wiedziałem, że większość ludzi nigdy nie poda serii 5 w 30 rzutach, ponieważ wydaje się to zbyt rozmyślne jak na zdarzenie losowe. Żeby się jednak upewnić, że druga lista przedstawia rzuty prawdziwą monetą, spojrzałem, jak często na obu listach występowała naprzemienność orłów i reszek. Ponieważ przy każdym rzucie monetą szanse na orła i reszkę są jednakowe, spodziewalibyśmy się, że po danym wyniku w połowie przypadków będzie następował inny wynik, a w połowie taki sam. Na drugiej liście wynik zmienia się 15 razy, na pierwszej – 19 razy. Świadczy to ingerencji człowieka, ponieważ wyobrażając sobie rzucanie monetą, generujemy wyniki naprzemienne zwykle o wiele częściej, niż ma to miejsce w prawdziwie losowym ciągu: powtórzenie paru orłów odruchowo rekompensujemy wynikiem w postaci reszki, choć prawdopodobieństwo wystąpienia orła ciągle jest takie samo. Tutaj właśnie pojawia się złudzenie gracza. Prawdziwa losowość nie pamięta tego, co zaszło wcześniej.

Symulowanie losowości jest dla ludzkiego mózgu niesamowicie trudne, o ile w ogóle możliwe. Kiedy mamy do czynienia z losowością, często interpretujemy ją jako nielosową. Na przykład funkcja miksowania w iPodzie odtwarza muzykę w porządku losowym. Ale kiedy firma Apple wprowadziła tę funkcję, klienci narzekali, że faworyzuje pewne zespoły, ponieważ często odtwarza utwory tego samego zespołu jeden po drugim. Słuchacze padli ofiarą złudzenia gracza. Jeśli iPod shuffle jest rzeczywiście losowy, to każdy wybór nowego utworu jest niezależny od poprzedniego. Jak pokazuje eksperyment z rzucaniem monetą, długie serie są wbrew intuicji normą. Jeśli utwory są wybierane losowo, to bardzo możliwe, a nawet całkiem prawdopodobne, że pojawiać się będą zbitki piosenek tego samego artysty. Prezes Apple’a Steve Jobs najzupełniej poważnie odpowiedział na głosy protestu: „Zmniejszamy losowość [funkcji miksowania], by sprawiała wrażenie bardziej losowej”.

Dlaczego złudzenie gracza jest tak silnym ludzkim pragnieniem? Chodzi o kontrolę. Lubimy mieć poczucie, że panujemy nad swoim otoczeniem. Jeśli zdarzenia następują w sposób losowy, czujemy, że nie mamy nad nimi kontroli. I na odwrót, jeśli rzeczywiście panujemy nad zdarzeniami, nie są one przypadkowe. Dlatego właśnie wolimy dostrzegać prawidłowości tam, gdzie ich nie ma. Próbujemy ocalić poczucie kontroli. Ludzka potrzeba posiadania kontroli jest głęboko zakorzenionym instynktem przetrwania. W latach 70. XX wieku w pewnym fascynującym (choć okrutnym) eksperymencie zbadano, jak ważne dla pensjonariuszy domu spokojnej starości jest poczucie kontroli. Niektórym pensjonariuszom pozwolono zdecydować, jak mają być urządzone ich pokoje, i wybrać roślinę, którą będą się opiekować. Innym zapowiedziano, jakie będą mieli pokoje, i za nich wybrano i pielęgnowano roślinę. Wyniki po 18 miesiącach były uderzające. Śmiertelność w grupie pensjonariuszy, którzy mieli kontrolę nad swoimi pokojami, wyniosła 15 procent, natomiast wśród tych, którzy nie mieli kontroli, wyniosła 30 procent. Poczucie kontroli może utrzymywać nas przy życiu.

Losowość nie jest regularna. Tworzy obszary puste i obszary nakładania się.

Kropki losowe. Kropki nielosowe.

Losowość może tłumaczyć, dlaczego pewne małe miejscowości mają wyższy niż normalnie odsetek wad wrodzonych, dlaczego na pewnych drogach występuje więcej wypadków i dlaczego w pewnych meczach koszykówki zawodnicy zdają się zdobywać punkty za każdym rzutem osobistym. Wyjaśnia również, dlaczego w 7 z ostatnich 10 finałów mistrzostw świata przynajmniej 2 graczy miało urodziny w tym samym dniu.

2006 Patrick Vieira, Zinedine Zidane (Francja) 23 czerwca

2002 brak

1998 Emmanuel Petit (Francja), Ronaldo (Brazylia) 22 września

1994 Franco Baresi (Włochy), Claudio Taffarel (Brazylia) 8 maja

1990 brak

1986 Sergio Batista (Argentyna), Andreas Brehme (RFN) 9 listopada

1982 brak

1978 Rene i Willy van de Kerkhof (Holandia) 16 września

Johnny Rep, Jan Jongbloed (Holandia) 25 listopada

1974 Johnny Rep, Jan Jongbloed (Holandia) 25 listopada

1970 Piazza (Brazylia), Pierluigi Cera (Włochy) 25 lutego

Choć na pierwszy rzut oka wygląda to na niezwykłą serię zbiegów okoliczności, w rzeczywistości lista ta nie jest zaskakująca dla matematyka, ponieważ tam, gdzie mamy losowo wybraną grupę 23 osób (a tyle liczą dwie drużyny piłkarskie plus sędzia), prawdopodobieństwo, że dwie osoby będą obchodziły urodziny w tym samym dniu, jest większe niż prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego. Zjawisko to nazywa się „paradoksem dnia urodzin”. Nie zawiera ono żadnej wewnętrznej sprzeczności, ale jest sprzeczne ze zdrowym rozsądkiem – 23 wydaje się absurdalnie małą liczbą.

Dowód w paradoksie dnia urodzin podobny jest do dowodów z początku rozdziału dotyczących wyrzucenia pewnych kombinacji kostek. Możemy nawet ująć ten paradoks jako twierdzenie, że w 23 rzutach kostką o 365 bokach z przeważającym prawdopodobieństwem kostka dwukrotnie spadnie na tę samą stronę.

Krok 1: Prawdopodobieństwo, że 2 osoby w danej grupie mają urodziny tego samego dnia, wynosi 1 minus prawdopodobieństwo, że nie ma osób, które by miały urodziny w tym samym dniu.

Krok 2: Prawdopodobieństwo, że 2 osoby nie mają urodzin w tym samym dniu, wynosi \frac{365}{365}\cdot\frac{364}{365}. A to dlatego, że pierwsza osoba może być urodzona w dowolnym dniu (365 możliwości z 365), a druga może być urodzona w dowolnym dniu, z wyjątkiem dnia, w którym urodziła się pierwsza (364 możliwości z 365). Dla wygody pominiemy dodatkowy dzień w roku przestępnym.

Krok 3: Prawdopodobieństwo, że w grupie trzyosobowej nikt nie ma urodzin w tym samym dniu wynosi \frac{365}{365}\cdot\frac{364}{365}\cdot\frac{363}{365}. Przy 4 osobach otrzymujemy \frac{365}{365}\cdot\frac{364}{365}\cdot\frac{363}{365}\cdot\frac{362}{365}, i tak dalej. W miarę mnożenia wynik staje się coraz mniejszy. Kiedy grupa składa się z 23 osób, w końcu maleje poniżej 0,5 (dokładna liczba wynosi 0,493).

Krok 4: Jeśli prawdopodobieństwo, że w danej grupie nikt nie ma urodzin w tym samym dniu, jest mniejsze niż 0,5, to prawdopodobieństwo, że 2 osoby mają urodziny tego samego dnia jest większe niż 0,5 (co wynika z kroku 1). Zatem z przeważającym prawdopodobieństwem w grupie 23 osób 2 osoby będą miały urodziny w tym samym dniu.

Mecze piłki nożnej stanowią idealną próbę losową do sprawdzenia, czy fakty odpowiadają teorii, ponieważ na boisku zawsze są 23 osoby. Jednak w analizie finałów mistrzostw świata paradoks dnia urodzin wypada nieco za dobrze. Prawdopodobieństwo, że w dwudziestotrzyosobowej grupie 2 osoby będą miały urodziny w tym samym dniu, wynosi 0,507, czyli minimalnie powyżej 50 procent. A tutaj przy 7 finałach na 10 (nawet wyłączając bliźniaków van de Kerkhof) otrzymaliśmy wskaźnik trafności 70 procent.

Częściowo wynika to z prawa wielkich liczb. Gdybym przeanalizował wszystkie mecze we wszystkich mistrzostwach świata, mógłbym z dużą pewnością oczekiwać, że wynik będzie bliższy 50,7 procent. Ale jest jeszcze inna zmienna. Czy urodziny piłkarzy są rozłożone równomiernie w całym roku? Zapewne nie. Badania pokazują, że piłkarze częściej przychodzą na świat w pewnych okresach roku – fory mają urodzeni tuż po dacie granicznej dla rocznika szkolnego, ponieważ są najstarsi i najwięksi wśród swoich kolegów z klasy i dlatego mają przewagę w sporcie. Jeśli w rozkładzie dat urodzin występuje pewne obciążenie, możemy spodziewać się większego prawdopodobieństwa wspólnych urodzin. A często występuje jakieś obciążenie. Na przykład spora część dzieci rodzi się obecnie przez cesarskie cięcie lub poród wywoływany. Zwykle zdarza się to w dni powszednie (ponieważ personel położniczy woli nie pracować w weekendy), dlatego porody nie są rozłożone tak losowo w ciągu całego roku. Jeśli weźmiemy próbę 23 osób urodzonych w okresie 12 miesięcy – powiedzmy dzieci z jednej klasy szkoły podstawowej – szanse, że dwoje uczniów będzie miało urodziny w tym samym dniu, będą znacznie większe niż 50,7 procent.

Jeśli nie masz pod ręką grupy 23 osób, by to sprawdzić, wystarczy przyjrzeć się najbliższej rodzinie. Przy 4 osobach prawdopodobieństwo, że 2 będą miały urodziny w tym samym miesiącu, wynosi 70 procent. Wystarczy 7 osób, by prawdopodobnie 2 z nich urodziły się w tym samym tygodniu, a wśród 14 osób z prawdopodobieństwem 50 procent znajdą się 2 osoby urodzone w odstępie 1 dnia. Wraz z wielkością grupy prawdopodobieństwo rośnie w zaskakującym tempie. W grupie 35 osób szanse na wspólne urodziny wynoszą 85 procent, a w grupie 60 przekraczają już 99 procent.

Oto inne pytanie dotyczące dni urodzin z odpowiedzią tak samo sprzeczną z intuicją jak paradoks dnia urodzin: ile osób musi liczyć grupa, by zachodziło ponadpięćdziesięcioprocentowe prawdopodobieństwo, że ktoś obchodzi urodziny w tym samym dniu co ty. Różnica polega na tym, że teraz określamy konkretną datę. W paradoksie dnia urodzin nie obchodziło nas, kto z kim dzieli urodziny, byleby były w jednym dniu. Nasze nowe pytanie można ująć następująco: jeśli mamy ustaloną datę, to ile razy musimy rzucić kostką o 365 bokach, aż wyląduje na tej dacie? Odpowiedź wynosi 253 razy! Innymi słowy, musisz zgromadzić grupę 253 osób, by mieć więcej niż 50 procent szans, że jedna z nich ma urodziny w tym samym dniu co ty. Liczba ta wydaje się absurdalnie wysoka – leży dużo dalej niż w połowie drogi między 1 a 365. Ale losowość znowu wprowadza tu swoje zbitki – grupa musi mieć taką wielkość, ponieważ urodziny jej członków nie wypadają w regularny sposób. Wiele spośród tych 253 osób będzie obchodzić urodziny razem, ale nie z tobą, i trzeba je uwzględnić.

Z paradoksu dnia urodzin wypływa nauka, że zbiegi okoliczności są częstsze, niż nam się wydaje. W niemieckim Lotto, tak jak w angielskiej National Lottery, każda kombinacja liczb ma szanse wylosowania jak 1 : 14 000 000. Mimo to w 1995 i 1986 roku padły identyczne kombinacje: 15-25-27-30-42-48. Czy był to niezwykły zbieg okoliczności? Nieszczególnie, ponieważ tak się zdarza. Między tymi 2 powtórzeniami kombinacji odbyło się 3016 losowań. Obliczenie, ile razy w loterii powinna paść ta sama kombinacja, jest równoważne z obliczeniem prawdopodobieństwa, że 2 spośród 3016 osób będą miały urodziny w tym samym dniu, jeśli możliwych jest 14 000 000 dat urodzin. Prawdopodobieństwo wynosi 0,28. Innymi słowy, było ponad 25 procent szans, że w tym okresie powtórzą się dwie identyczne zwycięskie kombinacje – więc ten „zbieg okoliczności” wcale nie był wyjątkowo dziwnym przypadkiem.

Niezrozumienie istoty zbiegów okoliczności doprowadziło do kilku pomyłek sądowych. W pewnej sprawie z 1964 roku w Kalifornii świadkowie rozboju zeznali, że widzieli blondynkę z końskim ogonem, czarnego mężczyznę z brodą i żółty samochód. Aresztowano i oskarżono pewną parę pasującą do tego opisu. Prokurator obliczył prawdopodobieństwo istnienia takiej pary, mnożąc prawdopodobieństwo wystąpienia każdego ze szczegółów: \frac{1}{10} dla żółtego samochodu, \frac{1}{3} dla blondynki i tak dalej. Prokurator obliczył, że prawdopodobieństwo istnienia takiej pary wynosi 1 : 12 000 000. Czyli na każde 12 milionów osób średnio tylko jedna para będzie dokładnie pasować do opisu. Prawdopodobieństwo, że aresztowana para jest winna, przekonywał oskarżyciel, było przytłaczające. Para została skazana.

Prokurator wykonał jednak niewłaściwe obliczenie. Oszacował szanse losowego wybrania pary odpowiadającej profilom podanym przez świadków. Tymczasem należało postawić pytanie o to, jakie są szanse, że aresztowana para pasująca do opisu jest winna? Prawdopodobieństwo wynosiło zaledwie około 40 procent. A zatem fakt, że aresztowana para odpowiadała opisowi, z większym prawdopodobieństwem był zbiegiem okoliczności. W 1968 roku Sąd Najwyższy stanu Kalifornia uchylił wyrok.

Wróćmy do świata hazardu. Pewna kobieta z New Jersey wygrała w loterii stanowej 2 razy w ciągu 4 miesięcy w latach 1985–1986. Szeroko informowano, że szanse takiego zdarzenia są jak 1:17 000 000 000 000. Ale choć tyle rzeczywiście wynosiły szanse na zgarnięcie nagrody głównej w obu loteriach przy zakupie po 1 kuponie w obu losowaniach, nie znaczyło to wcale, że szanse na to, że ktoś gdzieś wygra w 2 loteriach, są równie mało prawdopodobne. W istocie jest to dość prawdopodobne. Stephen Samuels i George McCabe z Purdue University obliczyli, że w okresie 7 lat szanse na dwukrotne wygranie na loterii w Stanach Zjednoczonych są większe niż 1 : 1. Nawet w okresie 4 miesięcy szanse na to, że gdzieś w kraju trafi się dwukrotny zwycięzca, są większe niż 1 : 30. Persi Diaconis i Frederick Mosteller nazywają to prawem bardzo wielkich liczb: „Przy dostatecznie dużej próbce może się zdarzyć każda szokująca rzecz”.

Patrząc od strony matematycznej, loterie są zdecydowanie najgorszym typem legalnych zakładów. Nawet najbardziej skąpe automaty do gier mają współczynnik wypłat około 85 procent. Dla porównania, w angielskiej National Lottery współczynnik wypłat wynosi jakieś 50 procent. Loterie nie stanowią żadnego ryzyka dla organizatorów, ponieważ pula nagród bierze się po prostu z wpływów. Czy raczej – jak w przypadku National Lottery – z połowy wpływów.

W rzadkich jednak przypadkach loterie mogą być najlepszym zakładem. Zdarza się tak, gdy w wyniku kumulacji puli wartość głównej wygranej przewyższy koszt zakupu losów ze wszystkimi możliwymi kombinacjami liczb. Obstawiając wówczas wszystkie wyniki, można być pewnym trafienia zwycięskiej kombinacji. Jedyne ryzyko jest tutaj takie, że zwycięską kombinację wytypują również inni – trzeba będzie podzielić się z nimi pierwszą nagrodą. Szkopuł w tym, że metoda zakupu wszystkich kombinacji stanowi ogromne wyzwanie zarówno pod względem teoretycznym, jak i logistycznym.

Angielski totolotek to loteria 6/49 – to znaczy, że na każdym kuponie gracz musi zaznaczyć 6 z 49 liczb. Możliwych kombinacji jest około 14 milionów. Jak sporządzić ich listę, by każdą kombinację wymienić dokładnie jeden raz, unikając powtórzeń? Na początku lat 60. XX wieku rumuński ekonomista Stefan Mandel zadał sobie to samo pytanie odnośnie do mniejszej rumuńskiej loterii. Odpowiedź nie jest prosta. Po kilku latach głowienia się Mandel rozgryzł problem i w 1964 roku wygrał loterię. (W rzeczywistości nie kupił wszystkich kombinacji, ponieważ kosztowałoby go to zbyt dużo. Zastosował metodę pomocniczą zwaną „kondensowaniem”, która gwarantuje, że przynajmniej 5 z 6 liczb będzie prawidłowych. Zwykle za trafienie piątki dostaje się drugą nagrodę, ale Mandel miał szczęście i wygrał pierwszą nagrodę za pierwszym razem). Algorytm, który napisał Mandel, by ustalić, jakie kombinacje kupić, zajmował 8000 kartek papieru kancelaryjnego. Wkrótce potem Mandel wyemigrował do Izraela, a stamtąd do Australii.

Podczas pobytu w Melbourne Mandel założył międzynarodową spółkę graczy i zgromadził dość pieniędzy od członków, by mieć możliwość zakupu wszystkich kombinacji liczb na loterii. Śledził loterie na całym świecie w poszukiwaniu skumulowanych nagród, które ponadtrzykrotnie przekraczały koszt zakupu każdej kombinacji. W 1992 roku namierzył loterię stanową w Wirginii – z 7 milionami kombinacji i losami za dolara – w której nagroda główna sięgała niemal 28 milionów. Mandel zabrał się do dzieła. Wydrukował losy w Australii, wypełnił je za pomocą komputera, żeby obstawić 7 milionów kombinacji, a następnie wysłał kupony do USA. Wygrał nagrodę główną oraz 135 000 nagród dodatkowych.

Loteria w Wirginii była największą nagrodą główną Mandela i trzynastą wygraną loterią od czasu jego wyjazdu z Rumunii. Amerykański urząd skarbowy, FBI i CIA wzięły pod lupę wygraną spółki na wirginijskiej loterii, ale nie dopatrzyły się żadnego wykroczenia. Nie ma nic nielegalnego w zakupie wszystkich kombinacji, choć wygląda to na przekręt. Mandel w końcu wycofał się z grania na loterii i obecnie mieszka na tropikalnej wyspie południowego Pacyfiku.

Niezwykle przydatne graficzne przedstawienie losowości wymyślił John Venn w 1888 roku. Venn jest bodaj najmniej spektakularnym matematykiem w dziejach, który stał się powszechnie znany. Ten profesor z Cambridge i anglikański duchowny drugą połowę swojego życia spędził głównie na opracowywaniu biograficznej księgi 136 000 absolwentów uniwersytetu sprzed 1900 roku. W swojej dziedzinie nie dokonał wielkich odkryć, niemniej jednak przedstawił zgrabny sposób wyjaśniania argumentów logicznych za pomocą przecinających się kół. Choć już wcześniej bardzo podobnego rozwiązania używali Leibniz i Euler, diagramy zostały nazwane nazwiskiem Venna. O wiele mniej znany jest fakt, że Venn wymyślił równie efektowny sposób na zilustrowanie losowości.

Wyobraź sobie kropkę na środku pustej kartki. Od kropki można pójść w 8 kierunkach: na północ, północny wschód, wschód, południowy wschód, południe, południowy zachód, zachód i północny zachód. Przypisz każdemu z kierunków cyfrę od 0 do 7. Wybierz losowo cyfrę od 0 do 7. Narysuj kreskę w kierunku oznaczonym przez tę cyfrę. Powtarzaj losowanie i rysowanie, aż utworzysz dłuższą ścieżkę. Venn wykorzystał w tym celu najbardziej nieprzewidywalną sekwencję cyfr, jaką znamy: rozwinięcie dziesiętne liczby pi (z pominięciem ósemek i dziewiątek i zaczynając od 1415). Rezultat, jak napisał, jest „bardzo trafnym graficznym przejawem losowości”.

Pierwsze w dziejach błądzenie losowe pojawiło się w trzecim wydaniu Logic of Chance Johna Venna (1888). Kierunek błądzenia (mój przypis) określają kolejne cyfry od 0 do 7 występujące w liczbie pi po przecinku.

Rysunek Venna uważa się za pierwszy w dziejach schemat „błądzenia losowego”. Często nazywa się go „spacerem pijaka”, ponieważ barwniej wyobrazić sobie, że pierwsza kropka jest słupem latarni, a wytyczona ścieżka to przypadkowe zataczanie się pijanego. Jedno z najbardziej oczywistych pytań, jakie się nasuwają, to: jak daleko od punktu wyjścia zabłąka się pijak, nim padnie? Im dłużej będzie szedł, tym dalej przeciętnie zajdzie. Okazuje się, że odległość wzrasta z pierwiastkiem kwadratowym czasu spaceru. Jeśli więc w ciągu godziny pijak oddali się średnio o 1 przecznicę od latarni, to pokonanie 2 przecznic zajmie mu średnio 4 godziny, a 3 przecznic – 9 godzin.

Kiedy pijak błądzi w sposób przypadkowy, czasami będzie chodził w kółko i powtarzał drogę. Jakie są szanse, że pijak w końcu dojdzie z powrotem do latarni? O dziwo, odpowiedź wynosi 100 procent. Może latami błąkać się w najbardziej odległych miejscach, ale na pewno – przy wystarczającej ilości czasu – w końcu wróci do bazy.

Wyobraźmy sobie spacer pijaka w 3 wymiarach. Nazwijmy to lotem odurzonej pszczoły. Pszczoła zaczyna w pewnym punkcie zawieszonym w przestrzeni i leci po prostej w przypadkowym kierunku na określoną odległość. Pszczoła zatrzymuje się, przysypia, a potem pruje w kolejnym przypadkowym kierunku na taką samą odległość. I tak dalej. Jakie są szanse, że pszczoła w końcu doleci do miejsca, od którego zaczęła? Odpowiedź wynosi jedynie 0,34, czyli około \frac{1}{3}. To, że w 2 wymiarach pijak miał stuprocentową pewność, iż dotrze z powrotem do latarni, było dziwne, ale jeszcze dziwniejsze wydaje się, że latająca bez końca pszczoła ma bardzo marne szanse na powrót do domu.

W bestsellerowej powieści Luke’a Rhineharta Kościarz tytułowy bohater podejmuje decyzje życiowe na podstawie rzutów kostką. Wyobraźmy sobie moneciarza, który podejmuje decyzje na podstawie rzutu monetą. Powiedzmy, że jeśli wypadnie orzeł, przesuwa się o krok w górę strony, a jeśli wypadnie reszka, przesuwa się o krok w dół strony. Ścieżka moneciarza to spacer pijaka w jednym wymiarze – moneciarz może poruszać się wyłącznie w górę i w dół 1 linii. Jeśli narysujemy spacer według drugiej listy 30 rzutów monetą ze strony 400, otrzymamy wykres pokazany na następnej stronie.

Spacer przypomina poszarpaną linię szczytów i dolin. Jeśli rzutów monetą jest coraz więcej, pojawia się pewien trend. Linia skacze w górę i w dół z coraz większymi wahnięciami. Moneciarz odchodzi coraz dalej w obu kierunkach od punktu wyjścia. Poniżej wykreśliłem trasy 6 moneciarzy, każdą na podstawie 100 rzutów monetą.

Jeśli wyobrazimy sobie, że w pewnej odległości w jednym kierunku od punktu wyjścia znajduje się przeszkoda, istnieje stuprocentowe prawdopodobieństwo, że moneciarz w końcu na nią trafi. Nieuchronność tej kolizji jest bardzo pouczająca, kiedy analizujemy wzorce hazardu.

Przyjmijmy, że losowe błądzenie moneciarza nie opisuje fizycznej podróży, lecz wartość jego konta bankowego. I niech rzut monetą będzie grą hazardową. Orzeł – moneciarz wygrywa 100 funtów, reszka – traci 100 funtów. Kwota na jego koncie bankowym będzie wznosiła się i opadała coraz większymi falami. Powiedzmy, że jedyną przeszkodą, która powstrzyma moneciarza od gry, jest brak środków na koncie. Wiemy, że z pewnością to nastąpi. Innymi słowy, nasz bohater zawsze zbankrutuje. Zjawisko to nosi sugestywną nazwę ruiny gracza.

Żaden rodzaj zakładu w kasynie nie jest oczywiście tak hojny jak rzut monetą (w którym współczynnik wypłat wynosi 100). Jeśli szanse przegrania są większe niż szanse wygrania, mapa losowego błądzenia podąża w dół, a nie wzdłuż poziomej osi. Innymi słowy, szybciej pojawi się widmo bankructwa.

Błądzenie losowe wyjaśnia, dlaczego hazard faworyzuje bardzo bogatych. Dojście do bankructwa zajmuje im więcej czasu, a poza tym mają większe szanse, że losowe błądzenie od czasu do czasu zabłąka się w górę. Ale sekret wygranej – zarówno dla bogatych, jak i dla biednych – to wiedzieć, kiedy przestać.

Matematyka błądzenia losowego nie jest wolna od zaskakujących paradoksów. Wróćmy do wykresów obok ilustrujących poruszanie się moneciarza w górę lub dół w zależności od wyników rzutu monetą. Można by się spodziewać, że wykres losowego błądzenia będzie regularnie przecinał poziomą oś. Moneta daje 50 : 50 szans na orła lub reszkę, więc oczekiwalibyśmy zapewne, że moneciarz spędzi jednakową ilość czasu po obu stronach punktu wyjścia. W rzeczywistości jest na odwrót. Jeśli rzuci monetą nieskończoną ilość razy, najbardziej prawdopodobną liczbą zmian strony jest 0. Drugą w kolejności prawdopodobieństwa liczbą jest 1, potem 2, potem 3 i tak dalej.

Nawet przy skończonej liczbie rzutów występują dość osobliwe efekty. William Feller obliczył, że moneciarz, rzucając monetę co sekundę przez rok, będzie miał szanse jak 1 : 20, że spędzi po jednej stronie wykresu ponad 364 dni i 10 godzin. „Niewielu ludzi uwierzy, że uczciwa moneta może dać niedorzeczny ciąg, w którym zmiana [strony] nie nastąpi w ciągu milionów kolejnych doświadczeń, niemniej jest to zjawisko, które jest raczej powszechne dla dobrych monet”³ napisał we Wstępie do rachunku prawdopodobieństwa. „Tak więc, jeżeli współczesny psycholog miałby opiniować historię długich serii gier rzutów monetą, zaklasyfikowałby on większość monet jako fałszywe”⁴.

Cudownie sprzeczne z intuicją cechy losowości fascynują uczciwych matematyków, a jednocześnie wodzą na pokuszenie niegodziwych. Kogoś, kto nie zna podstaw prawdopodobieństwa, łatwo okantować. Jeśli na przykład jakaś firma będzie namawiać cię do skorzystania z usługi przewidywania płci twojego dziecka, wiedz, że właśnie padasz ofiarą przekrętu. Załóżmy, że zakładam firmę o nazwie BabyPredictor, która ogłasza naukowy wzór na przewidywanie, czy dziecko będzie chłopcem, czy dziewczynką. BabyPredictor pobiera od matek określoną opłatę za prognozę. Mając ogromne zaufanie do swego wzoru, a także dzięki filantropijnej hojności swojego prezesa, czyli mnie, firma oferuje całkowity zwrot pieniędzy, jeśli przewidywanie okaże się nietrafne. Zakup prognozy wygląda na dobry interes – albo BabyPredictor będzie mieć rację, albo się pomyli, a wtedy można dostać pieniądze z powrotem. Ale sekretny wzór BabyPredictor to tak naprawdę rzucanie monetą. Jeśli wypadnie orzeł, mówię, że dziecko będzie chłopcem, reszka – będzie dziewczynka. Prawdopodobieństwo mówi mi, że będę miał rację w około połowie przypadków, ponieważ proporcja chłopców do dziewczynek wynosi około 50 : 50. Rzecz jasna w połowie przypadków oddam pieniądze, ale nic nie szkodzi – ponieważ w drugiej połowie przypadków zatrzymam je.

Przekręt działa, ponieważ matka nie patrzy z szerszej perspektywy. Postrzega siebie jako jednoosobową próbę losową, a nie część większej całości. Firmy przewidujące płeć ciągle mają się dobrze. Co minuta rodzą się nowe dzieci, a i frajerów nie ubywa.

W bardziej rozbudowanej wersji przekrętu, skierowanej nie do ciężarnych kobiet, a do chciwych mężczyzn, firma, którą nazwiemy StockPredictor, zakłada stronę internetową. Wysyła 32 000 e-maili do inwestorów z listy mailingowej z informacją o nowej usłudze, która na podstawie niezwykle skomplikowanego modelu komputerowego potrafi przewidzieć, czy dany indeks giełdowy wzrośnie czy spadnie. Połowa e-maili przewiduje wzrost w następnym tygodniu, a druga połowa spadek. Niezależnie od tego, co faktycznie stanie się z indeksem, 16 000 inwestorów otrzyma e-mail z trafną prognozą. StockPredictor wysyła więc na te 16 000 adresów kolejny e-mail z prognozą na następny tydzień. Prognoza ponownie sprawdzi się w 8000 przypadków. Jeśli StockPredictor będzie kontynuować przewidywanie przez kolejne 4 tygodnie, na koniec zostanie 1000 adresatów e-maili, którzy otrzymali 6 trafnych prognoz z rzędu. Wtedy StockPredictor informuje ich, że jeśli chcą otrzymywać dalsze prognozy, muszą zapłacić pewną kwotę – dlaczego mieliby tego nie zrobić, skoro do tej pory przewidywania były bardzo dobre?

Przekręt z prognozami giełdowymi można dostosować do przewidywania wyników wyścigów konnych, meczów piłkarskich, a nawet pogody. Przy uwzględnieniu wszystkich wyników zawsze znajdzie się przynajmniej 1 osoba, która otrzyma trafną prognozę wszystkich meczów, wyścigów czy słonecznych dni. Osoba ta może pomyśleć: „No! no! Szanse, że taka kombinacja się sprawdzi, są jak jeden do miliona”, ale jeśli wyśle się milion e-maili uwzględniających wszystkie możliwości, wówczas ktoś gdzieś musi otrzymać trafny.

Kantowanie jest niemoralne i często nielegalne. Ale próby uzyskania przewagi nad kasynem często uważa się za słuszną sprawę. Okazja pokonania prawdopodobieństwa działa na matematyków jak płachta na byka – jest cała zaszczytna galeria postaci, którym się to udało.

Pierwsza metoda ataku polega na uświadomieniu sobie, że świat nie jest doskonały. Joseph Jagger był mechanikiem z fabryki bawełniarskiej w Lancashire, który wiedział wystarczająco dużo o wiktoriańskim przemyśle maszynowym, by zdawać sobie sprawę, że ruletki mogą nie obracać się idealnie równo. Miał przeczucie, że jeśli koło nie jest perfekcyjnie wyosiowane, to może faworyzować pewne liczby kosztem innych. W 1873 roku w wieku 43 lat wybrał się do Monte Carlo, żeby sprawdzić swoją teorię. Jagger zatrudnił 6 pomocników, każdemu przydzielił 1 z 6 stolików w kasynie i poinstruował, by zapisywali wszystkie liczby, jakie pojawią się w ciągu tygodnia. Po analizie danych zauważył, że jedna z ruletek faktycznie była tendencyjna – 9 liczb pojawiało się częściej niż inne. Różnica była na tyle niewielka, że przewaga tych liczb widoczna była dopiero po analizie setek partii.

Jagger zaczął grać i w ciągu 1 dnia wygrał równowartość 70 000 dolarów. Szefowie kasyna zauważyli jednak, że grał tylko przy jednym stole. Aby odeprzeć atak Jaggera, poprzestawiali ruletki. Jagger zaczął przegrywać, aż w końcu zorientował się, co zrobiło kierownictwo. Przeniósł się do tendencyjnego stołu, który rozpoznał po charakterystycznej rysie. Znowu zaczął wygrywać i poddał się dopiero wtedy, gdy kasyno zareagowało po raz drugi, przekręcając przegródki wokół koła po całodziennej sesji, by faworyzowane były nowe liczby. Do tego czasu Jagger zdążył zgromadzić 325 000 dolarów – w przeliczeniu na dzisiejsze pieniądze został multimilionerem. Wrócił do domu, rzucił pracę w fabryce i zainwestował w nieruchomości. W 1949 i 1950 roku metodę Jaggera powtórzyli w Nevadzie dwaj studenci nauk ścisłych Al Hibbs i Roy Walford. Zaczęli od pożyczonych 200 dolarów i zarobili 42 000 dolarów, za które kupili dwunastometrowy jacht i wybrali się w półtoraroczny rejs po Karaibach, by w końcu wrócić na studia. Dzisiaj kasyna zmieniają ruletki o wiele bardziej regularnie niż kiedyś.

Drugi sposób przeważenia szali prawdopodobieństwa na swoją korzyść wymaga zastanowienia się nad tym, czym w ogóle jest losowość. Zdarzenia losowe w kontekście jednego zestawu informacji mogą równie dobrze stać się nielosowe przy większym zestawie informacji. Problem matematyczny zmienia się w ten sposób w problem fizyczny. Rzut monetą jest losowy, ponieważ nie wiemy, na którą stronę upadnie, ale rzucane monety stosują się do newtonowskich praw ruchu. Gdybyśmy znali dokładnie prędkość i kąt rzutu, gęstość powietrza i wszelkie inne istotne dane fizyczne, bylibyśmy w stanie obliczyć dokładnie, na której stronie wyląduje. W połowie lat 50. XX wieku młody matematyk Ed Thorp zaczął zastanawiać się, jaki zestaw informacji byłby potrzebny, by przewidzieć, gdzie wyląduje kulka w ruletce.

Thorpowi w tym przedsięwzięciu pomagał Claude Shannon, kolega z Instytutu Technologicznego Massachusetts (MIT). Nie mógłby wymarzyć sobie lepszego współkonspiratora. Shannon był pomysłowym wynalazcą z garażem pełnym elektronicznych i mechanicznych gadżetów. Był również jednym z najważniejszych matematyków na świecie, twórcą przełomowej teorii informacji, która doprowadziła do powstania komputera. Panowie nabyli ruletkę i prowadzili eksperymenty w piwnicy Shannona. Odkryli, że na podstawie prędkości kulki podczas krążenia po nieruchomej obręczy zewnętrznej oraz prędkości wewnętrznego koła (obracającego się w kierunku przeciwnym do ruchu kulki) mogą całkiem dobrze oszacować, w którym segmencie koła wyląduje kulka. Ponieważ kasyna pozwalały graczom na stawianie zakładów po rzuceniu kulki, Thorp musiał jedynie wymyślić sposób pomiaru owych prędkości i przeliczenia ich w ciągu kilku sekund, nim krupier zakończy obstawianie.

I tym razem hazard przyczynił się do rozwoju nauki. Aby przewidzieć partie ruletki, matematycy skonstruowali pierwszy na świecie komputer nadający się do noszenia przy sobie. Urządzenie mieściło się w kieszeni, miało przewód prowadzący do buta, w którym znajdował się przełącznik, oraz drugi przewód prowadzący do słuchawki wielkości ziarnka grochu. Przełącznik należało dotknąć w 4 momentach – kiedy punkt na kole minął punkt odniesienia, kiedy wykonał pełny obrót, kiedy kulka minęła ten sam punkt oraz kiedy kulka ponownie wykonała pełny obrót. Informacje te wystarczały do oszacowania prędkości koła oraz kulki.

Thorp i Shannon podzielili koło na 8 segmentów po 5 numerów (niektóre nachodziły na siebie, ponieważ przegródek jest 38). Kieszonkowy komputer odtwarzał skalę 8 nut – oktawę – przez słuchawki i nuta, na której się zatrzymywał, wskazywała segment przewidywanego lądowania kulki. Komputer nie mógł określić z całkowitą pewnością, w którym segmencie wyląduje kulka, ale nie musiał tego robić. Thorpowi i Shannonowi zależało jedynie na tym, by przewidywanie było lepsze od przypadkowego zgadywania. Po usłyszeniu nut osoba nosząca komputer kładła żetony na wszystkich 5 liczbach z danego segmentu (które, choć położone obok siebie na kole, nie sąsiadowały ze sobą na suknie). Metoda okazała się zaskakująco trafna – panowie oszacowali, że przy zakładach na pojedyncze liczby mogą oczekiwać wygrania 4,40 dolara za każde postawione 10 dolarów.

Kiedy Thorp i Shannon pojechali do Las Vegas na grę próbną, komputer działał, choć niepewnie. Mężczyźni nie chcieli zwracać na siebie uwagi, lecz słuchawka często wypadała z ucha, a przewody były tak delikatne, że ciągle się rwały. System jednak działał i udało im się zmienić garść drobniaków na kilka garści. Thorp zadowolił się pokonaniem ruletki w teorii, jeśli nie w praktyce, zwłaszcza że jego atak na inną grę hazardową zakończył się o wiele bardziej spektakularnym sukcesem.

Blackjack, czyli dwadzieścia jeden, to gra karciana, w której celem jest uzyskanie sumy jak najbliższej górnej granicy 21 punktów. Krupier rozdaje również karty dla siebie. Aby wygrać, trzeba mieć więcej punktów niż on, nie przekraczając jednocześnie 21.

Jak wszystkie klasyczne gry hazardowe, blackjack daje niewielką przewagę kasynu. Grając w blackjacka, na dłuższą metę straci się pieniądze. W 1956 roku w mało znanym czasopiśmie statystycznym ukazał się artykuł, którego autor twierdził, że opracował strategię gry dającą kasynu jedynie 0,62 procent przewagi. Po lekturze artykułu Thorp opanował strategię i przetestował ją podczas wakacyjnej wycieczki do Vegas. Odkrył, że tracił pieniądze dużo wolniej niż inni gracze. Postanowił więc, że przemyśli gruntownie sprawę blackjacka – decyzja ta miała zmienić jego życie.

Ed Thorp dzisiaj ma 75 lat, ale podejrzewam, że nie różni się tak bardzo od tego, jak wyglądał pół wieku temu. Szczupły, z długą szyją i wyrazistymi rysami, ma schludną fryzurę chłopaka z college’u, bezpretensjonalne okulary i spokojną, wyprostowaną posturę. Po powrocie z Vegas Thorp ponownie przeczytał artykuł z czasopisma.

– Zrozumiałem od razu, w ciągu kilku minut, w jaki sposób niemal na pewno można pokonać tę grę, śledząc rozdawane karty – wspominał.

Blackjack różni się na przykład od ruletki, ponieważ szanse zmieniają się po rozdaniu karty. W ruletce za każdym razem, kiedy zakręci się kołem, szanse uzyskania siódemki są jak 1 : 38. W blackjacku prawdopodobieństwo, że pierwszą rozdaną kartą będzie as, wynosi \frac{1}{13}. Jeśli jednak pierwsza rozdana karta jest asem, to prawdopodobieństwo, że druga karta będzie asem, nie wynosi już \frac{1}{13}, lecz \frac{3}{51}, ponieważ w talii znajduje się obecnie 51 kart, wśród których zostały tylko 3 asy. Thorp pomyślał, że musi istnieć system, który odwraca szanse na korzyść gracza. Trzeba było tylko go znaleźć.

W talii 52 kart jest 52 · 51 · 50 · 49 · … · 3 · 2 · 1 sposobów ułożenia kolejności kart. Liczba ta wynosi około 8 · 10⁶⁷, czyli 8 z 67 zerami. Jest ona tak duża, że jest niezwykle mało prawdopodobne, by na przestrzeni dziejów jakieś 2 losowo potasowane talie miały taką samą kolejność – nawet gdyby ludzkość całego świata zaczęła grać w karty już w chwili Wielkiego Wybuchu. Thorp uznał, że możliwych permutacji jest zbyt wiele, by mózg człowieka był w stanie w jakikolwiek sposób nauczyć się ich na pamięć. Postanowił więc zbadać, jak zmienia się przewaga kasyna w zależności od tego, jakie karty zostały już rozdane. Za pomocą wczesnego modelu komputera odkrył, że śledząc piątki każdego koloru – piątkę kier, pik, karo i trefl – gracz może ocenić, czy karty są korzystne. W systemie Thorpa blackjack stał się grą do pokonania, z oczekiwanym zyskiem sięgającym nawet pięciu procent w zależności od kart pozostałych w talii. Thorp wynalazł „liczenie kart”.

Opisał swoją teorię i wysłał ją do American Mathematical Society (AMS).

– Kiedy przyszło streszczenie, wszyscy uznali to za absurdalne – wspomina. – W środowisku naukowym święcie wierzono, że nie da się pokonać żadnej z głównych gier hazardowych, i było to dość mocno poparte paroma setkami lat badań i analiz.

Dowody wykazujące, że w grach kasynowych można odwrócić szansę na swoją korzyść, są niczym dowody na rozwiązanie kwadratury koła – niezbicie świadczą o braku piątej klepki. Na szczęście wśród członków komitetu naukowego AMS był dawny kolega szkolny Thorpa i streszczenie zostało przyjęte.

W styczniu 1961 roku Thorp zaprezentował swój referat na zimowej konferencji AMS w Waszyngtonie. Pisały o nim media w całym kraju, trafił nawet na pierwszą stronę lokalnej gazety „Boston Globe”. Thorp otrzymał setki listów i telefonów z propozycjami sfinansowania wydatków na hazard i podzielenia się zyskami. Spółka graczy z Nowego Jorku zaproponowała 100 000 dolarów. Zadzwonił pod numer podany w liście i miesiąc później pod jego dom podjechał cadillac. Wysiadł z niego niepokaźny starszy pan w towarzystwie dwóch atrakcyjnych blondynek odzianych w futra z norek.

Człowiekiem tym był Manny Kimmel, nowojorski gangster ze smykałką do matematyki i nałogowy hazardzista grający o wysokie stawki w jednej osobie. Kimmel opanował samodzielnie rachunek prawdopodobieństwa na tyle, by znać paradoks dnia urodzin – uwielbiał się zakładać, czy 2 osoby w jakieś grupie obchodzą urodziny w tym samym dniu. Kimmel przedstawił się jako właściciel 64 parkingów w Nowym Jorku, co było prawdą. Dziewczęta przedstawił zaś jako bratanice, co raczej nie było zgodne z prawdą. Zapytałem Thorpa, czy podejrzewał Kimmela o powiązania z mafią.

– Wówczas nie byłem zbyt dobrze zorientowany w świecie hazardu. Prawdę mówiąc, nie miałem żadnej wiedzy na ten temat, poza teoretyczną, zresztą nie badałem świata przestępczego. Przedstawił się jako bogaty biznesmen i jak najbardziej na takiego wyglądał.

Kimmel zaprosił Thorpa do swojego luksusowego apartamentu na Manhattanie, by pograć w blackjacka w następnym tygodniu. Po kilku sesjach Kimmel przekonał się, że liczenie kart działa. Obaj panowie polecieli do Reno spróbować szczęścia. Zaczęli z 10 000 dolarów, a na koniec wycieczki powiększyli pulę do 21 000.

W grach kasynowych 2 czynniki determinują, ile pieniędzy wygra się lub przegra. Strategia grania dotyczy tego, jak wygrać grę. Strategia obstawiania dotyczy zarządzania pieniędzmi – ile i kiedy stawiać. Czy warto postawić wszystko na 1 zakład? A może lepiej podzielić pieniądze na jak najmniejsze stawki? Strategie mogą mieć zaskakująco duży wpływ na oczekiwaną wielkość zarobku.

Najbardziej znaną strategią obstawiania jest martyngał, czyli podwajanie, który cieszył się popularnością wśród francuskich hazardzistów w XVIII wieku. Zasadą jest podwajanie stawki w przypadku przegranej. Powiedzmy, że obstawiasz rzut monetą. Jeśli wypadnie orzeł, wygrywasz 1 dolara, jeśli reszka, przegrywasz dolara. Za pierwszym razem wypada reszka. Przegrywasz dolara. W następnym zakładzie musisz postawić 2 dolary. Wygrana w drugim rzucie to 2 dolary, co rekompensuje stratę dolara w pierwszym zakładzie i daje dolara zysku. Załóżmy, że przegrywasz w pierwszych pięciu rzutach.

Tracisz postawiony 1 dolar, więc następnym razem stawiasz 2 dolary

Tracisz postawione 2 dolary, więc następnym razem stawiasz 4 dolary

Tracisz postawione 4 dolary, więc następnym razem stawiasz 8 dolarów

Tracisz postawione 8 dolarów, więc następnym razem stawiasz 16 dolarów

Tracisz postawione 16 dolarów

Jesteś 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 dolarów do tyłu, więc za szóstym razem musisz postawić 32 dolary. Jeśli wygrasz, zrekompensujesz dotychczasowe straty i wyjdziesz na plus. Ale mimo zaryzykowania tylu pieniędzy jesteś do przodu tylko o 1 dolara, czyli tyle, ile wynosiła pierwsza stawka.

Martyngał niewątpliwie jest atrakcyjny. W grze, w której szanse wynoszą prawie 50 : 50 – na przykład przy obstawianiu czerwonego koloru w ruletce prawdopodobieństwo wynosi 47 procent – z dużym prawdopodobieństwem wygrasz spory odsetek partii, a zatem masz dobre widoki wyjścia na plus. System ten nie jest jednak niezawodny. Po pierwsze, wygrywa się jedynie w małych przyrostach. Poza tym wiemy, że w serii 30 rzutów monetą z przeważającym prawdopodobieństwem wystąpi ciąg 5 orłów lub 5 reszek z rzędu. Jeśli zaczniemy od stawki w wysokości 40 dolarów i trafi się nam ciąg 5 przegranych partii z rzędu, to będziemy musieli postawić 1280 dolarów. Ale na przykład w kasynie Peppermill nie jest to możliwe – maksymalny zakład to 1000 dolarów. Kasyna ustalają maksymalne zakłady między innymi właśnie po to, by powstrzymać takie systemy, jak martyngał. Wykładniczy wzrost stawek w martyngale przy serii przegranych często przyśpiesza bankructwo, zamiast przed nim chronić. Przekonał się o tym na własnej skórze najsłynniejszy zwolennik tego systemu, osiemnastowieczny wenecki playboy Giacomo Casanova. „Dalej grałem metodą martyngału – powiedział kiedyś – ale miałem takiego pecha, że szybko zostałem bez jednego cekina przy duszy”.

Niemniej jednak gdybyśmy przy stole do ruletki w Peppermill grali na kolor czerwony metodą martyngału z początkowym zakładem 10 dolarów, musielibyśmy mieć wyjątkowego pecha, by nie wygrać w końcu tych 10 dolarów. System załamie się tylko wtedy, gdy przegramy 6 razy z rzędu, a prawdopodobieństwo takiego zdarzenia wynosi zaledwie 1 : 47. Po wygranej należałoby jednak wymienić żetony na pieniądze i wyjść. Dalsza gra coraz bardziej zwiększa prawdopodobieństwo pojawienia się pechowej serii.

Zastanówmy się nad innym systemem zakładów. Wyobraź sobie, że wręczono ci w kasynie 20 000 dolarów z przeznaczeniem na obstawianie czerwonego koloru w ruletce. Jaka jest najlepsza strategia podwojenia tych pieniędzy? Postawić odważnie wszystko za jednym razem czy ostrożnie obstawiać najmniejsze dopuszczalne zakłady w wysokości dolara? Choć na pierwszy rzut oka może wydawać się to lekkomyślne, szanse powodzenia są o wiele większe, jeśli postawi się całą kwotę na raz. Z punktu widzenia matematyki odważna gra jest optymalna. Jeśli się nad tym zastanowić, ma to sens: prawo wielkich liczb mówi, że na dłuższą metę przegrasz. Aby mieć największe szanse, musisz skrócić serię do minimum.

Tak właśnie zrobił w 2004 roku trzydziestodwuletni Ashley Revell z Kentu. Sprzedał cały swój majątek, łącznie z ubraniami, i całą kwotę – 135 300 dolarów – dolarów postawił w Las Vegas na czerwone. Gdyby przegrał, zostałby przynajmniej podrzędnym celebrytą telewizyjnym, ponieważ zakład filmowano na potrzeby telewizyjnego reality show. Kulka wylądowała jednak na czerwonej siódemce i śmiałek wrócił do domu z 270 600 dolarami.

Przy blackjacku Ed Thorp stanął wobec innego problemu. Dzięki swemu systemowi mógł w określonych momentach w trakcie gry stwierdzić, czy ma przewagę nad krupierem. Thorp zadał sobie pytanie: jaka jest najlepsza strategia obstawiania, kiedy szanse są po naszej stronie?

Wyobraź sobie zakład, w którym szanse wygranej wynoszą 55 procent, a szanse przegranej 45 procent. Dla uproszczenia przyjmijmy, że kurs wygranej wynosi 1 : 1 i gramy w grę 500 razy. Przewaga wynosi 10 procent. Na dłuższą metę nasze wygrane będą przynosić przeciętnie 10 dolarów zysku z każdych postawionych 100 dolarów. Aby zmaksymalizować zysk całkowity, musimy oczywiście zmaksymalizować łączną kwotę zakładów. Nie jest takie oczywiste, jak to zrobić, bo maksymalizacja bogactwa wymaga minimalizacji ryzyka przegrania wszystkiego. Oto jak wypadają 4 strategie obstawiania:

Strategia 1: Postaw wszystko. Tak jak Ashley Revell postaw wszystkie fundusze na pierwszy zakład. Jeśli wygrasz, podwoisz pieniądze. Jeśli przegrasz, jesteś bankrutem. Jeśli wygrasz, w następnym zakładzie ponownie postaw wszystko. Jedynym sposobem uniknięcia straty wszystkiego jest wygranie wszystkich 500 partii. Szanse, że tak się stanie, jeśli prawdopodobieństwo wygrania jednej partii wynosi 0,55, są jak 1 : 10¹³⁰. Innymi słowy, jest niemal pewne, że w trakcie 500 partii zbankrutujesz. Nie jest to oczywiście dobra strategia długofalowa.

Strategia 2: Stała stawka. Stawiaj stałą kwotę w każdym zakładzie. Jeśli wygrasz, twoje konto powiększy się o tę kwotę. Jeśli przegrasz, konto skurczy się o tę kwotę. Ponieważ częściej wygrywasz niż przegrywasz, w sumie konto będzie rosnąć, ale tylko małymi kroczkami o tę samą stałą kwotę.

Strategia 3: Martyngał. Zapewnia szybsze tempo niż stała stawka, ponieważ straty rekompensowane są przez podwajanie po przegranych, ale pociąga za sobą o wiele większe ryzyko. Już po kilku przegranych zakładach możesz zostać bankrutem. To również nie jest dobra strategia długofalowa.

Strategia 4: Obstawianie proporcjonalne. W tym wypadku stawia się niewielką część funduszy w zależności od posiadanej przewagi. Istnieje kilka odmian zakładów proporcjonalnych – ale systemem, w którym pieniądze przyrastają najszybciej, jest strategia Kelly’ego. Zgodnie z tą strategią należy postawić ułamek funduszy określony wzorem \frac{\textup{przewaga}}{\textup{koszt wygranej}}. W tym wypadku przewaga wynosi 10 procent, a kurs wygranej 1 : 1, czyli \frac{\textup{przewaga}}{\textup{koszt wygranej}} = 10 procent. W każdym zakładzie stawiaj więc 10 procent funduszy. Jeśli wygrasz, fundusze wzrosną o 10 procent, więc następna stawka będzie wyższa o 10 procent od pierwszej. Jeśli przegrasz, fundusze zmniejszą się o 10 procent, więc za drugim razem stawka będzie niższa o 10 procent od pierwszej.

Jest to bardzo bezpieczna strategia, ponieważ w razie złej passy bezwzględna wartość stawki maleje – co oznacza ograniczenie strat. Potencjalnie zapewnia również szanse wygrania wielkich pieniędzy, ponieważ – na zasadzie procentu składanego – przy dobrej passie kwota na koncie gracza rośnie wykładniczo. Można w ten sposób upiec dwie pieczenie przy jednym ogniu: połączyć niskie ryzyko z wysokim zyskiem. Spójrz tylko, jak się spisuje: startuje powoli, by po około 400 zakładach w końcu pozostawić inne w tyle.

Symulacja 500 zakładów, w których szanse wygranej wynoszą zawsze 55 procent, z początkową stawką 1 dolara. Pierwszy zakład w strategiach „stała stawka”, „martyngał” i „obstawianie proporcjonalne” w wersji Kelly’ego wynosi 10 centów. W strategii „postaw wszystko” za każdym razem stawiana jest cała kwota.

John Kelly junior był teksaskim matematykiem, który przedstawił swój słynny wzór strategii hazardu w artykule w 1956 roku i kiedy Ed Thorp zastosował ów wzór w praktyce przy stoliku do blackjacka, wyniki robiły wrażenie.

– Jak powiedział pewien generał, trzeba być pierwszym i mieć największe środki.

Przy małej przewadze i roztropnym gospodarowaniu pieniędzmi można osiągnąć olbrzymie zyski. Zapytałem Thorpa, która metoda miała większe znaczenie dla zarabiania na blackjacku: liczenie kart czy stosowanie wzoru Kelly’ego.

–  Myślę, że po kilkudziesięciu latach zgłębiania tej kwestii panuje zgodne przekonanie – odpowiedział – że strategie obstawiania mogą w dwóch trzecich lub trzech czwartych decydować o tym, ile zarobisz, a strategia grania to gdzieś jedna trzecia, jedna czwarta. Czyli metoda obstawiania jest o wiele ważniejsza.

Strategia Kelly’ego miała później pomóc Thorpowi w zarobieniu ponad 80 miliardów dolarów na rynkach finansowych.

Ed Thorp przedstawił swój system liczenia kart w 1962 roku w książce Beat the Dealer. W drugim wydaniu z 1966 roku udoskonalił metodę, wprowadzając dodatkowo liczenie kart o wartości 10 (walet, dama, król i dziesiątka). Choć karty te w mniejszym stopniu wpływały na szanse niż piątki, było ich więcej, łatwiej więc było rozpoznać przewagę. Książka Beat the Dealer sprzedała się w ponad milionie egzemplarzy i do dziś stanowi inspirację dla rzesz hazardzistów.

Kasyna próbowały różnymi metodami bronić się przed liczeniem kart. Najczęściej wprowadzano wiele talii, ponieważ przy większej liczbie kart liczenie jest nie tylko trudniejsze, lecz również mniej opłacalne. „Blokada profesora” (ang. professor stopper), czyli podajnik do kart, który rozdaje wiele talii naraz, w gruncie rzeczy została nazwana tak na cześć Thorpa. Poza tym kasyna przeforsowały uznanie stosowania komputera do prognoz w ruletce za przestępstwo.

Thorp ostatni raz grał w blackjacka w 1974 roku.

– Rodzina wybrała się na wycieczkę na Wystawę Światową do Spokane, w drodze powrotnej zatrzymaliśmy się w [kasynie] Harrah i powiedziałem dzieciom, żeby dały mi parę godzin, bo chcę zapłacić za wycieczkę, i zapłaciłem.

Beat the Dealer to nie tylko klasyczna książka na temat hazardu. Odbiła się szerokim echem również w świecie ekonomii i finansów. Generacja matematyków zainspirowana książką Thorpa zaczęła tworzyć modele rynków finansowych i stosować w nich strategie obstawiania. Fischer Black i Myron Scholes opracowali wzór Blacka-Scholesa określający, jak wyceniać finansowe instrumenty pochodne – najsłynniejsze (i niesławne) równanie na Wall Street. Thorp zapoczątkował epokę, w której analityk ilościowy, kwant (od ang. quantitative analyst) – jak nazwano matematyków zatrudnianych przez banki do wynajdowania sprytnych sposobów inwestowania – był królem.

– Książka Beat the Dealer była czymś w rodzaju pierwszego podręcznika dla kwantów i w zasadzie doprowadziła wprost do prawdziwej rewolucji – mówi Thorp, który może uważać siebie, niebezpodstawnie, za pierwszego kwanta w historii.

Jego następna książka Beat the Market przyczyniła się do transformacji rynków papierów wartościowych. Na początku lat 70. razem ze wspólnikiem uruchomili pierwszy neutralny rynkowo fundusz hedgingowy instrumentów pochodnych, czyli fundusz unikający wszelkiego ryzyka rynkowego. Od tamtego czasu tworzy coraz bardziej wyrafinowane pod względem matematycznym produkty finansowe, dzięki którym stał się niezwykle bogaty (przynajmniej jak na profesora matematyki). Choć kiedyś prowadził słynny fundusz hedgingowy, obecnie prowadzi rodzinne biuro, w którym inwestuje wyłącznie swoje własne pieniądze.

Spotkałem się z Thorpem we wrześniu 2008 roku. Siedzieliśmy w jego biurze w wieżowcu w Newport Beach, który wychodzi na Ocean Spokojny. Była wspaniała kalifornijska pogoda z nieskazitelnie czystym błękitnym niebem. Thorp wygląda na intelektualistę pozbawionego przesadnej powagi, jest ostrożny i wyważony, a przy tym błyskotliwy i wesoły. Zaledwie tydzień wcześniej bank Lehman Brothers wystąpił z wnioskiem o upadłość. Zapytałem go, czy ma poczucie winy, że pomógł stworzyć mechanizmy, które przyczyniły się do największego kryzysu finansowego ostatnich dziesięcioleci.

– Problemem nie były same instrumenty pochodne, ale brak regulacji prawnych dla instrumentów pochodnych – odpowiedział w sposób, który zapewne był do przewidzenia.

Nasunęło mi się w związku z tym pytanie: skoro matematyka stojąca za finansami światowymi jest dzisiaj tak skomplikowana, to czy rząd zwracał się do niego kiedykolwiek po radę?

– Nic mi o tym nie wiadomo, nie! – powiedział z uśmiechem. – Gdyby się kiedyś pojawili, mam rad pod dostatkiem! Ale mnóstwo tych spraw ma charakter mocno upolityczniony, a przy tym bardzo środowiskowy.

Powiedział, że jeśli chce się zostać usłyszanym, trzeba bywać na Wschodnim Wybrzeżu, grać w golfa i jeść lunche z bankierami i politykami.

– A ja jestem w Kalifornii i mam piękny widok… po prostu bawię się matematycznymi grami. Nie mam okazji wpadać na tych ludzi, może raz na jakiś czas.

Thorp cieszy się jednak ze statusu outsidera. Nie uważa siebie nawet za członka świata finansowego, choć jest nim od 40 lat.

– Uważam się za naukowca, który wykorzystuje swoją wiedzę do analizowania rynków finansowych.

Kwestionowanie konwencjonalnej mądrości jest wiodącym motywem jego życia, czymś, co z powodzeniem robi ciągle od nowa. Jego zdaniem zdolni matematycy zawsze będą w stanie odwrócić szanse na swoją korzyść.

Ciekawiło mnie również, czy tak wyrafinowane rozumienie prawdopodobieństwa pomogło mu uniknąć licznych paradoksów tej dziedziny. Czy zdarzyło mu się kiedyś paść ofiarą złudzenia gracza?

– Myślę, że po prostu bardzo dobrze idzie mi mówienie „nie”, ale trochę to zajęło. Przeszedłem przez kosztowną edukację, kiedy zacząłem uczyć się o akcjach. Podejmowałem decyzje oparte na niezbyt racjonalnych decyzjach.

Zapytałem go, czy zagrał kiedyś na loterii.

– Chodzi panu o obstawianie złych zakładów?

Powiedziałem, że chyba tego nie robił.

– Nic na to nie poradzę. Wie pan, raz na jakiś czas trzeba. Załóżmy, że cała pańska wartość netto to dom. Ubezpieczanie domu jest złym zakładem w sensie wartości oczekiwanej, ale pewnie roztropne w sensie długofalowego przetrwania.

Zapytałem go więc, czy ubezpieczył swój dom.

Odpowiedział dopiero po chwili.

– Tak.

Zamilkł wcześniej, ponieważ zastanawiał się, jak dokładnie jest bogaty.

– Jeśli ktoś jest dostatecznie majętny, nie musi ubezpieczać drobnych przedmiotów – wyjaśnił. – W przypadku miliardera z domem o wartości miliona dolarów nie ma znaczenia, czy ubezpieczy go, czy nie, przynajmniej z punktu widzenia kryterium Kelly’ego. Nie musi płacić, by zabezpieczyć się przed taką stosunkowo niewielką stratą. Lepiej wyjdzie, jeśli zainwestuje te pieniądze w coś korzystniejszego. – Czy faktycznie ubezpieczyłem swoje domy, czy nie? Tak, chyba ubezpieczyłem.

Przeczytałem wcześniej artykuł, w którym była wzmianka, że Thorp chce, by zamrożono jego ciało po śmierci. Powiedziałem mu, że wygląda to na hazard – i to bardzo kalifornijski.

– No cóż, jak to powiedział jeden z moich przyjaciół z branży fantastycznonaukowej: „Skoro nie ma innych gier do wyboru”.

¹ Biblia Tysiąclecia Online, Prz 16,33, Wydawnictwo Pallottinum, Poznań 2008 (przyp. red.).

² Nazwę tę wymawia się po angielsku /tü-,lüz/ jak czasownik to lose, który znaczy „przegrać, stracić” (przyp. red.).

³ William Feller, Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa, przekł. Robert Bartoszyński i Bronisław Bielecki, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2007, s. 87 (przyp. red.).

⁴ Tamże, s. 76 (przyp. red.).

ROZDZIAŁ DZIESIĄTY
Sytuacja w normie

Kupiłem niedawno elektroniczną wagę kuchenną. Ma szklaną podstawę i „łatwy w odczycie niebieski wyświetlacz”. Zakup ten nie był podyktowany chęcią pieczenia wyszukanych deserów. Nie planowałem również urządzić w swoim mieszkaniu dziupli dla lokalnych gangów narkotykowych. Interesowało mnie po prostu ważenie rzeczy. Gdy tylko wyciągnąłem wagę z pudełka, wybrałem się do miejscowej piekarni Greggs i kupiłem bagietkę. Ważyła 391 gramów. Nazajutrz wróciłem do Greggs i kupiłem drugą bagietkę. Była nieco większa, ważyła 398 gramów. Greggs to sieć ponad 1000 sklepów w Wielkiej Brytanii. Ich specjalność to herbata, krokiety z mięsem i grubo lukrowane bułeczki. Ja jednak świata poza bagietkami nie widziałem. Trzeciego dnia bagietka ważyła 399 gramów. Zdążyło mi się już znudzić zjadanie całej bagietki co dnia, ale kontynuowałem ważenie. Czwarta bagietka to był istny gigant – ważyła 403 gramy. Pomyślałem sobie, że może powinienem zawiesić ją na ścianie, jak jakieś trofeum wędkarskie. Przecież waga nie może rosnąć w nieskończoność, pomyślałem, i miałem rację. Piąta bagietka była płotką, jedyne 384 gramy.

W XVI i XVII wieku zachodnia Europa zakochała się w zbieraniu danych. Właśnie w tym okresie wynaleziono przyrządy pomiarowe, takie jak termometr, barometr czy hodometr (koło do mierzenia odległości na drodze); używanie ich stanowiło ekscytującą nowość. Nie bez znaczenia było upowszechnienie się wśród warstw wykształconych cyfr arabskich, które usprawniły zapis wyników. Kolekcjonowanie liczb uważano za szczyt nowoczesności i nie była to chwilowa moda – ów szał oznaczał początek nowożytnej nauki. Zdolność do opisywania świata w kategoriach ilościowych zamiast jakościowych całkowicie zmieniła naszą relację z otoczeniem. Liczby dały nam język do badań naukowych, a my zyskaliśmy nowe przeświadczenie, że możemy zdobyć głębszą wiedzę o świecie rzeczywistym.

Poranne kupowanie i ważenie pieczywa okazało się zaskakująco przyjemnym zajęciem. W podskokach wracałem z piekarni, by jak najszybciej sprawdzić, ile gramów będzie miała bagietka. Dreszcz emocji był taki sam jak podczas sprawdzania wyników meczu czy rynków finansowych – dowiadywanie się, jak wypadł ulubiony zespół lub jak stoją akcje, jest autentycznie ekscytujące. Podobnie było z moimi bagietkami.

W codziennych wyprawach do piekarni przyświecał mi zamiar sporządzenia wykresu rozkładu wagi i po 10 bagietkach zauważyłem, że najlżejsza miała 380 gramów, najcięższa 410 gramów, a jedna z wartości, 403 gramy, się powtórzyła. Rozpiętość była dość duża, pomyślałem. Wszystkie bagietki pochodziły z tego samego sklepu, kosztowały tyle samo, a mimo to najcięższa była o prawie 8 procent cięższa od najlżejszej.

Kontynuowałem swój eksperyment. Niezjedzone pieczywo zbierało się w kuchni. Po jakimś miesiącu zaprzyjaźniłem się z Ahmedem, somalijskim kierownikiem z Greggs. Podziękował mi za zwiększenie dziennej sprzedaży bagietek i poczęstował czekoladowym croissantem.

Z fascynacją obserwowałem, jak wagi rozkładają się w tabeli. Choć nie mogłem przewidzieć, ile będzie ważyć 1 bagietka, z całego zbioru wyraźnie wyłaniała się pewna prawidłowość. Eksperyment przerwałem po 100 bagietkach, kiedy każda liczba między 379 gramami a 422 gramami zdążyła, z 4 wyjątkami, wystąpić przynajmniej 1 raz.

Do projektu z pieczywem zabrałem się z powodów matematycznych, zauważyłem jednak interesujące psychologiczne skutki uboczne. Tuż przed ważeniem bagietek, przyglądałem się im i kontemplowałem kolor, długość, ziarnistość i fakturę – które dość znacznie różniły się w kolejnych dniach. Zacząłem uważać się za konesera bagietek i mówiłem do siebie ze znawstwem mistrza piekarskiego: „Ta to jest ciężka” lub „Bez dwóch zdań przeciętna sztuka”. Myliłem się równie często, jak miałem rację. Kiepskie wyniki w prognozowaniu nie osłabiły jednak we mnie przekonania, że rzeczywiście jestem ekspertem w dziedzinie oceny bagietek. Było to, stwierdziłem, takie samo złudzenie, jakiemu ulegają spece od sportu i finansów, którzy również nie potrafią przewidywać przypadkowych zdarzeń, a mimo to robią na tym karierę.

Chyba najbardziej niepokojącą z reakcji, jakie budziły we mnie bagietki z piekarni Greggs, obserwowałem, gdy waga okazywała się skrajnie duża bądź skrajnie mała. Kiedy ważyłem rekordowo ciężką lub lekką sztukę, czułem dreszcz emocji. Jeśli waga była nadzwyczajna, dzień też zdawał się nadzwyczajny, jakby wyjątkowość bagietki w jakiś sposób rozciągała się na pozostałe aspekty mojego życia. Rozumowo wiedziałem, że siłą rzeczy niektóre bagietki będą ogromne, a niektóre niezbyt pokaźne. Mimo to przypadki skrajnych wag wprowadzały mnie w stan euforii. Niepokojące, jak łatwo na mój nastrój mógł wpływać kawałek pieczywa. Uważam się za osobę nieprzesądną, ale doszukiwanie się znaczenia w przypadkowych układach było silniejsze ode mnie. To znamienny przykład tego, jak bardzo ulegamy bezpodstawnym przekonaniom.

Mimo nadziei pewności, jaką liczby dawały naukowcom wieku oświecenia, często nie były one wcale takie pewne. Czasami pomiar tego samego zjawiska dawał różne wyniki. Był to kłopotliwy problem dla uczonych, którzy poszukiwali jasnych i bezpośrednich wyjaśnień dla zjawisk naturalnych. Na przykład Galileusz zauważył, że w obliczeniach odległości gwiazd za pomocą teleskopu wyniki często podlegały wahaniom i zmienność ta nie była rezultatem błędu rachunkowego. Wynikała raczej z tego, że pomiar był ze swej istoty rozmyty. Liczby okazały się nie tak precyzyjne, jak na to liczono.

Tego samego doświadczałem z bagietkami. Na wahania wagi wpływało zapewne wiele czynników – ilość i konsystencja użytej mąki, czas pieczenia, transport bagietek z centralnej piekarni do sklepiku, wilgotność powietrza i tak dalej. Podobnie na wyniki z teleskopu Galileusza miało wpływ wiele zmiennych – warunki atmosferyczne, temperatura sprzętu oraz czynniki osobiste, jak choćby stopień zmęczenia astronoma podczas zapisywania odczytów.

Galileusz zdołał jednak dostrzec, że zmienność jego wyników podlega pewnym regułom. Mimo wahań dane każdego pomiaru skupiały się zwykle wokół pewnej wartości środkowej, a małe odchylenia od tej wartości występowały częściej niż duże. Zauważył też, że rozrzut wyników był symetryczny – pomiary niższe od wartości środkowej były równie częste, jak pomiary wyższe.

Podobnie z moich danych wynikało, że waga bagietek skupia się wokół wartości 400 gramów ± 20 gramów. Żadna ze 100 bagietek nie ważyła dokładnie 400 gramów, ale bagietek ważących mniej więcej 400 gramów było dużo więcej niż bagietek o wadze około 380 gramów czy 420 gramów. Również rozrzut wyników wydawał się dość symetryczny.

Pierwszym uczonym, który dostrzegł wzór tworzony przez tego rodzaju błąd pomiaru, był niemiecki matematyk Carl Friedrich Gauss. Wzór ten jest opisywany krzywą dzwonową.

Wykres Gaussa wymaga pewnego objaśnienia. Oś pozioma przedstawia zestaw wyników, na przykład wagę bagietek lub odległość gwiazd. Oś pionowa to prawdopodobieństwo tych wyników. Krzywa wykreślona na wykresie z tymi parametrami nazywana jest rozkładem. Pokazuje nam rozrzut wyników i prawdopodobieństwo każdego z nich.

Istnieje mnóstwo typów rozkładów – najbardziej elementarny z nich opisuje zaprezentowana powyżej krzywa dzwonowa, nazywana również rozkładem normalnym lub rozkładem Gaussa. (Początkowo nazywano ją krzywą błędu, ale ze względu na charakterystyczny kształt przyjęło się określenie krzywa dzwonowa). Ma ona pewną przeciętną wartość – średnią – którą oznaczyłem literą X. Średnia to najbardziej prawdopodobny wynik. Im bardziej wynik oddalony jest od średniej, tym mniejsze jest jego prawdopodobieństwo.

Kiedy 2 razy mierzymy to samo i proces ten jest obarczony błędem losowym (przypadkowym), zwykle nie uzyskujemy takiego samego wyniku. Im więcej jednak dokonamy pomiarów, tym bardziej rozkład wyników zaczyna przypominać krzywą dzwonową. Wyniki skupiają się symetrycznie wokół wartości średniej. Rzecz jasna wykres pomiarów nie będzie krzywą ciągłą – będzie to (jak widzieliśmy na przykładzie bagietek) postrzępiony krajobraz stałych wielkości. Krzywa dzwonowa to teoretyczny ideał wzoru tworzonego przez błąd losowy. Im więcej danych, tym wyraźniej ów postrzępiony krajobraz wyników pokryje się z krzywą.

Pod koniec XIX wieku francuski matematyk Henri Poincaré wiedział, że rozkład wyników obarczonych przypadkowym błędem pomiaru będzie zbliżał się do krzywej dzwonowej. W rzeczy samej Poincaré przeprowadził taki sam eksperyment co ja, choć z innych powodów. Podejrzewał, że miejscowa piekarnia naciąga go, sprzedając chleb o zaniżonej wadze, postanowił więc zaprząc matematykę w służbę sprawiedliwości. Przez rok codziennie ważył swój kilogramowy chleb powszedni. Zdawał sobie sprawę z tego, że jeśli waga parę razy okaże się niższa niż kilogram, nie będzie to jeszcze stanowiło dowodu nieuczciwości, ponieważ należy się spodziewać wahań wagi powyżej i poniżej deklarowanego kilograma. Przypuszczał, że wykres wagi bochenków będzie przypominać rozkład normalny – ponieważ błędy w produkcji chleba, takie jak ilość zużytej mąki i czas wypieku bochenka, mają charakter losowy.

Po roku wybitny naukowiec przeanalizował zebrane dane. Rozkład wagi faktycznie był zbliżony do krzywej dzwonowej. Jednakże wierzchołek krzywej przypadał na 950 gramów. Innymi słowy, przeciętna waga wynosiła 0,95 kilograma, a nie 1 kilogram, jak deklarowano. Podejrzenia Poincarégo się potwierdziły. Kantowano go średnio o 50 gramów na każdym bochenku. Jak głosi legenda, matematyk powiadomił paryskie władze i piekarz otrzymał surowe upomnienie.

Po tym małym zwycięstwie na rzecz praw konsumentów Poincaré nie stracił jednak zainteresowania całą sprawą. Dalej ważył swój chleb i po drugim roku zobaczył, że kształt wykresu nie jest prawdziwą krzywą dzwonową – był przekrzywiony w prawo. Uczony wiedział, że losowość błędu daje w sumie krzywą dzwonową, uznał więc, że na sprzedawane mu bochenki musi wpływać jakieś zdarzenie nielosowe. Doszedł do wniosku, że chciwy piekarz nie przestał zaniżać wagi, za to dawał mu największy bochenek, jaki miał pod ręką, wprowadzając w ten sposób odchylenie w rozkładzie. Boulanger miał tego pecha, że jego klient był najbystrzejszym człowiekiem we Francji. Poincaré ponownie poinformował policję.

Metoda, za pomocą której Poincaré przyłapał nieuczciwego piekarza, okazała się prorocza; obecnie stanowi ona teoretyczną podstawę ochrony konsumentów. Kiedy sklepy sprzedają towary o określonej wadze, owe towary zgodnie z prawem nie muszą mieć dokładnie takiej wagi – jest to niemożliwe, ponieważ w procesie produkcji nieuchronnie powstają egzemplarze nieco cięższe lub nieco lżejsze. Jednym z zadań pracowników inspekcji handlowej jest pobieranie losowych próbek sprzedawanych towarów i sporządzanie wykresów ich wagi. Rozkład wagi każdego kontrolowanego towaru musi mieścić się w krzywej dzwonowej skupionej wokół deklarowanej średniej.

Pół wieku przed Poincarém, który dostrzegł krzywą dzwonową w chlebie, inny matematyk widział ją wszędzie, gdziekolwiek spojrzał. Adolphe Quételet miał podstawy, by uważać się za najbardziej wpływowego Belga na świecie. (Fakt, że nie ma wielkiej konkurencji w tej dziedzinie, w niczym nie umniejsza jego zasług). Z wykształcenia był geometrą i astronomem, ale szybko uległ fascynacji danymi – a dokładniej szukaniu prawidłowości w liczbach. W ramach jednego ze swoich pierwszych przedsięwzięć Quételet zbadał francuskie statystyki przestępczości, które rząd zaczął publikować w 1825 roku. Quételet zauważył, że liczba morderstw właściwie nie zmieniała się z roku na rok. Nawet proporcja różnych rodzajów narzędzi zbrodni – czy popełniono ją za pomocą pistoletu, miecza, noża, pięści i tak dalej – pozostawała mniej więcej taka sama. Dzisiaj takie spostrzeżenie nie jest niczym odkrywczym – co więcej, działanie współczesnych instytucji publicznych opiera się w dużej mierze na wskaźnikach przestępczości, wskaźnikach zdawalności egzaminów i wskaźnikach wypadków, które zgodnie z oczekiwaniami powinny być z roku na rok porównywalne. Ale to Quételet pierwszy zauważył dość zdumiewającą regularność zjawisk społecznych w skali całej populacji. Nie sposób wskazać, kto w danym roku może zostać mordercą. Ale można było dość dokładnie przewidzieć, ile w danym roku zostanie popełnionych morderstw. W związku z tą prawidłowością Quételeta trapiło pytanie o odpowiedzialność osobistą jednostki, a co za tym idzie – o etykę kary. Jeśli społeczeństwo jest jak maszyna, która wytwarza stałą liczbę morderców, czy nie wynika stąd, że morderstwo jest winą społeczeństwa, a nie jednostki?

Koncepcje Quételeta zmieniły znaczenie słowa statystyka, które pierwotnie nie miało wiele wspólnego z liczbami. Słowa tego używano na określenie ogólnych faktów dotyczących państwa, informacji, które były potrzebne mężom stanu. Quételet uczynił ze statystyki dużo szerszą dyscyplinę, z narzędzia rządzenia krajem stworzył matematykę zachowań zbiorowych. Nie zdołałby tego dokonać bez rozwoju teorii prawdopodobieństwa, która dostarczyła metod analizy losowości danych. W 1853 roku Quételet zorganizował w Brukseli pierwszą międzynarodową konferencję statystyczną.

Spostrzeżenia Quételeta na temat zachowań zbiorowych odbiły się szerokim echem w innych dziedzinach nauki. Jeśli analizując dane z populacji ludzkich, można wykryć wiarygodne prawidłowości, to stąd już tylko mały krok do uświadomienia sobie, że populacje, dajmy na to, atomów również zachowują się z przewidywalną regularnością. James Clerk Maxwell i Ludwig Boltzmann właśnie dzięki statystycznemu podejściu Quételeta sformułowali kinetyczną teorię gazów, która wyjaśnia, że ciśnienie gazu jest rezultatem zderzeń cząsteczek poruszających się chaotycznie z różnymi prędkościami. Choć nie można określić prędkości poszczególnych cząsteczek, cząsteczki ogólnie zachowują się w przewidywalny sposób. Geneza kinetycznej teorii gazów jest ciekawym wyjątkiem od reguły, że rozwój w naukach społecznych jest efektem postępów w naukach przyrodniczych. W tym wypadku przepływ wiedzy miał kierunek przeciwny.

Prawidłowość, z jaką Quételet najczęściej spotykał się w swoich badaniach, opisywała krzywa dzwonowa. Była wszechobecna w danych dotyczących populacji ludzkich. W tamtych czasach trudniej niż obecnie było zdobyć zbiory danych, więc Belg przeczesywał świat w ich poszukiwaniu z wytrwałością godną profesjonalnego kolekcjonera. Natrafił na przykład na badanie opublikowane w 1814 roku w „Edinburgh Medical Journal” zawierające pomiary klatki piersiowej 5738 szkockich żołnierzy. Quételet narysował wykres liczb i pokazał, że rozkład szerokości klatki piersiowej jest krzywą dzwonową ze średnią wynoszącą około 40 cali. Na podstawie innych zbiorów danych wykazał, że również wzrost mężczyzn i kobiet ma cechy krzywej dzwonowej. Handel detaliczny do dziś opiera się na odkryciach Quételeta. Sklepy odzieżowe robią większe zapasy średnich rozmiarów niż małych czy dużych właśnie dlatego, że rozkład wymiarów ludzi odpowiada z grubsza krzywej dzwonowej. W znajomy kształt układają się na przykład najnowsze dane dotyczące rozmiaru butów dorosłych Brytyjczyków.

Rozmiar stóp Brytyjczyków.

Quételet zmarł w 1874 roku. Dekadę później po drugiej stronie kanału La Manche na ulicach Wielkiej Brytanii często można było spotkać pewnego sześćdziesięciolatka z łysiną i wytwornymi wiktoriańskimi bokobrodami, który gapił się na kobiety i grzebał w kieszeni. Był to Francis Galton, wybitny naukowiec, prowadzący badania terenowe. Mierzył atrakcyjność kobiet. Aby dyskretnie zapisać opinię na temat przechodzących pań, w kieszeni nakłuwał igłą kartkę w kształcie krzyża, zaznaczając, czy dana dama jest „atrakcyjna”, „przeciętna” czy „odpychająca”. Po zakończeniu badania sporządził urodową mapę kraju. Najwyżej notowanym miastem był Londyn, najniżej uplasowało się Aberdeen.

Galton był prawdopodobnie jedynym człowiekiem w dziewiętnastowiecznej Europie, który miał jeszcze większą obsesję na punkcie zbierania danych niż Quételet. Będąc młodym naukowcem, codziennie mierzył temperaturę dzbanka z herbatą i zapisywał takie informacje, jak objętość użytego wrzątku i wyborność smaku. Chciał ustalić sposób parzenia idealnej herbatki. (Nie doszedł do żadnych wniosków). Matematyka podwieczorku pozostała zresztą jego pasją przez całe życie. W podeszłym wieku przesłał do czasopisma „Nature” zamieszczony obok schemat przedstawiający najlepszy, jego zdaniem, sposób krojenia ciasta, by jak najdłużej zachowało świeżość¹.

A właśnie! Skoro ta książka ma liczby w tytule, jakżebym mógł nie wspomnieć w tym momencie o formach liczbowych Galtona – choć nie mają one wiele wspólnego z tematem rozdziału. Galtona fascynowało, że znaczna liczba ludzi – którą szacował na 5 procent – automatycznie wyobraża sobie liczby w postaci swoistych map, które nazwał formami liczbowymi (ang. number forms). Twierdził, że liczby w umysłach takich osób przyjmują „precyzyjnie zdefiniowaną i stałą pozycję” oraz że ludzie ci nie są w stanie pomyśleć o jakiejś liczbie, „nie odnosząc się do jej szczególnego siedliska w polu widzenia swojej wyobraźni”. Szczególnie interesujące w formach liczbowych jest to, że na ogół mają bardzo osobliwy układ. Zamiast – jak można by się spodziewać – linii prostej, często tworzą dość dziwne zakręty i zwroty.

W „Krojeniu okrągłego ciasta według zasad naukowych” Galton zaznaczył planowane cięcia linią przerywaną, a brzegi linią ciągłą. Metoda ta chroni środek tortu przed wysychaniem, do którego dochodzi przy wykrawaniu kawałków w tradycyjny (i, jak uważa autor, „bardzo błędny”) sposób. Na drugim i trzecim etapie tort powinien być spięty gumką.

Formy liczbowe mają posmak wiktoriańskiej dziwaczności, być może były świadectwem stłumionych emocji lub nadużywania opiatów. Ale dzisiaj są przedmiotem badań naukowych jako rodzaj synestezji – zjawiska neurologicznego, które zachodzi wtedy, gdy pobudzenie jednego szlaku poznawczego prowadzi do mimowolnego pobudzenia drugiego. W tym wypadku liczbom przypisuje się położenie w przestrzeni. Innym przykładem synestezji może być przekonanie, że litery mają kolory lub że dni tygodnia mają osobowość. Galton tak naprawdę nie doszacował występowania form liczbowych wśród ludzi. Obecnie uważa się, że w jakiś sposób doświadcza ich około 12 procent populacji.

Cztery przykłady form liczbowych Galtona: osobliwe reprezentacje przestrzenne liczb.

Główną namiętnością Galtona było jednak mierzenie. Zbudował „laboratorium antropometryczne” – otwarty ośrodek w Londynie, w którym mierzył wzrost, wagę, siłę chwytu, szybkość ciosu, wzrok i inne cechy fizyczne ludności. Laboratorium opracowało szczegółowe dane ponad 10 000 osób, a Galton zyskał taką sławę, że nawet premier William Gladstone wpadł zmierzyć głowę. („Była to pięknie ukształtowana głowa, choć niewielka”, powiedział Galton). Mierzenie było w istocie nałogiem Galtona – kiedy nie miał niczego oczywistego do mierzenia, wynajdował sobie coś, co mogło zaspokoić jego głód pomiarów. W artykule opublikowanym w „Nature” w 1885 roku napisał, że podczas nużącego zebrania zaczął mierzyć częstość wiercenia się kolegów. Sugerował, że naukowcy powinni zacząć wykorzystywać nużące zebrania, by „opanować nową sztukę liczbowego ujmowania ilości nudy przejawianej przez publiczność”.

Studia Galtona potwierdziły badania Quételeta, pokazując, że zmienność w populacjach ludzkich jest ściśle zdeterminowana. Również on wszędzie widział krzywe dzwonowe. Częstość występowania tej krzywej skłoniła nawet Galtona do wprowadzenia słowa „normalny” jako właściwego określenia dla tego rozkładu. Wykres ten ilustrował także obwód głowy człowieka i wielkość mózgu, ale Galtona szczególnie interesowały cechy niefizyczne, takie jak inteligencja. W tamtych czasach nie było jeszcze testów na IQ, więc Galton szukał innych miar inteligencji. Znalazł je w wynikach egzaminów wstępnych do akademii wojskowej w Sandhurst. Jak się okazało, również oceny z egzaminów pokrywały się z krzywą dzwonową. Napełniło to Galtona poczuciem podziwu. „Nie znam chyba niczego, co potrafi wywierać takie wrażenie na wyobraźni, jak cudowna forma kosmicznego porządku wyrażona w postaci [krzywej dzwonowej] – napisał. – Gdyby Grecy znali to prawo, zostałoby ono spersonifikowane i ubóstwione. Panuje ze spokojem, usunięte zupełnie w cień, pośród najgwałtowniejszego zamętu. Im potężniejszy motłoch, im większa pozorna anarchia, tym doskonalsza jest jego władza. Jest to najwyższe prawo chaosu”.

Galton wynalazł cudownie proste urządzenie, które wyjaśnia matematykę stojącą za jego ukochaną krzywą. Nazwał je quincunxem. Pierwotne znaczenie tego słowa to , układ 5 kropek na kostce, a samo urządzenie jest rodzajem maszyny do gry w pinball, w której poziome rzędy kołków są przesunięte względem siebie o połowę odległości między kołkami. Z góry quincunxa wrzuca się kulkę, która odbija się między kołkami i w końcu wpada do jednej z kolumn na dole. Kształt, jaki naturalnie tworzy się w kolumnach po wrzuceniu większej liczby kulek, przypomina krzywą dzwonową.

Quincunx zwany też deską Galtona.

Rachunek prawdopodobieństwa pozwala nam zrozumieć, co się dzieje. Wyobraźmy sobie najpierw quincunxa tylko z jednym kołkiem i powiedzmy, że wynik uderzenia kulki w kołek jest losowy: szanse, że kulka odbije w lewo, wynoszą 50 procent, a szanse, że odbije w prawo, również 50 procent. Innymi słowy, kulka z prawdopodobieństwem \frac{1} wyląduje o 1 miejsce w lewo i z prawdopodobieństwem \frac{1} wyląduje o 1 miejsce w prawo.

Dodajmy teraz drugi rząd kołków. Kulka spadnie albo w lewo, a potem w lewo, co nazwę LL, albo LP, albo PL, albo PP. Ponieważ przesunięcie w lewo, a potem w prawo jest równoważne pozostaniu w tym samym miejscu, L i P razem znoszą się nawzajem (tak samo jak P i L razem), więc teraz prawdopodobieństwo, że kulka wyląduje o 1 miejsce w lewo, wynosi \frac{1}, że wyląduje na środku \frac{2}, a że wyląduje po prawej \frac{1}.

Przy trzecim rzędzie kołków mamy 8 równie prawdopodobnych możliwości trafienia kulki: LLL, LLP, LPL, LPP, PPP, PPL, PLP, PLL. A zatem prawdopodobieństwo wylądowania dalej na lewo wynosi \frac{1} , prawdopodobieństwo wylądowania bliżej na lewo \frac{3}, wylądowania bliżej na prawo \frac{3} , a wylądowania dalej na prawo \frac{1}{8}.

Inaczej mówiąc, jeśli w quincunxie są 2 rzędy kołków i wrzucimy do urządzenia bardzo dużo kulek, to zgodnie z prawem wielkich liczb kulki będą spadać na dno w taki sposób, że ich proporcje będą zbliżone do 1 : 2 : 1.

Jeśli będą 3 rzędy, kulki będą spadać w proporcji 1 : 3 : 3 : 1.

Jeśli będą 4 rzędy, kulki będą spadać w proporcji 1 : 4 : 6 : 4 : 1.

Gdybym dalej obliczał prawdopodobieństwa, w dziesięciorzędowym quincunxie kulki pospadają w proporcji 1 : 10 : 45 : 120 : 210 : 252 : 210 : 120 : 45 : 10 : 1.

Po naniesieniu na wykres tych liczb uzyskamy pierwszy z kształtów pokazanych na wykresach obok. Kształt ów staje się jeszcze bardziej znajomy wraz z dodawaniem kolejnych rzędów. Obok widnieją również rezultaty dla 100 i 1000 rzędów w postaci wykresów słupkowych. (Zauważ, że pokazano tylko środkową część tych dwóch wykresów, ponieważ wartości po lewej i po prawej są niedostrzegalne).

Jaki jest więc związek tego pinballa z tym, co dzieje się w rzeczywistym świecie? Wyobraź sobie, że każdy rząd w quincunxie jest zmienną losową, która spowoduje błąd w pomiarze. Albo nieznacznie zwiększy poprawny pomiar, albo nieznacznie go zmniejszy. W przypadku Galileusza i jego teleskopu 1 rząd kołków mógłby symbolizować temperaturę sprzętu, inny ewentualne przechodzenie frontu termicznego, a jeszcze inny zanieczyszczenie powietrza. Każda zmienna przyczynia się do błędu na 1 z 2 sposobów, tak jak kulka w quincunxie odbija się na lewo lub prawo. W każdym pomiarze mogą być miliony niezauważalnych błędów losowych – jednakże łącznie błędy te dają pomiary, których rozkład przypomina krzywą dzwonową.

Jeśli cechy jakiejś populacji mają rozkład normalny, czyli są skupione wokół średniej w kształcie krzywej dzwonowej, i jeśli krzywą dzwonową tworzy błąd losowy, to – jak argumentował Quételet – na zmienność ludzkich cech można spojrzeć jak na błędy w pewnym paradygmacie. Nazwał ów paradygmat l’homme moyen, czyli „przeciętny człowiek”. Populacje, jak mówił, składają się z odchyleń od tego prototypu. Zdaniem Quételeta, przeciętność to coś, do czego należy dążyć, ponieważ utrzymuje społeczeństwo w ryzach – odchylenia od przeciętności prowadzą do „brzydoty ciała oraz występnych obyczajów”. Choć pojęcie l’homme moyen nigdy nie spotkało się z aprobatą w nauce, przeniknęło do potocznego języka. Często mówiąc o moralności czy guście, odwołujemy się do tego, co przeciętny przedstawiciel danej populacji mógłby myśleć lub czuć na dany temat: co na przykład uchodzi za dopuszczalne „w oczach przeciętnego człowieka”.

Podczas gdy Quételet wychwalał przeciętność, Galton nią gardził. Jak wcześniej wspomniałem, Brytyjczyk zauważył, że wyniki egzaminów miały rozkład normalny. Większość osób uzyskała oceny w okolicach średniej, natomiast kilka otrzymało oceny bardzo wysokie, a kilka bardzo niskie.

Galton, nawiasem mówiąc, sam pochodził z wybitnie ponadprzeciętnej rodziny. Jego najbliższym kuzynem był Charles Darwin, panowie prowadzili regularną korespondencję na temat swoich koncepcji naukowych. Około dekady po opublikowaniu przez Darwina dzieła O powstawaniu gatunków, które przedstawiało teorię doboru naturalnego, Galton zaczął wysuwać teorie, jak można by pokierować ewolucją człowieka. Interesowała go dziedziczność inteligencji i zastanawiał się nad możliwościami poprawy ogólnej inteligencji w populacji. Chciał przesunąć krzywą dzwonową na prawo. W tym celu zainicjował nową dziedzinę badań nad „doskonaleniem rasy”, czyli poprawianiem linii umysłowej populacji na drodze hodowli. Najpierw myślał, by nową naukę nazwać viticulture, od łacińskiego vita, „życie”, ale ostatecznie zdecydował się na eugenikę, od greckiego éu, „dobry”, i genos, „urodzenie”. (Zwykłe znaczenie słowa viticulture, czyli uprawa winorośli, pochodzi od łacińskiego vitis, „wino”, i narodziło się mniej więcej w tym samym czasie). Choć wielu liberalnych intelektualistów z końca XIX i początku XX wieku popierało eugenikę jako sposób udoskonalenia społeczeństwa, pomysł „hodowania” inteligentniejszych ludzi wkrótce został wypaczony i skompromitowany. W latach 30. eugenika stała się synonimem zbrodniczej nazistowskiej polityki stworzenia wyższej rasy aryjskiej.

Z perspektywy czasu łatwo dostrzec, jak ocenianie cech – na przykład inteligencji czy czystości rasowej – może prowadzić do dyskryminacji i dogmatyczności. Ponieważ krzywa dzwonowa pojawia się w pomiarach ludzkich cech, stała się ona synonimem prób klasyfikowania pewnych ludzi jako lepszych ze swej istoty od innych. Najgłośniejszym przykładem była wydana w 1994 roku książka The Bell Curve Richarda J. Herrnsteina i Charlesa Murraya, jedna z najgoręcej dyskutowanych publikacji ostatnich lat. Tytułowa krzywa dzwonowa odnosi się do rozkładu wyników IQ, a autorzy stwierdzają, że różnice IQ między grupami rasowymi są dowodem różnic biologicznych. Galton napisał, że krzywa dzwonowa panuje ze „spokojem, usunięta zupełnie w cień”. Z jej spuścizną jest jednak wprost przeciwnie.

Rzędy liczb powstające w desce Galtona można przedstawić w kształcie piramidy. Taki układ wyników znany jest pod nazwą trójkąta Pascala.

Trójkąt Pascala można skonstruować o wiele prościej – nie trzeba obliczać rozkładu przypadkowego spadania kulek. Zacznijmy od jedynki w pierwszym rzędzie, a poniżej umieśćmy 2 jedynki w taki sposób, by powstał trójkąt. W kolejnych rzędach należy dodawać jedynkę na początku i na końcu rzędu. Wartość każdej pozostałej pozycji równa się sumie 2 liczb znajdujących się nad nią.

Trójkąt nazwano tak na cześć Blaise’a Pascala, choć Francuz nie był pierwszym wielbicielem jego uroków. Już wiele stuleci przed nim układ ten znali matematycy z Indii, Chin i Persji. Dopiero jednak Pascal napisał książkę o – jak to nazwał – le triangle arithmétique. Był zafascynowany matematycznym bogactwem prawidłowości, jakie odkrył. „Doprawdy osobliwe, jak obfituje we własności” – zachwycał się, dodając, że w swym dziele więcej pominął, niż zdołał pomieścić.

Trójkąt Pascala wyłącznie z białymi kwadratami podzielnymi przez 2.

Oto moja ulubiona cecha trójkąta Pascala: niech każda liczba ma swój kwadrat, pokoloruj wszystkie kwadraty z liczbami nieparzystymi na czarno, a kwadraty z liczbami parzystymi pozostaw białe – w rezultacie powstanie cudowna mozaika, którą widać u góry.

Zaraz, zaraz. Ten wzór wygląda znajomo. Zgadza się. Przypomina dywan Sierpińskiego, matematyczny kobierzec, w którym kwadrat dzieli się na 9 mniejszych kwadratów i wyjmuje środkowy, po czym w nieskończoność powtarza się to samo z coraz mniejszymi kwadratami. Trójkątna wersja dywanu Sierpińskiego to trójkąt Sierpińskiego, w którym równoboczny trójkąt dzieli się na 4 identyczne trójkąty równoboczne, a następnie usuwa się środkowy. Pozostałe trójkąty poddaje się tej samej operacji – dzieli na 4 i usuwa środkowy. Oto pierwsze 3 iteracje:

Gdybyśmy kontynuowali kolorowanie trójkąta Pascala, wzór coraz bardziej przypominałby trójkąt Sierpińskiego. I rzeczywiście, przy granicy dążącej do nieskończoności trójkąt Pascala staje się trójkątem Sierpińskiego.

Trójkąt Sierpińskiego nie jest jedynym starym znajomym, jakiego odnajdujemy w tych czarno-białych kafelkach. Zwróćmy uwagę na wielkość białych trójkątów od góry wzdłuż środka trójkąta Pascala. Pierwszy składa się z 1 kwadratu, drugi składa się z 6 kwadratów, trzeci z 28, a następne mają po 120 i 496 kwadratów. Czy te liczby coś przypominają? 6, 28 oraz 496 to liczby doskonałe. Jest to niezwykły wizualny przejaw na pozór niepowiązanej abstrakcyjnej idei.

Wróćmy do malowania trójkąta Pascala według liczb. Zostawmy jako białe wszystkie liczby podzielne przez 3 i zamalujmy resztę na czarno. Zróbmy to samo z liczbami podzielnymi przez 4. Powtórzmy to jeszcze raz z liczbami podzielnymi przez 5. W rezultacie powstaną, jak widać obok, symetryczne układy trójkątów skierowanych w przeciwnym kierunku do całości.

Trójkąt Pascala wyłącznie z kwadratami podzielnymi przez 3.

Trójkąt Pascala wyłącznie z kwadratami podzielnymi przez 4.

Trójkąt Pascala wyłącznie z kwadratami podzielnymi przez 5.

W XIX wieku w trójkącie Pascala odkryto kolejną znajomą twarz: ciąg Fibonacciego. Było to chyba do przewidzenia, jako że metoda konstruowania trójkąta jest rekurencyjna – wielokrotnie postępowaliśmy według tej samej reguły, dodając 2 liczby w 1 rzędzie, by otrzymać liczbę w następnym rzędzie. Ciąg Fibonacciego powstaje właśnie przez rekurencyjne sumowanie 2 liczb. Suma 2 kolejnych liczb Fibonacciego równa się następnej liczbie w ciągu.

Liczby Fibonacciego ukrywają się w trójkącie jako sumy tak zwanych łagodnych przekątnych. Łagodna przekątna to taka, która przechodzi przez liczbę do liczby niżej na lewo, a potem o jedno miejsce w lewo, bądź też wyżej na prawo, a potem o jedno miejsce w prawo. Dwie pierwsze przekątne zawierają tylko 1. W trzeciej jest 1 i 1, co równa się 2. Czwarta ma 1 i 2, co sumuje się do 3. Piąta łagodna przekątna daje nam 1 + 3 + 1 = 5. Szósta to 1 + 4 + 3 = 8. W ten sposób otrzymaliśmy już 1, 1, 2, 3, 5, 8. Następne liczby będą kolejnymi liczbami Fibonacciego.

Łagodne przekątne w trójkącie Pascala ukazują ciąg Fibonacciego.

Zainteresowanie starożytnych Hindusów trójkątem Pascala dotyczyło kombinacji przedmiotów. Wyobraź sobie, że masz 3 owoce: mango, liczi i banan. Jest tylko jedna kombinacja 3 elementów: mango, liczi, banan. Wybrać tylko 2 owoce możesz na 3 sposoby: mango i liczi, mango i banan, liczi i banan. Są również tylko 3 sposoby wybrania pojedynczego owocu. Ostatnia możliwość to wybrać 0 owoców, i to może zajść tylko w 1 sposób. Innymi słowy, liczba kombinacji 3 owoców tworzy ciąg 1, 3, 3, 1 – trzeci rząd w trójkącie Pascala.

Przy czterech przedmiotach liczba kombinacji, że wybieramy żaden, po 1, 2 naraz, 3 naraz i 4 naraz, to 1, 4, 6, 4, 1 – czwarty rząd w trójkącie Pascala. Kontynuując to z coraz większą liczbą przedmiotów, zobaczymy, że trójkąt Pascala rzeczywiście stanowi tabelę referencyjną dla grupowania rzeczy.

Gdybyśmy mieli n elementów i chcielibyśmy wiedzieć, ile kombinacji możemy zrobić z m z nich, odpowiedź zawiera dokładnie m-te miejsce w n-tym rzędzie trójkąta Pascala. (Uwaga: zwyczajowo pierwszą jedynkę z lewej w każdym rzędzie traktuje się jako zerową pozycję w rzędzie). Na przykład, ile jest sposobów pogrupowania 3 owoców ze zbioru 7 owoców? Jest 35 sposobów, ponieważ na trzecim miejscu w siódmym rzędzie znajduje się 35.

Przejdźmy teraz do kombinowania obiektów matematycznych. Weźmy wyrażenie x + y. Ile wynosi (x + y)²? Tyle samo, co (x + y) · (x + y). Żeby to rozwinąć, musimy pomnożyć każdy wyraz w pierwszym nawiasie przez każdy wyraz w drugim. Otrzymamy zatem xx + xy + yx + yy, czyli x²+ 2xy + y². Zauważasz coś tutaj? Jeśli pociągniemy to dalej, wyraźniej zobaczymy pewną prawidłowość. Współczynniki poszczególnych wyrazów to rzędy z trójkąta Pascala:

(x + y)²= x²+ 2xy + y²

(x + y)³= x³+ 3x²y + 3xy²+ y³

(x + y)⁴= x⁴+ 4x³y + 6x²y²+ 4xy³+ y⁴

Matematyk Abraham de Moivre, hugenocki uchodźca osiadły w Londynie, na początku XVIII wieku pierwszy zrozumiał, że współczynniki tych równań będą zbliżać się do pewnej krzywej, im więcej razy pomnożymy przez siebie (x + y). Nie nazwał jej krzywą dzwonową ani krzywą błędu, ani rozkładem normalnym, ani rozkładem Gaussa, jak później miano ją nazywać. Krzywa zadebiutowała w literaturze matematycznej w książce Moivre’a z 1718 roku na temat hazardu zatytułowanej The Doctrine of Chances. Był to pierwszy podręcznik z teorii prawdopodobieństwa, a zarazem kolejny przykład tego, jak za sprawą hazardu rozkwitała wiedza naukowa.

Traktowałem dotąd krzywą dzwonową, jakby była jedną krzywą, tymczasem w rzeczywistości jest to cała rodzina krzywych. Wszystkie wyglądają jak dzwon, ale niektóre – jak widać na rysunkach poniżej – są szersze od innych.

Krzywe dzwonowe z różnymi odchyleniami.

Oto wyjaśnienie, dlaczego uzyskujemy różne szerokości. Gdyby Galileusz mierzył orbity planetarne za pomocą dwudziestopierwszowiecznego teleskopu, margines błędu byłby mniejszy, niż gdyby używał szesnastowiecznego. Współczesny przyrząd dałby o wiele węższą krzywą dzwonową niż staroświecki. Błędy byłyby dużo mniejsze, ale nadal rozkładałyby się w sposób normalny.

Przeciętną wartość krzywej dzwonowej nazywa się średnią. Szerokość nazywa się odchyleniem. Jeśli znamy średnią i odchylenie, to znamy kształt krzywej. To niezwykle wygodne, że normalną krzywą da się opisać za pomocą tylko 2 parametrów. Być może jednak jest to zanadto wygodne. Statystycy często zbyt gorliwie starają się odnaleźć krzywą dzwonową w swoich danych. Bill Robinson, ekonomista stojący na czele działu księgowości sądowej KPMG, przyznaje, że tak bywa.

– Uwielbiamy pracować na rozkładach normalnych, ponieważ własności matematyczne [rozkładu normalnego] zostały bardzo dobrze zbadane. Kiedy jesteśmy pewni, że mamy do czynienia z rozkładem normalnym, możemy zacząć wysuwać najróżniejsze ciekawe stwierdzenia.

Praca Robinsona, najprościej mówiąc, polega na wyszukiwaniu prawidłowości w ogromnych zbiorach danych i wnioskowaniu na ich podstawie, czy ktoś nie fałszuje ksiąg. Postępuje według tej samej strategii, jaką stosował Poincaré, który codziennie ważył chleb, z tą różnicą, że Robinson przegląda i analizuje gigabajty danych finansowych i ma do dyspozycji o wiele bardziej wyrafinowane narzędzia statystyczne.

Robinson powiedział, że jego dział na ogół wychodzi z założenia, iż dla dowolnego zbioru danych domyślnym rozkładem jest rozkład normalny.

– Lubimy zakładać, że obowiązuje krzywa normalna, bo wtedy jesteśmy w domu. Ale w rzeczywistości czasami nie obowiązuje i czasami pewnie powinniśmy szukać po omacku. Jeśli chodzi o rynki finansowe, to myślę, że faktycznie zakładaliśmy rozkład normalny, tam gdzie być może nie obowiązuje.

W ostatnich latach zarówno w środowisku naukowym, jaki i finansowym istotnie obserwuje się ostry sprzeciw wobec niegdysiejszego zaufania do rozkładu normalnego.

Rozkład, który jest w mniejszym stopniu skupiony wokół średniej niż krzywa dzwonowa, nazywa się platykurtycznym, od greckich słów platfus, czyli „płaski”, i kurtos, „wybrzuszony”. Natomiast rozkład bardziej skupiony wokół średniej nazywa się leptokurtycznym, od greckiego leptos, „cienki”. William Sealy Gosset, statystyk pracujący w browarze Guinnessa w Dublinie, w 1908 roku wymyślił następującą formułkę, by zapamiętać, który jest który: dziobak (ang. platypus) jest platykurtyczny, a całujące się kangury są leptokurtyczne. Gosset wybrał kangury, ponieważ „słynną ze skoczności (ang. lepping), choć pewnie równie dobrze mogłyby to być zające!”. Od rysunków Gosseta wywodzi się termin ogon na określenie prawego i lewego końca krzywej rozkładu.

Rozkład platykurtyczny i leptokurtyczny.

Kiedy ekonomiści mówią o rozkładach z grubym ogonem lub ciężkim ogonem, mają na myśli krzywe, których końce znajdują się wyżej nad osią niż normalnie, jakby zwierzęta Gosseta miały ogony większe od przeciętnych. Krzywe te opisują rozkłady, w których skrajne zdarzenia są bardziej prawdopodobne niż w rozkładzie normalnym. Gdyby na przykład gruby ogon miały wahania cen akcji, znaczyłoby to, że szanse radykalnego spadku lub wzrostu cen są większe, niż gdyby wahania miały rozkład normalny. Dlatego zakładanie krzywej dzwonowej zamiast krzywej o grubym ogonie może być niebezpieczne. Ekonomista Nassim Nicholas Taleb w bestsellerowej książce The Black Swan stwierdza, że na ogół nie doceniamy wielkości i znaczenia ogonów w krzywych rozkładu. Jego zdaniem, krzywa dzwonowa jest modelem wadliwym historycznie, ponieważ nie potrafi przewidywać wystąpienia ani wpływu bardzo rzadkich, skrajnych zdarzeń – takich jak ważne odkrycie naukowe, jak choćby wynalezienie internetu, czy atak terrorystyczny, jak ten z 11 września. „Wszechobecność [rozkładu normalnego] nie jest własnością świata – pisze – lecz problemem w naszych umysłach, wynikającym ze sposobu, w jaki nań patrzymy”.

Skłonność do dopatrywania się krzywej dzwonowej w danych jest bodaj najbardziej widoczna w edukacji. W Wielkiej Brytanii oceny od A do E na egzaminach na koniec roku przyznaje się w zależności od tego, gdzie wyniki ucznia plasują się na krzywej dzwonowej, do której – zgodnie z oczekiwaniami – zbliżony ma być rozkład ocen. Krzywa podzielona jest na części, przy czym A oznacza najwyższą część, B drugą w kolejności i tak dalej. Dla sprawnego działania systemu edukacji ważne jest, by odsetek uczniów otrzymujących oceny od A do E był z roku na rok porównywalny. Jeśli w danym roku byłoby zbyt wiele ocen A lub E, to skutki – za mało lub za dużo osób na pewnych przedmiotach – spowodowałyby obciążenie zasobów. Egzaminy opracowuje się w nadziei, że rozkład wyników maksymalnie pokrywa się z krzywą dzwonową – bez względu na to, czy jest to wierne odzwierciedlenie rzeczywistej inteligencji. (Może tak być z perspektywy całości, ale prawdopodobnie nie we wszystkich przypadkach).

Twierdzi się nawet, że nabożny szacunek, jakim niektórzy naukowcy darzą krzywą dzwonową, zachęca wręcz do bylejakości. Widzieliśmy na przykładzie deski Galtona, że błędy losowe mają rozkład normalny. Im więcej zatem błędów losowych możemy wprowadzić do pomiaru, tym większe prawdopodobieństwo, że dane utworzą krzywą dzwonową – choć samo mierzone zjawisko wcale nie musi mieć rozkładu normalnego. Odkrycie rozkładu normalnego w zbiorze danych może po prostu być efektem zbyt chaotycznego przeprowadzania pomiarów.

Przypomniało mi to o bagietkach. Czy ich waga rzeczywiście miała rozkład normalny? Czy ogon był cienki czy gruby? Najpierw krótka rekapitulacja. Zważyłem 100 bagietek. Rozkład ich wagi znajduje się na kolejnych stronach. Wykres wykazywał pewne obiecujące tendencje – była średnia w okolicach 400 gramów i mniej więcej symetryczne rozłożenie między 380 a 420 gramów. Gdybym był niezmordowany jak Henri Poincaré, kontynuowałbym eksperyment przez rok i miał około 365 (minus dni, kiedy piekarnia była nieczynna) pomiarów wagi do porównania. Przy większej ilości danych rozkład byłby wyraźniejszy. Moja skromniejsza próba statystyczna wystarczyła jednak, by dać wyobrażenie o powstawaniu prawidłowości. Uciekłem się do pewnej sztuczki, kondensując wyniki przez pogrupowanie wag bagietek w przedziałach ośmiogramowych. W ten sposób powstał następujący wykres:

Kiedy pierwszy raz to narysowałem, poczułem ulgę, ponieważ rzeczywiście wyglądało na to, że mój eksperyment z bagietkami zaowocował krzywą dzwonową. Fakty zdawały się pasować do teorii. Triumf nauki stosowanej! Ale kiedy przyjrzałem się lepiej, okazało się, że wykres tak naprawdę w ogóle nie jest podobny do krzywej dzwonowej. Owszem, wartości były skupione wokół średniej, ale krzywa była wyraźnie niesymetryczna. Lewa strona nie była tak stroma jak prawa. Jakby jakiś niewidzialny magnes rozciągał krzywą nieco na lewo.

Dlatego mogłem wywnioskować jedno z dwojga. Albo waga bagietek nie miała rozkładu normalnego, albo miała rozkład normalny, ale do mojej procedury eksperymentalnej wkradło się jakieś obciążenie. Domyślałem, co mogło być tym czynnikiem. Trzymałem niezjedzone bagietki w kuchni i postanowiłem zważyć jedną z nich, która miała kilka dni. Ku mojemu zdziwieniu okazało się, że ważyła tylko 321 gramów – znacząco mniej, niż wynosiła najniższa zmierzona przeze mnie waga. Zaświtało mi wtedy, że waga bagietek nie była stała, ponieważ pieczywo robi się lżejsze w miarę wysychania. Kupiłem kolejną i odkryłem, że bagietka od ósmej rano do południa traci na wadze około 15 gramów.

Teraz było jasne, że mój eksperyment zawierał błąd. Nie wziąłem pod uwagę godziny przeprowadzania pomiarów. Było niemal pewne, że wahania te wprowadzały obciążenie do rozkładu wagi. Najczęściej byłem pierwszym klientem w sklepie i ważyłem pieczywo około ósmej dziesięć rano, ale czasami wstawałem późno. Ta zmienna losowa nie miała rozkładu normalnego, ponieważ średnia mieściłaby się między ósmą a dziewiątą rano, ale nie było żadnego ogona przed ósmą, ponieważ sklep był zamknięty. Ogon po drugiej stronie rozciągał się aż do pory lunchu.

Przyszło mi wówczas jeszcze coś innego do głowy. A co z temperaturą otoczenia? Zacząłem eksperyment na początku wiosny. Zakończył się na początku lata, kiedy jest dużo goręcej. Spojrzałem na liczby i zobaczyłem, że waga bagietek była, ogólnie rzecz biorąc, niższa pod koniec przedsięwzięcia. Uznałem, że podczas letnich upałów pieczywo szybciej wysychało. I to wahanie mogło mieć wpływ na rozciągnięcie krzywej w lewo.

Mój eksperyment być może pokazał, że waga bagietek jest zbliżona do nieco zniekształconej krzywej dzwonowej, ale tak naprawdę nauczył mnie, że pomiar nigdy nie jest prosty. Rozkład normalny to teoretyczny ideał i nie można zakładać, że wszystkie wyniki będą mu odpowiadać. Zastanowiłem się nad Henrim Poincarém. Czy mierząc chleb, wyeliminował obciążenie wynikające z paryskiej pogody lub pory dnia, w której przeprowadzał pomiar? Być może udowodnił nie to, że sprzedawano mu bochenek dziewięćsetpięćdziesięciogramowy zamiast kilogramowego, a to, że od wypieku do pomiaru kilogramowy bochenek traci na masie 50 gramów.

Historia krzywej dzwonowej świetnie ilustruje ciekawy związek między naukowcami teoretycznymi i doświadczalnymi. Poincaré dostał kiedyś list od francuskiego fizyka Gabriela Lippmanna z błyskotliwym podsumowaniem, dlaczego rozkład normalny zrobił tak wielką karierę: „Wszyscy wierzą w [krzywą dzwonową]: eksperymentatorzy, ponieważ myślą, że można udowodnić ją matematycznie; a matematycy, ponieważ wierzą, że została wywiedziona z obserwacji”. W nauce, tak jak w tylu innych dziedzinach, często wolimy widzieć to, co służy naszym interesom.

Francis Galton poświęcił się nauce i podróżom tak, jak może sobie na to pozwolić wyłącznie posiadacz wielkiej fortuny. U progu dorosłości kierował ekspedycjami do słabo znanych rejonów Afryki, co przyniosło mu sporą sławę. Tak biegle posługiwał się przyrządami naukowymi, że pewnego razu zdołał za pomocą sekstansu zmierzyć na odległość figurę szczególnie dorodnej Hotentotki. Ten epizod świadczył, jak się zdaje, o chęci trzymania kobiet na dystans. Kiedy wódz plemienia podarował mu młodą kobietę wysmarowaną masłem i czerwoną ochrą, gotową na seks, Galton nie skorzystał z propozycji w obawie, że mogłaby poplamić jego garnitur z białego lnu.

Eugenika była najbardziej niesławną spuścizną naukową Galtona, nie była jednak jego najtrwalszą innowacją. Galton wprowadził kwestionariusze jako metodę badań psychologicznych. Opracował używany do dziś system klasyfikacji odcisków palców, dzięki któremu daktyloskopia weszła do repertuaru technik śledczych policji. Wymyślił również sposób graficznego przedstawiania prognozy pogody – w 1875 roku opublikował w „Timesie” pierwszą mapę pogody.

W tym samym roku Galton postanowił zatrudnić swoich przyjaciół do eksperymentu z groszkiem pachnącym. Rozdał nasiona 7 osobom, prosząc o zasianie i zwrot potomstwa. Galton mierzył ziarna potomne i porównywał ich średnice ze średnicami ziaren rodzicielskich. Zauważył zjawisko, które początkowo zdawało się przeczyć intuicji: duże nasiona dawały na ogół mniejsze potomstwo, a małe nasiona dawały na ogół większe potomstwo. Dekadę później przeanalizował dane ze swego laboratorium antropometrycznego i dostrzegł taką samą prawidłowość we wzroście ludzi. Po zmierzeniu 205 par rodziców i 928 ich dorosłych dzieci, przekonał się, że wyjątkowo wysocy rodzice mają zwykle dzieci niższe od siebie, podczas gdy wyjątkowo niscy rodzice mają zwykle dzieci wyższe od siebie.

Po zastanowieniu możemy zrozumieć, dlaczego tak się dzieje. Gdyby bardzo wysocy rodzice zawsze płodzili jeszcze wyższe dzieci i gdyby bardzo niscy rodzice zawsze płodzili jeszcze niższe, dawno zmienilibyśmy się w rasę olbrzymów i karłów. Tak się jednak nie stało. Populacje ludzkie być może stają się wyższe jako całość – dzięki lepszemu odżywianiu i opiece zdrowotnej – ale rozkład wzrostu w obrębie populacji nadal się utrzymuje.

Galton nazwał to zjawisko „regresją w kierunku mierności w dziedziczeniu postury”. Dzisiaj najczęściej używamy określenia regresja do średniej. W kontekście matematycznym regresja do średniej oznacza, że po skrajnym zdarzeniu prawdopodobnie nastąpi zdarzenie mniej skrajne. Kiedy ważąc bagietki, otrzymałem 380 gramów, czyli bardzo niską wagę, istniało duże prawdopodobieństwo, że następna bagietka będzie ważyła więcej niż 380 gramów. Analogicznie po trafieniu bagietki ważącej 420 gramów było bardzo prawdopodobne, że kolejna bagietka będzie ważyła mniej niż 420 gramów. Wizualną ilustrację mechanizmu regresji stanowi deska Galtona. Jeśli kulka rzucona z góry spadnie na skrajne miejsce po lewej, to następna upuszczona kulka zapewne wyląduje bliżej środka – ponieważ większość kulek ląduje w położeniach środkowych.

Wahania wzrostu ludzi na przestrzeni pokoleń następują jednak według innego wzorca niż wahania wagi bagietek w ciągu tygodnia czy wahania położenia kulek w desce Galtona. Z doświadczenia wiemy, że rodzice o ponadprzeciętnym wzroście zwykle mają ponadprzeciętnie wysokie dzieci. Wiemy również, że najniższy uczeń w klasie prawdopodobnie pochodzi z rodziny, w której dorośli są równie małej postury. Inaczej mówiąc, wzrost dziecka nie jest całkowicie przypadkowy w stosunku do wzrostu rodziców. Z drugiej strony waga bagietki we wtorek prawdopodobnie jest przypadkowa w stosunku do wagi bagietki w poniedziałek. Położenie jednej kulki w desce Galtona jest (praktycznie rzecz biorąc) przypadkowe w stosunku do innych wrzuconych kulek.

Aby uchwycić siłę związku między wzrostem rodziców a wzrostem dziecka, Galton wymyślił kolejną koncepcję. Narysował wykres, w którym wzrost rodziców zaznaczył na jednej osi, a wzrost dziecka na drugiej, a następnie poprowadził linię prostą przez punkty najbardziej pasujące do ich rozłożenia. (Każdą parę rodziców reprezentował wzrost pośredni między matką a ojcem – co Galton nazwał „średnią rodzicielską”.) Linia miała gradient \frac{2}{3}. Innymi słowy, na każdy cal średniej rodzicielskiej powyżej przeciętnej dziecko będzie wyższe od przeciętnej jedynie o  \frac{2}{3} cala. Na każdy cal średniej rodzicielskiej poniżej przeciętnej dziecko będzie niższe od przeciętnej jedynie o  \frac{2}{3} cala. Galton nazwał gradient tej linii współczynnikiem korelacji. Współczynnik ten jest liczbą określającą, w jakim stopniu 2 zbiory zmiennych są ze sobą powiązane. Koncepcję korelacji pełniej rozwinął protegowany Galtona, Karl Pearson, który w 1911 roku utworzył pierwszy na świecie uniwersytecki wydział statystyki na University College London.

Regresja i korelacja były ważnymi punktami zwrotnymi w myśli naukowej. Dla Isaaca Newtona i jemu współczesnych wszechświat podlegał deterministycznym prawom przyczyny i skutku. Wszystko, co się wydarzało, miało swoją przyczynę. Ale nie w każdej nauce da się tak upraszczać. W biologii pewne rezultaty – choćby wystąpienie raka płuc – mogą mieć wiele przyczyn, które splatają się ze sobą w skomplikowany sposób. Korelacja umożliwiła analizowanie niewyraźnych związków pomiędzy powiązanymi zbiorami danych. Na przykład nie każdy, kto pali, zachoruje na raka płuc, ale przyglądając się częstości występowania palenia i częstości występowania raka płuc, matematycy mogą obliczyć, jakie szanse na raka ma palacz. Podobnie nie każde dziecko z dużej klasy w szkole będzie miało gorsze wyniki niż dziecko z małej klasy, ale wielkość klas faktycznie wpływa na wyniki egzaminów. Analiza statystyczna zapoczątkowała zupełnie nowy obszar badań – w tak różnych dziedzinach, jak medycyna i socjologia czy psychologia i ekonomia. Umożliwiła nam wykorzystywanie informacji bez znajomości dokładnych przyczyn. Oryginalne spostrzeżenia Galtona pomogły uczynić ze statystyki poważaną dyscyplinę: „Niektórzy ludzie nienawidzą już samej nazwy statystyki, dla mnie jednak jest piękna i zajmująca – pisał. – Jeśli tylko się jej nie zwulgaryzuje, lecz ostrożnie przetworzy za pomocą wyższych metod i z rozwagą zinterpretuje, jej moc radzenia sobie ze skomplikowanymi zjawiskami jest nadzwyczajna”.

W 2002 roku Nagrody Nobla z ekonomii nie przyznano ekonomiście. Otrzymał ją psycholog Daniel Kahneman, który w swojej pracy naukowej (w dużej części wspólnie z Amosem Tverskim) badał czynniki poznawcze stojące za podejmowaniem decyzji. Kahneman powiedział, że zrozumieniu regresji do średniej zawdzięcza swój najwspanialszy moment olśnienia. Było to w połowie lat 60., Kahneman prowadził wykład dla instruktorów latania z izraelskich sił powietrznych. Mówił im, że w dopingowaniu kadetów do nauki pochwała jest skuteczniejsza od kary. Po zakończeniu wykładu jeden z najbardziej doświadczonych instruktorów wstał i powiedział Kahnemanowi, że nie ma racji. Człowiek ów wyjaśnił: „Często chwalę kadetów lotnictwa za czyste wykonanie jakiegoś manewru akrobatycznego i kiedy próbują to powtórzyć, na ogół idzie im gorzej. Z drugiej strony nieraz wrzeszczę na kadetów za złe wykonanie i na ogół następnym razem wychodzi im lepiej. Proszę więc nie mówić nam, że wzmacnianie działa, a karanie nie, ponieważ jest właśnie na odwrót”. W tamtej chwili Kahnemana oświeciło. Opinia instruktora latania, że kara jest skuteczniejsza niż nagroda, oparta była na niezrozumieniu regresji do średniej. Jeśli kadet wykona wyjątkowo kiepski manewr, to oczywiście następnym razem pójdzie mu lepiej – niezależnie od tego, czy instruktor upomni go, czy pochwali. I analogicznie, jeśli poradzi sobie wyjątkowo dobrze, to w kolejnej próbie prawdopodobnie wypadnie nieco gorzej. „Ponieważ na ogół nagradzamy innych, kiedy dobrze im idzie, a karzemy, kiedy idzie im źle, i ponieważ zachodzi regresja do średniej, do kondycji ludzkiej należy, że jesteśmy statystycznie karani za nagradzanie innych i nagradzani za karanie” – powiedział Kahneman.

Regresja do średniej nie jest pojęciem skomplikowanym. Mówi ono tyle, że jeśli wynik jakiegoś zdarzenia przynajmniej częściowo determinują czynniki losowe, to po skrajnym zdarzeniu prawdopodobnie nastąpi zdarzenie mniej skrajne. Mimo tej prostoty większość ludzi nie rozumie jednak regresji. Powiedziałbym nawet, że regresja jest jednym z najsłabiej rozumianych, choć najbardziej przydatnych pojęć matematycznych, jakie są niezbędne do racjonalnego pojmowania świata. Zaskakująco dużo prostych nieporozumień dotyczących nauki i statystyki wynika z nieuwzględniania regresji do średniej.

Weźmy przykład fotoradarów. Jeśli na tym samym odcinku drogi zdarzy się kilka wypadków, może stać za tym jakaś konkretna przyczyna – banda dowcipnych nastolatków przeciągnęła drut w poprzek drogi. Wystarczy aresztować żartownisiów i wypadki się skończą. A może złożyło się na to wiele czynników losowych – splot niekorzystnych warunków pogodowych, kształt drogi, zwycięstwo miejscowego klubu piłkarskiego lub decyzja okolicznego mieszkańca, by wyjść z psem na spacer. Wypadki drogowe są odpowiednikiem skrajnego zdarzenia. A po zdarzeniu skrajnym prawdopodobnie nastąpią zdarzenia mniej skrajne: czynniki losowe złożą się w taki sposób, że w efekcie będzie mniej wypadków. Fotoradary często instaluje się w miejscach, gdzie wydarzył się co najmniej 1 poważny wypadek. Mają one zmusić kierowców do wolniejszej jazdy i tym samym zmniejszyć liczbę kraks. Liczba wypadków, owszem, na ogół zmniejszy się po założeniu fotoradarów, ale niekoniecznie musi to mieć związek z samymi urządzeniami. W świetle prawa regresji do średniej nie ma znaczenia, czy zainstalowano fotoradar, bo po serii wypadków samo z siebie jest już prawdopodobne, że w tym miejscu będzie mniej kolizji. (Nie jest to argument przeciwko fotoradarom, ponieważ mogą być one faktycznie skuteczne. Jest to raczej polemika z argumentacją za fotoradarami, w której stosunkowo często czyni się niewłaściwy użytek ze statystyki).

Moim ulubionym przykładem regresji do średniej jest tak zwana klątwa „Sports Illustrated”, kuriozalne zjawisko polegające na tym, że sportowcy doświadczają wyraźnego spadku formy bezpośrednio po wystąpieniu na okładce czołowego amerykańskiego czasopisma o tematyce sportowej. Klątwa jest tak stara, jak sam magazyn. W pierwszym numerze z sierpnia 1954 roku na okładce pojawił się Eddie Mathews, który właśnie przeprowadził swoją drużynę Milwaukee Braves przez serię 9 zwycięstw. Ale kiedy tylko numer trafił do kiosków z gazetami, drużyna przegrała. Tydzień później Mathews odniósł kontuzję i musiał opuścić kilka meczów. Najsłynniejszy przypadek klątwy zdarzył się w 1957 roku, gdy na pierwszej stronie zamieszczono nagłówek „Dlaczego Oklahoma jest nie do pokonania” nawiązujący do tego, że piłkarski zespół z Oklahomy nie przegrał w 47 meczach. W sobotę po publikacji Oklahoma przegrała 0 : 7 z Notre Dame.

Jednym z wyjaśnień klątwy „Sports Illustrated” jest psychologiczna presja związana z pojawieniem się na okładce. Sportowiec lub zespół nagle znajdują się w centrum zainteresowania opinii publicznej, z perspektywą upadku z wysokiego konia. Czasami status faworyta rzeczywiście może negatywnie wpływać na wyniki sportowe. Najczęściej jednak klątwa „Sports Illustrated” stanowi po prostu ilustrację regresji do średniej. Jeśli ktoś zasłużył sobie na miejsce na okładce, zazwyczaj oznacza to, że jest w szczytowej formie. Być może miał wyjątkowy sezon lub właśnie zdobył tytuł mistrzowski albo pobił rekord. Wyniki sportowe są pochodną talentu, ale zależą również od wielu czynników losowych, takich jak to, czy rywale nie mają grypy, czy złapie się gumę albo czy gra się pod słońce. Rekordowy wynik porównywalny jest do skrajnego zdarzenia, a zgodnie prawem regresji do średniej po zdarzeniu skrajnym prawdopodobne jest zdarzenie mniej skrajne.

Rzecz jasna, zdarzają się wyjątki. Niektórzy sportowcy mają tak wielką przewagę nad rywalami, że czynniki losowe w niewielkim stopniu wpływają na ich wyniki. Mogą nie mieć szczęścia, a i tak wygrają. Na ogół jednak nie doceniamy udziału przypadku w sukcesie sportowym. W latach 80. statystycy zaczęli analizować prawidłowości w wynikach koszykarzy. Zaszokowało ich odkrycie, że to, czy dany zawodnik trafi do kosza, jest całkowicie przypadkowe. Oczywiście niektórzy zawodnicy byli lepsi od innych. Wyobraźmy sobie koszykarza A, który trafia przeciętnie w 50 procentach rzutów; innymi słowy, ma takie same szanse na zdobycie punktów, jak na spudłowanie. Badacze odkryli, że ciąg celnych i niecelnych rzutów koszykarza A najwyraźniej był zupełnie przypadkowy. Zamiast rzucać piłką równie dobrze mógłby rzucać monetą.

Teraz wyobraźmy sobie koszykarza B, który ma 60 procent szans na trafienie i 40 procent szans na spudłowanie. I tutaj ciąg koszy był losowy, jakby gracz rzucał tendencyjną monetą 60 : 40, zamiast naprawdę rzucać piłką. Kiedy zawodnik będzie miał serię trafień, eksperci będą wychwalać go pod niebiosa za świetną grę, a kiedy trafi mu się pasmo pudeł, będzie krytykowany, że ma zły dzień. Ale trafienie do kosza lub spudłowanie w jednym rzucie nie ma wpływu na to, czy trafi czy spudłuje w następnym rzucie. Każdy rzut jest równie przypadkowy, jak rzut monetą. Zawodnika B można rzeczywiście chwalić za średni wskaźnik trafień 60 : 40 na przestrzeni wielu meczów, ale chwalenie go za jakąś serię 5 koszy z rzędy nie różni się od chwalenia talentu kogoś, kto w rzucie monetą uzyskał 5 orłów z rzędu. Obaj mieli dobrą passę. Możliwe też – albo i całkiem prawdopodobne – że zawodnik A, który ogólnie nie jest tak dobry w rzucaniu koszy jak zawodnik B, będzie miał dłuższą serię udanych rzutów w jednym meczu. Nie oznacza to, że jest lepszym graczem. To losowość sprawia, że A ma dobrą passę, a B złą.

Simon Kuper i Stefan Szymanski przeanalizowali niedawno 400 meczów rozegranych przez reprezentację Anglii w piłce nożnej od 1980 roku. W książce Why England Lose napisali: „Ciąg angielskich zwycięstw [...] jest nie do odróżnienia od losowej serii rzutów monetą. Wynik ostatniego meczu Anglii nie ma wartości prognostycznej, co więcej – nie ma jej żadna kombinacja meczów angielskiej reprezentacji. To, co zdarzyło się na jednym spotkaniu, najwyraźniej nie ma związku z tym, co zdarzy się w następnym. Jedyne, co można przewidzieć, to to, że w średniej lub długiej perspektywie czasowej Anglia zdecydowanie wygra około połowy spotkań”.

Wzloty i upadki w sporcie często tłumaczy się udziałem przypadku. Po spektakularnym wzlocie możesz odebrać telefon ze „Sports Illustrated”. A wtedy masz prawie jak w banku, że czeka cię gwałtowny spadek wyników.

¹ Filmik pokazujący, jak pokroić ciasto według zasad naukowych, można obejrzeć na kanale YouTube autora: http://www.youtube.com/user/AlexInNumberland (przyp.red.).

ROZDZIAŁ JEDENASTY
Na koniec nieskończoność

Kilka lat temu Daina Taimina siedziała wygodnie na kanapie w domu w Ithace w stanie Nowy Jork, gdzie wykłada na Uniwersytecie Cornella. Ktoś z domowników zapytał ją, co robi.

– Szydełkuję płaszczyznę hiperboliczną – odrzekła, nawiązując do koncepcji, która od niemal 200 lat zadziwia i fascynuje grono matematyków.

W odpowiedzi usłyszała lekceważące pytanie:

– A widziałaś kiedyś, żeby jakiś matematyk szydełkował ?

Ten afront sprawił tylko, że Daina z jeszcze większą determinacją zaprzęgła szydełkowanie w służbę nauki. Wymyśliła tak zwane szydełkowanie hiperboliczne – technikę dziergania, dzięki której powstają przedmioty tak piękne i misterne, jak dzieła tworzone przez Women’s Institute, i która przyczyniła się do zrozumienia geometrii w sposób, jaki nigdy nawet nie przyszedł matematykom do głowy.

Wkrótce wyjaśnię szczegółowo, co znaczy słowo hiperboliczny i czego dowiedzieliśmy się dzięki szydełkowym modelom Dainy, ale na razie wystarczy wiedzieć, że geometria hiperboliczna to zupełnie sprzeczny z intuicją rodzaj geometrii, który narodził się na początku XIX wieku i w którym zbiór reguł tak starannie wyłuszczonych w Elementach przez Euklidesa uznaje się za fałszywy. Geometria nieeuklidesowa była przełomem w matematyce, opisywała bowiem teorię przestrzeni fizycznej, która przeczyła naszemu doświadczeniu świata, a zatem była trudna do wyobrażenia, choć nie zawierała żadnych sprzeczności matematycznych, więc z punktu widzenia matematyki była równie sensowna, jak system euklidesowy.

Hiperboliczna robótka szydełkowa.

W tym samym wieku innego przełomu intelektualnego podobnej wagi dokonał Georg Cantor, który postawił na głowie nasze intuicyjne rozumienie nieskończoności, dowodząc, że nieskończoność ma różne wielkości. Geometria nieeuklidesowa i teoria zbiorów Cantora otworzyły przed nami 2 wspaniałe światy, do których wyprawię się na następnych stronach. Razem wyznaczyły początek nowoczesnej matematyki.

Elementy, rekapitulując to, co mówiliśmy dużo wcześniej, to niewątpliwie najistotniejszy podręcznik do matematyki wszech czasów, który określił podstawy greckiej geometrii. Dzieło wprowadziło również metodę aksjomatyczną, którą posługiwał się Euklides: zaczynał od jasnych definicji pojęć, jakich miał używać, oraz zasad, jakich miał przestrzegać, a następnie wywodził z nich swój zbiór twierdzeń. Zasady, czyli aksjomaty, systemu to zdania przyjmowane bez dowodu, więc matematycy zawsze starają się, by były jak najprostsze i najbardziej oczywiste.

Euklides udowodnił wszystkie 465 twierdzeń Elementów, wychodząc od zaledwie 5 aksjomatów nazywanych postulatami:

Od dowolnego punktu do dowolnego innego punktu można poprowadzić odcinek.

Odcinek można dowolnie przedłużać po prostej.

Z dowolnego środka dowolnym promieniem można opisać okrąg.

Wszystkie kąty proste są przystające.

Jeśli prosta padająca na 2 proste tworzy po jednej stronie kąty wewnętrzne, które w sumie są mniejsze od 2 prostych kątów, to proste przedłużone nieograniczenie schodzą się po tej stronie, po której kąty te są w sumie mniejsze od 2 kątów prostych.

Kiedy dochodzimy do punktu 5., czujemy, że coś tu nie gra. Postulaty zaczynają się dość dziarsko. Pierwsze 4 łatwo przedstawić, łatwo zrozumieć i łatwo przyjąć. Ale skąd wziął się ten 5.? Jest rozwlekły, skomplikowany i niezbyt, jeśli w ogóle, oczywisty. A do tego nie jest nawet tak wyraźnie potrzebny: po raz pierwszy przydaje się w Elementach dopiero w twierdzeniu 29.

Mimo miłości do dedukcyjnej metody Euklidesa matematycy nienawidzili postulatu 5. – kłócił się on z ich zmysłem estetycznym, a poza tym mieli poczucie, że zakłada za dużo jak na aksjomat. W rzeczy samej, przez 2000 lat wiele wspaniałych umysłów próbowało zmienić jego status, usiłując wydedukować go z pozostałych postulatów. W ten sposób można by przeklasyfikować go na twierdzenie, zamiast pozostawiać w charakterze postulatu czy aksjomatu. Żadnemu się to jednak nie udało. Być może największym świadectwem geniuszu Euklidesa było to, że rozumiał, iż postulat 5. trzeba przyjąć bez dowodu.

Z lepszym skutkiem matematycy przeformułowywali postulat na różne sposoby. Na przykład John Wallis w XVII wieku zauważył, że da się wywieść Elementy, zachowując pierwsze 4 postulaty w niezmienionej postaci, zastępując jednocześnie postulat 5. taką alternatywą:

Dowolny trójkąt można powiększyć lub pomniejszyć do dowolnego rozmiaru w taki sposób, że proporcja długości boków pozostanie taka sama, a kąty między bokami pozostaną niezmienione.

Choć spostrzeżenie, że postulat 5., można przeformułować na zdanie o trójkątach zamiast zdania o prostych, było nie lada osiągnięciem, nie rozwiązało jednak kłopotu matematyków: alternatywny postulat Wallisa był być może odrobinę bardziej intuicyjny od postulatu 5. Euklidesa, ale nadal daleko mu było do prostoty i oczywistości pierwszych 4. Odkryto również inne ekwiwalenty postulatu 5. – twierdzenia Euklidesa pozostawały prawdziwe, kiedy postulat 5. zastępowano zdaniem, że suma kątów w trójkącie wynosi 180 stopni, że twierdzenie Pitagorasa jest prawdziwe albo że we wszystkich okręgach stosunek obwodu do średnicy wynosi pi. Choć może to wydawać się zdumiewające, wszystkie te zdania są pod względem matematycznym wymienne. Ale istotę kłopotliwego postulatu w najdogodniejszy sposób wyrażał odpowiednik dotyczący zachowania prostych. W XVIII wieku matematycy studiujący Euklidesa zaczęli preferować tę właśnie wersję, nazywaną postulatem równoległości:

Przez dowolny punkt nieleżący na danej prostej można poprowadzić co najwyżej jedną prostą równoległą do tej prostej.

Można wykazać, że postulat równoległości odnosi się do geometrii 2 rodzajów powierzchni, odwołując się do wyrażenia najwyżej jedna prosta, które w języku matematyki znaczy 1 prosta albo żadna prosta. W pierwszym przypadku, zilustrowanym na poniższym rysunku, dla dowolnej linii prostej l i punktu P istnieje tylko jedna prosta równoległa do l (oznaczona jako l'), która przechodzi przez P. Ta wersja postulatu odnosi się do najbardziej oczywistego rodzaju powierzchni, czyli powierzchni płaskiej, takiej jak kartka papieru na biurku.

Postulat równoległości.

Rozważmy teraz drugą wersję postulatu, w której dla dowolnej prostej l i punktu P nieleżącego na tej prostej nie istnieje żadna linia przechodząca przez P i równoległa do l. Z początku trudno pomyśleć, na jakiego typu powierzchni może tak być. Niech to kule biją!… Właśnie, na kuli, na przykład ziemskiej! Wyobraźmy sobie, że prosta l jest równikiem, a punkt P jest biegunem północnym. Jedyne proste przechodzące przez biegun północny to południki, takie jak południk zerowy Greenwich, a wszystkie południki przecinają równik. Nie ma więc prostych przechodzących przez biegun północny, które byłyby równoległe do równika.

Postulat o równoległych daje nam geometrię dla powierzchni płaskich i sferycznych. Elementy zajmowały się powierzchniami płaskimi, więc to one przez 2000 lat stanowiły główny przedmiot dociekań matematycznych. Powierzchnie sferyczne, takie jak Ziemia, nie interesowały teoretyków tak bardzo jak nawigatorów czy astronomów. Dopiero na początku XIX wieku matematycy stworzyli szerszą teorię, która obejmowała powierzchnie płaskie i sferyczne – i nastąpiło to dopiero po tym, jak natrafili na trzeci rodzaj powierzchni, czyli powierzchnię hiperboliczną.

Wśród tych, którzy starali się udowodnić postulat o równoległych na podstawie pierwszych 4 postulatów i tym samym wykazać, że to wcale nie jest postulat, lecz twierdzenie, szczególną determinacją wyróżniał się student inżynierii z Siedmiogrodu Janós Bolyai. Jego ojciec Farkas, matematyk, znał skalę wyzwania z własnych nieudanych prób i błagał syna, by przestał: „Na miłość boską, błagam Cię, daj sobie spokój. Strzeż się tego nie mniej niż namiętności zmysłowych, bowiem to także może pochłonąć cały Twój czas i pozbawić Cię zdrowia, spokoju umysłu i szczęścia w życiu”. Janós jednak uparcie ignorował radę ojca i nie był to jedyny przejaw jego buntu. Janós ośmielił się bowiem wziąć pod uwagę możliwość, że postulat jest nieprawdziwy. Elementy były dla matematyki tym, czym Biblia jest dla chrześcijaństwa – księgą niepodważalnych, świętych prawd. Choć spierano się, czy postulat równoległości jest aksjomatem czy twierdzeniem, nikt nie miał czelności zasugerować, że w ogóle jest nieprawdziwy. Jak się okazało, taki czyn był kluczem do nowego świata.

Postulat o równoległych mówi, że dla dowolnej prostej i punktu nieleżącego na tej prostej istnieje najwyżej jedna prosta równoległa przechodząca przez ten punkt. Zuchwałość Janósa polegała na przyjęciu, że dla danej prostej i punktu nieleżącego na niej istnieje więcej niż jedna prosta równoległa przechodząca przez ten punkt. Choć w ogóle nie było jasne, jak wyobrazić sobie powierzchnię spełniającą takie założenie, Janós zdawał sobie sprawę, że geometria stworzona przez to zdanie wraz z pierwszymi 4 postulatami zachowuje matematyczną spójność. Było to odkrycie rewolucyjne i Janós był świadom jego doniosłości. W 1823 roku oznajmił ojcu w liście: „Z niczego stworzyłem nowy wszechświat”.

Janósowi prawdopodobnie pomógł fakt, że pracował w odosobnieniu, z dala od dużych placówek matematycznych, więc w mniejszym stopniu był zindoktrynowany tradycyjnymi poglądami. Nawet po swoim odkryciu nie zdecydował się zostać matematykiem. Ukończywszy studia, zaciągnął się do wojska austro-węgierskiego, gdzie podobno był najlepszym fechmistrzem i tancerzem wśród kolegów. Był również znakomitym muzykiem – ponoć pewnego razu wyzwał 13 oficerów na pojedynek, stawiając warunek, że jeśli zwycięży, będzie mógł zagrać pokonanemu utwór na skrzypcach.

Janós nie wiedział, że niezależnie od niego inny matematyk – z zakątka oddalonego od centrum europejskiej myśli naukowej jeszcze bardziej niż Siedmiogród – czynił podobne postępy, ale jego praca została odrzucona przez matematyczny establishment. W 1826 roku Mikołaj Iwanowicz Łobaczewski, profesor uniwersytetu kazańskiego w Rosji, przesłał do cenionej na świecie Petersburskiej Akademii Nauk artykuł, w którym kwestionował prawdziwość postulatu 5. Artykułu nie przyjęto, więc Łobaczewski postanowił opublikować go w lokalnej gazecie „Goniec Kazański” i w rezultacie nikt nie zwrócił na niego uwagi.

Największą ironią losu w historii obalania postulatu Euklidesa z piedestału nienaruszalnej prawdy było jednak to, że już kilka dekad wcześniej ktoś z samego serca establishmentu matematycznego dokonał tego samego odkrycia co Janós Bolyai i Mikołaj Łobaczewski, lecz nie ujawnił swoich wyników przed kolegami. Nie wiadomo dokładnie, dlaczego Carl Friedrich Gauss, największy matematyk swojej epoki, utrzymywał badania nad postulatem o równoległych w tajemnicy, choć przeważa opinia, że chciał uniknąć wplątania się w spór o prymat Euklidesa z członkami wydziału.

Dopiero czytając o wynikach Janósa, które zostały opublikowane w 1831 roku jako aneks w książce jego ojca Farkasa, Gauss wyjawił, że również rozważał fałszywość postulatu o równoległych. Gauss napisał list do Farkasa, dawnego kolegi ze studiów, w którym nazwał Janósa „geniuszem pierwszej klasy”, dodając jednak, że nie potrafi wychwalać jego przełomowego odkrycia: „Jeśli bowiem miałbym to chwalić, chwaliłbym samego siebie. Cała treść szkicu [...] jest zbieżna z moimi własnymi odkryciami, z których część sięga 30 czy 35 lat wstecz […] Miałem zamiar spisać to wszystko później, żeby choć nie zginęło wraz ze mną. Dlatego miłą niespodzianką jest dla mnie, że oszczędzono mi tego kłopotu, i cieszę się szczególnie, że to właśnie syn mego starego przyjaciela ma przede mną pierwszeństwo w tej sprawie”. Janósa przygnębiła wiadomość, że Gauss był pierwszy. A kiedy po latach Janós dowiedział się, że wyprzedził go także Łobaczewski, zaczęła go prześladować absurdalna myśl, że Łobaczewski był fikcyjną postacią wymyśloną przez Gaussa, który w ten przebiegły sposób chciał pozbawić go zasług.

Gauss swój ostatni wkład w badania nad postulatem równoległości wniósł tuż przed śmiercią, kiedy już poważnie chory ustalił tytuł próbnego wykładu jednego ze swoich najzdolniejszych studentów, dwudziestosiedmioletniego Bernharda Riemanna: O hipotezie leżącej u podstaw geometrii. Riemann, chorobliwie nieśmiały syn luterańskiego pastora, na początku przeszedł coś na kształt załamania nerwowego, mocując się z treścią wystąpienia, ale jego rozwiązanie problemu miało zrewolucjonizować matematykę. Później zrewolucjonizowało także fizykę, gdyż innowacje Riemanna potrzebne były Einsteinowi do sformułowania ogólnej teorii względności.

Wykład Riemanna z 1854 roku utrwalił zmianę paradygmatu pojmowania geometrii związaną z obaleniem postulatu o równoległych, wprowadzając uniwersalną teorię, która obejmowała geometrię euklidesową i nieeuklidesową. Kluczową koncepcją w teorii Riemanna była krzywizna przestrzeni. Jeśli powierzchnia ma krzywiznę zerową, to jest płaska, czyli euklidesowa, i wszystkie twierdzenia Elementów pozostają ważne. Kiedy powierzchnia ma krzywiznę dodatnią lub ujemną, jest zakrzywiona, czyli nieeuklidesowa, i Elementy na niej nie obowiązują.

Krzywiznę, kontynuował Riemann, najłatwiej zrozumieć na przykładzie zachowania trójkątów. Na powierzchni o zerowej krzywiźnie kąty trójkąta sumują się do 180 stopni. Na powierzchni o krzywiźnie dodatniej suma kątów trójkąta jest większa niż 180 stopni. Na powierzchni o krzywiźnie ujemnej suma kątów trójkąta jest mniejsza niż 180 stopni.

Sfera ma krzywiznę dodatnią. Możemy się o tym przekonać, jeśli rozważymy sumę kątów trójkąta na poniższym rysunku, utworzonego przez równik, południk zerowy Greenwich oraz południk znajdujący się 73 stopnie na zachód od Greenwich (przechodzący przez Nowy Jork). Oba kąty u podstawy, gdzie południki przecinają równik, mają po 90 stopni, więc suma wszystkich trzech kątów musi być większa od 180 stopni.

Trójkąt na sferze: suma kątów jest większa niż 180 stopni.

Jakiego rodzaju powierzchnia ma krzywiznę ujemną? Gdzie, innymi słowy, można znaleźć trójkąty, w których suma kątów jest mniejsza niż 180 stopni? Odpowiedź znajdziesz w paczce Pringles. Narysuj trójkąt we wklęsłej części chipsa ziemniaczanego (najlepiej dobrą musztardą francuską) – tak jak na następnej stronie. Trójkąt wygląda na „zassany” w porównaniu z „wydętym” trójkątem na powierzchni kuli. Jego kąty mają wyraźnie mniej niż 180 stopni.

Trójkąt na chipsie: suma kątów jest mniejsza niż 180 stopni.

Powierzchnia o krzywiźnie ujemnej nazywana jest hiperboliczną. Powierzchnia pringle’a jest więc hiperboliczna. Pringles to jednak tylko przystawka do zrozumienia geometrii hiperbolicznej, ponieważ chips ma brzeg. Pokaż brzeg matematykowi, a od razu będzie chciał go przekroczyć.

Spójrzmy na to w ten sposób. Łatwo wyobrazić sobie powierzchnię o krzywiźnie zerowej i pozbawioną brzegu: na przykład ta strona, rozprostowana na biurku i przedłużona w nieskończoność we wszystkich kierunkach. Gdybyśmy mieszkali na takiej powierzchni i zaczęli iść po prostej w dowolnym kierunku, nigdy nie dotarlibyśmy do skraju. Mamy też oczywisty przykład powierzchni o krzywiźnie dodatniej i pozbawionej brzegu: sferę. Gdybyśmy mieszkali na powierzchni kuli, moglibyśmy bez końca wędrować w jednym kierunku i nigdy nie dotarlibyśmy do brzegu. (I oczywiście mieszkamy na czymś, co w przybliżeniu jest kulą. Gdyby Ziemia była zupełnie gładka, bez gór i oceanów blokujących nam drogę, to wędrując, wrócilibyśmy do punktu wyjścia i dalej chodzili w kółko).

Dobrze, a jak wygląda powierzchnia o ujemnej krzywiźnie pozbawiona brzegu? Nie może wyglądać jak pringle, ponieważ gdybyśmy mieszkali na chipsie wielkości Ziemi i zaczęli iść w jednym kierunku, w końcu zawsze byśmy z niego spadli. Matematycy długo zastanawiali się, jak może wyglądać „bezbrzeżna” powierzchnia hiperboliczna – taka, po której moglibyśmy iść do woli, nie dochodząc jednak nigdy do jej krańca, i która nigdy nie straciłaby swych hiperbolicznych właściwości. Skoro musi wyginać się jak pringle, to może trzeba posklejć ze sobą mnóstwo chipsów? Niestety, tak się nie da, ponieważ nie pasują one do siebie dokładnie, a gdybyśmy wypełnili luki inną powierzchnią, to te nowe obszary nie byłyby już hiperboliczne. Innymi słowy, pringle pozwala nam jedynie wyobrazić sobie pewną lokalną powierzchnię o właściwościach hiperbolicznych. Niesamowicie trudno natomiast – nawet najbardziej błyskotliwym umysłom – wyobrazić sobie powierzchnię hiperboliczną, która ciągnie się bez końca.

Powierzchnie sferyczne i hiperboliczne są matematycznymi przeciwieństwami – oto praktyczny przykład, który to ilustruje. Wytnijmy fragment powierzchni sferycznej z piłki do koszykówki. Kiedy przyciśniemy ten fragment do ziemi, żeby go spłaszczyć, to albo się rozciągnie, albo rozerwie, ponieważ jest za mało materiału do rozłożenia na płasko. Wyobraźmy sobie teraz, że mamy gumowego pringle’a. Kiedy spróbujemy go rozpłaszczyć, będzie miał za dużo materiału i część będzie się fałdować. Sfera zamyka się w sobie, natomiast powierzchnia hiperboliczna się rozszerza.

Wróćmy do postulatu o równoległych, za pomocą którego można zwięźle sklasyfikować powierzchnie płaskie, sferyczne oraz hiperboliczne.

Dla dowolnej prostej i punktu nieleżącego na tej prostej:

Na płaskiej powierzchni istnieje jedna i tylko jedna prosta równoległa przechodząca przez ten punkt.

Na powierzchni sferycznej istnieje zero prostych równoległych przechodzących przez ten punkt¹.

Na powierzchni hiperbolicznej istnieje nieskończona liczba prostych równoległych przechodzących przez ten punkt.

Możemy intuicyjnie zrozumieć zachowanie prostych równoległych na powierzchni płaskiej lub sferycznej, ponieważ bez trudu potrafimy wyobrazić sobie płaską powierzchnię, która rozciąga się bez końca, i wszyscy wiemy, czym jest sfera. O wiele trudniejsze jest zrozumienie zachowania prostych równoległych na powierzchni hiperbolicznej, ponieważ nie jest wcale jasne, jak taka powierzchnia ciągnąca się w nieskończoność może wyglądać. Proste równoległe w przestrzeni hiperbolicznej coraz bardziej się od siebie oddalają. Nie odkrzywiają się od siebie – bo jeśli 2 linie są równoległe, muszą też być proste – ale rozchodzą się, ponieważ przestrzeń hiperboliczna stale odgina się od samej siebie i między 2 prostymi równoległymi przyrasta coraz więcej przestrzeni. Nie mieści się to w głowie, więc nic dziwnego, że mimo swego geniuszu Riemann nie wynalazł powierzchni o opisywanych przez siebie własnościach.

Wyzwanie zobrazowania hiperbolicznej płaszczyzny elektryzowało wielu matematyków w ostatnich dziesięcioleciach XIX wieku. Henri Poincaré zaproponował model powierzchni hiperbolicznej w postaci wnętrza koła (dysku), który zainspirował M.C. Eschera do stworzenia słynnego cyklu drzeworytów Granica koła. W Granicy koła IV dwuwymiarowy wszechświat zawiera się w okrągłym dysku, w którym anioły i diabły stają się coraz mniejsze, im bardziej zbliżają się do obwodu. Anioły i diabły nie są jednak świadome, że są coraz mniejsze, ponieważ w miarę ich kurczenia się maleją również przyrządy pomiarowe. Z perspektywy mieszkańców wnętrza koła wszyscy mają taką samą wielkość, a ich wszechświat rozciąga się w nieskończoność.

Drzeworyt Granica koła IV.

Pomysłowość modelu wnętrza koła Poincarégo polega na tym, że świetnie ilustruje zachowanie prostych równoległych w przestrzeni hiperbolicznej. Najpierw musimy sobie wyjaśnić, czym są proste we wnętrzu koła. Jak proste na sferze wyglądają na zakrzywione, kiedy przedstawia się je na płaskiej mapie (na przykład szlaki lotnicze są proste, ale na mapie mają kształt łukowaty), tak linie, które są proste w świecie dysku, dla nas wyglądają, jakby były zakrzywione. Poincaré zdefiniował prostą na dysku jako łuk okręgu, który przecina dysk pod kątami prostymi. Rysunek 1 przedstawia prostą między punktami A i B, którą wykreśla się, znajdując okrąg przechodzący przez A i B i przecinający dysk pod kątami prostymi. Hiperboliczna wersja postulatu równoległości mówi, że dla każdej prostej l i nieleżącego na niej punktu P istnieje nieskończona liczba prostych równoległych do l, które przechodzą przez P. Widać to na rysunku 2, na którym zaznaczyłem proste l', l'' oraz l''' – przechodzą przez P, ale wszystkie są równoległe do l (2 linie są równoległe, jeśli obie są proste i nigdy się nie spotykają). Każda z linii l', l'' oraz l''' stanowi część innego okręgu przecinającego dysk pod kątem prostym. Patrząc na dysk, widzimy teraz, że musi istnieć nieskończona liczba prostych równoległych do l, które przechodzą przez punkt P, ponieważ możemy narysować nieskończenie wiele okręgów przecinających dysk pod kątami prostymi i przechodzących przez P. Model Poincarégo pomaga nam również zrozumieć, co to znaczy, że 2 proste równoległe rozchodzą się: l i l’ są równoległe, ale będą się coraz bardziej oddalać od siebie, im bardziej będą się zbliżać do obwodu koła.

Świat dysku Poincarégo jest pouczający, ale tylko do pewnego stopnia. Choć daje nam konceptualny model przestrzeni hiperbolicznej, zniekształconej w dość dziwnym obiektywie, nie ukazuje jednak, jak przestrzeń hiperboliczna wygląda w naszym świecie. Poszukiwaniom bardziej realistycznych modeli hiperbolicznych, które wyglądały obiecująco w ostatnich dziesięcioleciach XIX wieku, zadał cios niemiecki matematyk David Hilbert, który w 1901 roku udowodnił, że nie da się opisać powierzchni hiperbolicznej za pomocą równania. Dowód Hilberta został przyjęty przez środowisko matematyków z rezygnacją, ponieważ uznano, że skoro nie sposób opisać takiej powierzchni wzorem, to taka powierzchnia nie może tak naprawdę istnieć. Zainteresowanie wynajdywaniem modeli dla przestrzeni hiperbolicznych przygasło.

W tym miejscu wracamy do Dainy Taiminy, z którą spotkałem się w South Bank na nadrzecznej promenadzie z teatrami, galeriami sztuki i kinami w Londynie. Daina opowiedziała mi w skrócie historię przestrzeni hiperbolicznej, którą wykłada jako adiunkt na Uniwersytecie Cornella. Konsekwencją dowodu Hilberta, że przestrzeni hiperbolicznej nie da się wygenerować na postawie jakiegoś wzoru, jak wyjaśniła Daina, jest to, że komputery nie są w stanie utworzyć obrazów powierzchni hiperbolicznych, ponieważ potrafią tworzyć obrazy jedynie na podstawie wzorów. Ale w latach 70. geometra William Thurston odkrył, że o wiele bardziej obiecujące może być całkiem staroświeckie rozwiązanie. Stwierdził, że do stworzenia modelu hiperbolicznego nie potrzeba wzoru – wystarczą papier i nożyczki. Thurston, który w 1981 roku otrzymał Fields Medal (najwyższą nagrodę w matematyce), a dzisiaj pracuje razem z Dainą, opracował model posklejany ze skrawków papieru w kształcie podkowy.

Daina używała modelu Thurstona na zajęciach ze studentami, ale był tak delikatny, że ciągle się rozpadał i za każdym razem musiała robić nowy.

– Nie cierpię klejenia papieru. Doprowadza mnie to do szału – powiedziała.

W końcu doznała olśnienia. A może model płaszczyzny hiperbolicznej dałoby się wydziergać?

Pomysł był prosty: zacząć od rzędu oczek, a potem w każdym kolejnym rzędzie dodawać pewną liczbę oczek proporcjonalną do liczby oczek w poprzednim rzędzie. Na przykład dodawać 1 oczko na każde 2 oczka we wcześniejszym rzędzie. Czyli gdyby w pierwszym rzędzie było 20 oczek, w następnym byłoby 30 oczek (dodatkowe 10), w trzecim 45 oczek (dodatkowe 15) i tak dalej. (W czwartym rzędzie powinno być dodatkowe 22,5 oczka, ale ponieważ nie da się zrobić pół oczka, trzeba zaokrąglić tę liczbę w górę lub w dół). Daina miała nadzieję, że w ten sposób powstanie dzianina, która staje się coraz szersza – jakby rozrastała się hiperbolicznie. Robienie na drutach okazało się jednak zbyt nieporęczne, ponieważ po każdym błędzie musiała pruć cały rząd. Zmieniła więc druty na szydełko. W szydełkowaniu nie ma ryzyka prucia, ponieważ robi się po 1 oczku. Dość szybko nabrała wprawy. Dainie przydały się umiejętności rękodzielnicze nabyte w dzieciństwie, które spędziła w latach 60. na sowieckiej Łotwie.

W pierwszym modelu szydełkowym dodawała 1 oczko na każde 2 oczka w poprzednim rzędzie. Powstał jednak materiał z wieloma gęstymi fałdami.

– Był za bardzo poskręcany – powiedziała. – Nie było widać, co jest w środku.

Zmieniła więc proporcje i dodawała tylko 1 oczko na 5. Wyszło nadspodziewanie dobrze. Teraz robótka fałdowała się jak należy. Prześledziła linie proste rozszerzających się fałd i szybko uświadomiła sobie, że widzi proste równoległe, które się rozchodzą.

– To był obraz, który zawsze chciałam zobaczyć. – Uśmiechnęła się promiennie. – Bardzo się ucieszyłam. Miałam też ogromną satysfakcję, że własnymi rękami zrobiłam coś, czego nie da się zrobić na komputerze.

Daina pokazała hiperboliczny model szydełkowy mężowi – był równie podekscytowany jak ona. David Henderson jest profesorem geometrii na Uniwersytecie Cornella. Specjalizuje się w topologii, o której Diana, jak sama mówi, nie ma zielonego pojęcia. Wyjaśnił jej, że topologowie od dawna wiedzą, iż ośmiokąt narysowany na płaszczyźnie hiperbolicznej można złożyć w taki sposób, by przypominał spodnie. „Musimy skonstruować taki ośmiokąt!” – powiedział jej i tak właśnie zrobili.

– Nikt wcześniej nie widział hiperbolicznych spodni! – wykrzyknęła Daina i otworzyła sportową torbę, którą przyniosła ze sobą. Wyjęła szydełkowy ośmiokąt hiperboliczny i złożyła go, by pokazać mi model. Wyglądał jak śliczne wełniane spodenki dla niemowlaka.

Wśród pracowników wydziału matematycznego Cornella rozeszła się wiadomość o dzierganych tworach Dainy. Powiedziała mi, że pokazała je koledze piszącemu na temat płaszczyzn hiperbolicznych.

– Spojrzał na model i zaczął się z nim bawić. Nagle twarz mu pojaśniała. „Tak właśnie wygląda horocykl!”, powiedział, rozpoznawszy bardzo skomplikowany typ krzywej, której nigdy wcześniej nie potrafił sobie wyobrazić. Pisał o nich od początku pracy naukowej – dodała Daina – ale istniały tylko w jego wyobraźni.

Bez przesady można powiedzieć, że hiperboliczne modele Dainy dały ważny wgląd w morderczy konceptualnie obszar matematyki. Pozwoliły na intuicyjne doświadczenie płaszczyzny hiperbolicznej, dzięki nim studenci mogą dotknąć i poczuć powierzchnię, którą wcześnie pojmowano wyłącznie w abstrakcyjny sposób. Modele Dainy nie są jednak idealne. Problemem jest na przykład grubość oczek, która sprawia, że szydełkowe modele są jedynie przybliżeniem tego, co w teorii powinno być gładką powierzchnią. Ale i tak są dalece bardziej uniwersalne i trafne niż pringle. Gdyby hiperboliczna robótka szydełkowa miała nieskończoną liczbę rzędów, teoretycznie byłoby możliwe mieszkać na tej powierzchni i wędrować bez końca w jednym kierunku, nie dochodząc nigdy do brzegu.

Jednym z uroków modeli Dainy jest ich zaskakująco organiczny wygląd jak na coś, co zostało poczęte w tak formalny sposób. Kiedy względny przyrost oczek w kolejnych rzędach jest niewielki, modele wyglądają jak liście jarmużu. Kiedy przyrost jest większy, materiał naturalnie fałduje się w sposób przypominający koralowce. Daina przyjechała do Londynu na otwarcie zainspirowanej jej modelami wystawy Hyperbolic Crochet Coral Reef, która ma zwrócić uwagę na problem degradacji mórz. Dzięki swej matematycznej innowacji Daina przyczyniła się niechcący do rozkwitu globalnego ruchu szydełkowania.

W ciągu ostatniej dekady Daina wyszydełkowała ponad setkę modeli hiperbolicznych. Największy przywiozła ze sobą do Londynu. Jest cały różowy, składa się z 5,5 kilometra włóczki, waży 4,5 kilograma, a jego wykonanie zajęło 6 miesięcy. Dokończenie tego modelu było męką.

– Robił się coraz większy i trudno było go odwracać.

Niezwykłą cechą modelu jest to, że ma niesamowicie dużą powierzchnię – 3,2 metra kwadratowego, czyli dwa razy więcej niż wynosi powierzchnia samej Dainy. Powierzchnie hiperboliczne charakteryzują się maksymalną powierzchnią przy minimalnej objętości i właśnie dlatego występują w niektórych roślinach i organizmach morskich. Kiedy jakiś organizm potrzebuje dużej powierzchni – do pochłaniania pożywienia, jak w przypadku koralowców – rośnie w sposób hiperboliczny.

Gdyby Daina urodziła się mężczyzną, prawdopodobnie nigdy by nie wpadła na pomysł hiperbolicznego szydełkowania, dlatego jej wynalazki są godnym uwagi artefaktem w kulturowej historii matematyki, w której kobiety długo były niedostatecznie reprezentowane. Szydełkowanie to tylko jeden z przykładów, jak tradycyjnie kobiece rzemiosło inspiruje w ostatnich latach matematyków do eksplorowania nowych technik. Obok matematycznego robienia na drutach, szycia patchworków, haftowania i tkania złożyło się na dyscyplinę akademicką o nazwie matematyka i sztuka rękodzieła (ang. math and the fiber arts).

Kiedy wymyślono przestrzeń hiperboliczną, wydawała się ona sprzeczna z poczuciem rzeczywistości, lecz w końcu została zaakceptowana jako równie „realna” jak powierzchnia płaska czy sferyczna. Każda powierzchnia ma własną geometrię, a do nas należy decyzja, którą lepiej zastosować; jak powiedział kiedyś Henri Poincaré: „Jedna geometria nie może być prawdziwsza od drugiej; może być jedynie wygodniejsza”. Na przykład dla dzieci w szkole wyposażonych w linijki, cyrkle i płaskie kartki papieru najbardziej odpowiednia jest geometria euklidesowa, natomiast dla pilotów, którzy nawigują samolotami, najlepiej nadaje się geometria sferyczna.

Również fizyków interesuje, która geometria najbardziej pasuje do ich celów. Koncepcje Riemanna dotyczące krzywizny powierzchni dały Einsteinowi narzędzie do dokonania jednego z jego największych, przełomowych odkryć. Fizyka newtonowska zakładała, że przestrzeń jest euklidesowa (niezakrzywiona). Natomiast w ogólnej teorii względności Einsteina geometria czasoprzestrzeni (przestrzeń trójwymiarowa plus czas traktowany jako czwarty wymiar) jest zakrzywiona. W 1919 roku pewna brytyjska ekspedycja naukowa w Sobral na północnym wschodzie Brazylii zrobiła zdjęcia gwiazd za Słońcem w trakcie zaćmienia i odkryła, że przesunęły się nieco w stosunku do swoich prawdziwych pozycji. Teoria Einsteina wyjaśniła, że światło z gwiazd, nim dotrze do Ziemi, zakrzywia się w pobliżu Słońca. Choć światło zdaje się uginać przy Słońcu, kiedy patrzy się na nie w trójwymiarowej przestrzeni – a tylko w taki sposób możemy oglądać rzeczy – w rzeczywistości podąża ono po linii prostej zgodnie z zakrzywioną geometrią czasoprzestrzeni. Fakt, że teoria Einsteina poprawnie przewidziała położenie gwiazd, potwierdził słuszność jego ogólnej teorii względności i rozsławił go na cały świat. Nagłówek w londyńskim „Timesie” obwieszczał: „Rewolucja w nauce, nowa teoria wszechświata, obalenie koncepcji Newtona”.

Einstein zajmował się czasoprzestrzenią, która – jak wykazał – jest zakrzywiona. A co z krzywizną naszego wszechświata bez uwzględniania czasu jako wymiaru? Aby przekonać się, która geometria najlepiej pasuje do zachowania naszych 3 wymiarów przestrzennych w dużej skali, musimy zobaczyć, jak linie i kształty zachowują się na wyjątkowo dużych odległościach. Naukowcy mają nadzieję odkryć to na podstawie danych zbieranych przez satelitę Planck, wystrzelonego w maju 2009 roku, który mierzy kosmiczne promieniowanie tła – „echo” Wielkiego Wybuchu – z rozdzielczością i czułością wyższą niż kiedykolwiek dotąd. Obecnie sądzi się, że wszechświat jest niezakrzywiony albo sferyczny, choć nie można wykluczyć, że jest jednak hiperboliczny. Byłoby cudownie ironiczne, gdyby okazało się, że geometria uważana z początku za niedorzeczną odzwierciedla prawdziwy stan rzeczy.

Mniej więcej w tym samym czasie, kiedy matematycy badali sprzeczną z intuicją przestrzeń nieeuklidesową, pewien człowiek wywracał do góry nogami nasze pojmowanie nieskończoności. Georg Cantor był wykładowcą na Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg w Niemczech, gdzie stworzył pionierską teorię liczb, w której nieskończoność może mieć różne wielkości. Pomysły Cantora były tak niekonwencjonalne, że początkowo wywoływały jedynie drwiny ze strony wielu kolegów. Henri Poincaré na przykład określił jego pracę jako „zaburzenie, perwersyjną chorobę, z której pewnego dnia matematyka się wyleczy”, Leopold Kronecker zaś, dawny nauczyciel Cantora i profesor matematyki na berlińskim uniwersytecie, zlekceważył go jako „szarlatana” i „deprawatora młodzieży”.

Ta wojna na słowa prawdopodobnie przyczyniła się do załamania nerwowego trzydziestodziewięcioletniego Cantora w 1884 roku, pierwszego z wielu epizodów zaburzeń psychicznych i hospitalizacji. W książce na temat Cantora Everything and More David Foster Wallace pisze: „Chory Umysłowo Matematyk zdaje się dzisiaj pod pewnymi względami być tym, czym Błędny Rycerz, Umartwiony Święty, Udręczony Artysta i Szalony Naukowiec byli dla poprzednich epok: kimś na kształt naszego Prometeusza, kimś, kto wyprawia się do zakazanych miejsc i powraca z darami, z których wszyscy możemy korzystać, ale tylko on jeden za nie płaci”. Winę za idealizowanie związku między matematyką a obłędem ponoszą literatura i film. Taki stereotyp pasuje do wymogów narracyjnych hollywoodzkiego scenariusza (dowód rzeczowy A: Piękny umysł), ale rzecz jasna jest krzywdzącą generalizacją. Niewykluczone jednak, że wielkim matematykiem, który dał asumpt do powstania tego archetypu, był właśnie Cantor. Stereotyp świetnie do niego pasuje, zwłaszcza że zmagał się z nieskończonością – pojęciem z pogranicza matematyki, filozofii i religii. Nie dość, że zakwestionował doktrynę matematyczną, to jeszcze przedstawił zupełnie nową teorię wiedzy i – w swoim mniemaniu – ludzkiego pojmowania Boga. Nic dziwnego, że przy okazji zdenerwował kilka osób.

Nieskończoność to jedno z najbardziej obezwładniających pojęć w matematyce. Widzieliśmy wcześniej przy okazji paradoksów Zenona, że wyobrażanie sobie nieskończonej liczby coraz mniejszych odległości najeżone jest matematycznymi i filozoficznymi pułapkami. Grecy unikali nieskończoności, jak tylko mogli. Euklides wyrażał idee nieskończoności za pomocą twierdzeń przeczących. Na przykład jego dowód, że istnieje nieskończona liczba liczb pierwszych, w istocie jest dowodem, że nie istnieje największa liczba pierwsza. Starożytni wzdragali się przed uznaniem nieskończoności za niezależne pojęcie i dlatego nieskończone ciągi w paradoksach Zenona stanowiły dla nich tak wielki problem.

W XVII wieku matematycy byli już skłonni zaakceptować działania obejmujące nieskończoną liczbę kroków. Praca Johna Wallisa, który w 1655 roku wprowadził symbol ∞ na oznaczenie nieskończoności w swoich badaniach nad wielkościami nieskończenie małymi, utorowała drogę dla rachunku różniczkowego Isaaca Newtona. Odkrycie przydatnych równań o nieskończonej liczbie składników, takich jak \frac{\pi} = 1 – \frac{1} + \frac{1} – \frac{1} + …, pokazało, że nieskończoność nie jest wrogiem, ale mimo to nadal traktowano ją z ostrożnością i podejrzliwością. W 1831 roku Gauss wyraził powszechną opinię, stwierdzając, że nieskończoność jest „jedynie sposobem mówienia” o granicy, do której nikt nigdy nie dotarł, ideą, która po prostu wyraża potencjał kontynuowania bez końca. Herezja Cantora polegała na tym, że potraktował nieskończoność jako coś samoistnego.

Matematycy przedcantorowscy obawiali się traktowania nieskończoności jak każdej innej liczby, ponieważ zawierała wiele zagadek – najsłynniejszą z nich opisał Galileusz w Rozmowach i dowodzeniach matematycznych w zakresie dwóch nowych umiejętności, stąd nazywana jest paradoksem Galileusza:

1. Niektóre liczby są kwadratami, jak 1, 4, 9 i 16, a niektóre nie są kwadratami, jak 2, 3, 5, 6, 7.

2. Całość wszystkich liczb musi być większa niż całość kwadratów, ponieważ całość wszystkich liczb zawiera kwadraty i niekwadraty.

3. Mimo to dla każdej liczby możemy narysować wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość między liczbą a jej kwadratem, na przykład:

4. A zatem w rzeczywistości jest tyle samo kwadratów, ile liczb. Co stanowi sprzeczność, ponieważ w punkcie drugim powiedzieliśmy, że jest więcej liczb niż kwadratów.

Wniosek Galileusza był taki, że w odniesieniu do nieskończoności pojęcia liczbowe „większe”, „równe” i „mniejsze” nie mają sensu. Pojęcia te mogą być zrozumiałe i spójne, kiedy mowa o wielkościach skończonych, ale nie przy nieskończonych. Stwierdzenie, że jest więcej liczb niż kwadratów lub że jest tyle samo liczb i kwadratów, nie ma sensu, ponieważ całość zarówno liczb, jak i kwadratów jest nieskończona.

Georg Cantor stworzył nowy sposób myślenia o nieskończoności, w którym przezwyciężony został paradoks Galileusza. Zamiast myśleć o pojedynczych liczbach, Cantor rozważał kolekcje liczb, które nazwał „zbiorami”. Moc zbioru jest to liczba elementów danej kolekcji. Tak więc {1, 2, 3} to zbiór o mocy 3, a {17, 29, 5, 14} to zbiór o mocy 4. Teoria zbiorów Cantora sprawia, że serce zaczyna bić szybciej, kiedy rozważa się zbiory o nieskończonej liczbie elementów. Cantor wprowadził nowy symbol na oznaczenie nieskończoności \aleph_0 (alef zero), wykorzystując pierwszą literę alfabetu hebrajskiego z indeksem 0, i powiedział, że taka jest moc zbioru liczb naturalnych, czyli {1, 2, 3, 4, 5, ...}. Każdy zbiór, którego elementy można przyporządkować w sposób wzajemnie jednoznaczny liczbom naturalnym, również ma moc \aleph_0. Skoro zatem istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między liczbami naturalnymi a ich kwadratami, to zbiór kwadratów {1, 4, 9, 16, 25, ...} ma moc \aleph_0. Tak samo zbiór liczb nieparzystych {1, 3, 5, 7, 9, ...}, zbiór liczb pierwszych {2, 3, 5, 7, 11, ...} oraz zbiór liczb zawierających w sobie 666 {666, 1666, 2666, 3666, ...} mają moc \aleph_0. Jeśli mamy zbiór o nieskończonej liczbie elementów i możliwe jest przeliczenie jego elementów jeden po drugim, tak by ostatecznie dotrzeć do każdego elementu, to moc tego zbioru wynosi \aleph₀. Stąd też \aleph_0 nazywany jest również „nieskończonością przeliczalną”. Ekscytujące jest to, że – jak pokazał Cantor – możemy iść dalej. Choć wielki, \aleph_0 jest zaledwie beniaminkiem w cantorowskiej rodzinie nieskończoności.

Przedstawię nieskończoność większą od \aleph_0 na przykładzie historyjki, jaką ponoć opowiadał David Hilbert na swoich wykładach, o hotelu z przeliczalnie nieskończoną, czyli \aleph_0, liczbą pokojów. Ten słynny przybytek, uwielbiany przez matematyków, nazywany bywa czasem hotelem Hilberta.

W hotelu Hilberta znajduje się nieskończona liczba pokojów i są one ponumerowane 1, 2, 3, 4, … Pewnego dnia do recepcji przychodzi podróżny, ale dowiaduje się, że hotel jest pełny. Pyta, czy dałoby się jakoś znaleźć dla niego pokój. Recepcjonista odpowiada, że oczywiście! Wystarczy, że kierownictwo przekwateruje gości do innych pokojów w następujący sposób: gość z pokoju 1 zostanie przeniesiony do pokoju 2, gość z pokoju 2 do pokoju 3 i tak dalej – każdy zostanie przeniesiony ze swego pokoju n do pokoju n + 1. Jeśli tak się zrobi, to każdy gość dalej będzie miał pokój, a pokój 1 zostanie zwolniony dla nowo przybyłego. Doskonale!

Następnego dnia pojawia się bardziej skomplikowana sytuacja. Przyjeżdża autokar, z którego wszyscy pasażerowie potrzebują pokojów. Autokar ma nieskończoną liczbę miejsc, ponumerowanych 1, 2, 3 i tak dalej, i wszystkie są zajęte. Czy dałoby się jakoś znaleźć pokoje dla wszystkich bez wyjątku pasażerów? Innymi słowy, czy mimo że hotel jest pełny, recepcjonista może przemeldować gości do innych pokojów w taki sposób, by uzyskać nieskończoną liczbę wolnych pokojów dla pasażerów autokaru? Łatwizna, pada odpowiedź. Wystarczy, że kierownictwo przeniesie tym razem każdego gościa do pokoju o numerze dwa razy większym niż jego dotychczasowy pokój, dzięki czemu zajęte zostaną pokoje 2, 4, 6, 8, … Zwolnią się wszystkie pokoje o numerach nieparzystych i klucze do nich można wręczyć pasażerom autobusu. Pasażer z pierwszego miejsca dostaje pokój 1, czyli pierwszy numer nieparzysty, pasażer z drugiego miejsca dostaje pokój 3, drugi numer nieparzysty i tak dalej.

Trzeciego dnia pod hotel Hilberta podjeżdża jeszcze więcej autokarów. A właściwie nieskończenie wiele. Autokary ustawiły się w rzędzie, autokar pierwszy obok autokaru drugiego, który jest obok autokaru trzeciego i tak dalej. Każdy autokar ma nieskończoną liczbę pasażerów, tak jak autokar, który przyjechał dzień wcześniej. Każdy pasażer potrzebuje oczywiście pokoju. Czy da się jakoś znaleźć pokój dla każdego pasażera z każdego autokaru w (pełnym już) hotelu Hilberta?

Nie ma sprawy, mówi recepcjonista. Najpierw musi opróżnić nieskończoną liczbę pokojów. Robi to za pomocą wczorajszej sztuczki – przenosi każdego do pokoju o dwukrotnie większym numerze. W ten sposób zwolnione zostają wszystkie pokoje o nieparzystych numerach. Aby pomieścić nieskończone tłumy z autokarów, musi jedynie znaleźć sposób przeliczenia wszystkich pasażerów, ponieważ wtedy będzie mógł przydzielić pierwszego pasażera do pokoju 1, drugiego do pokoju 3, trzeciego do pokoju 5 i tak dalej.

Robi to w sposób pokazany w tabeli na następnej stronie: sporządza listę pasażerów według miejsc w każdym autokarze. Każdy pasażer otrzymuje oznaczenie w postaci m/n, gdzie m jest numerem autokaru, którym przyjechał, a n to jego numer miejsca. Jeśli zaczniemy od pasażera z pierwszego miejsca w pierwszym autokarze (osoba 1/1), a dalej będziemy postępować zgodnie z poniższą metodą przekątniową, by drugą osobą był pasażer, który zajmuje drugie miejsce w pierwszym autokarze (1/2), a trzecią pierwszy pasażer z drugiego (2/1), w końcu przeliczymy wszystkich pasażerów bez wyjątku.

Przełóżmy to na symbole matematyczne:

Kiedy znaleziono pokój dla jednej osoby, pokazało to, że 1 + \aleph_0 = \aleph_0

Kiedy udało się znaleźć pokoje dla przeliczalnie nieskończonej liczby osób, zobaczyliśmy, że \aleph_0 + \aleph_0 = \aleph_0

Kiedy udało się znaleźć pokoje dla przeliczalnie nieskończonej liczby autokarów, z których każdy miał przeliczalnie nieskończoną liczbę pasażerów, okazało się, że \aleph_0 · \aleph_0 = \aleph_0

Tego właśnie spodziewamy się po nieskończoności: dodając nieskończoność do nieskończoności, otrzymamy nieskończoność, mnożąc nieskończoność przez nieskończoność, również otrzymamy nieskończoność.

Zatrzymajmy się na chwilę w tym miejscu. Doszliśmy już do zdumiewającego wyniku. Przyjrzyj się jeszcze raz tabeli miejsc i autokarów. Potraktuj każdą osobę oznaczoną m/n jako ułamek \frac{m}. Tabela po rozwinięciu w nieskończoność obejmie wszystkie bez wyjątku ułamki dodatnie, ponieważ ułamki dodatnie można zdefiniować jako \frac{m} dla wszystkich liczb naturalnych m i n. Na przykład ułamek \frac{5628} zostanie ujęty w 5628. rzędzie i 785. kolumnie. Przekątniową metodę przeliczania, za pomocą której przeliczono wszystkich pasażerów ze wszystkich autokarów, można zatem zastosować również do przeliczenia wszystkich ułamków dodatnich. Innymi słowy, zbiór wszystkich ułamków dodatnich i zbiór liczb naturalnych mają taką samą moc wynoszącą \aleph_0. Intuicyjnie wydawałoby się, że powinno być więcej ułamków niż liczb naturalnych, ponieważ między dowolnymi 2 liczbami naturalnymi znajduje się nieskończona liczba ułamków, ale Cantor pokazał, że nasza intuicja jest w błędzie. Ułamków dodatnich jest tyle samo co liczb naturalnych. (Co więcej, jest tyle samo ułamków dodatnich i ujemnych, co liczb naturalnych, ponieważ ułamków dodatnich jest \aleph_0, a ułamków ujemnych \aleph_0, a jak widzieliśmy wyżej, \aleph_0 + \aleph_0 = \aleph_0).

Osobliwość tego wyniku możemy sobie uzmysłowić na przykładzie osi liczbowej, w której liczby pojmuje się jak punkty na linii. Oto oś liczbowa zaczynająca się od 0 i zmierzająca w kierunku nieskończoności.

Każdy ułamek dodatni można potraktować jak punkt na osi. Z poprzedniego rozdziału wiemy, że istnieje nieskończona liczba ułamków między 0 a 1, tak samo jak między 1 a 2 czy między innymi dowolnymi 2 liczbami. Wyobraźmy sobie teraz, że przykładamy do osi mikroskop, by zajrzeć między punkty oznaczające ułamki \frac{1} i \frac{2}{100}. Jak dowiedzieliśmy się wcześniej, istnieje nieskończona liczba punktów oznaczających ułamki między tymi 2 punktami. Gdziekolwiek byśmy umieścili mikroskop na osi i jakkolwiek maleńki byłby odstęp między 2 punktami oglądanymi pod mikroskopem, zawsze będzie nieskończenie wiele punktów reprezentujących ułamki w tym przedziale. Ponieważ gdzie nie spojrzymy, wszędzie są nieskończone liczby punktów oznaczających ułamki, niezwykle zaskakujące jest, że w rzeczywistości da się je przeliczyć w postaci uporządkowanej listy, która obejmie wszystkie bez wyjątku.

A teraz główna atrakcja: dowód, że istnieje moc zbioru większa niż \aleph_0. Wróćmy do hotelu Hilberta. Tym razem hotel jest pusty, kiedy zjawia się nieskończona liczba osób potrzebujących pokoju. Podróżni nie przyjeżdżają autokarami; są nieprzebranym tłumem. Każdy ma T-shirt przedstawiający rozwinięcie dziesiętne jakiejś liczby między 0 a 1. Nie ma 2 osób z takim samym rozwinięciem dziesiętnym na piersi i występują wszystkie bez wyjątku rozwinięcia dziesiętne między 0 a 1.

(Rzecz jasna, rozwinięcia dziesiętne są nieskończenie długie, więc T-shirty musiałyby być nieskończenie szerokie, by je pomieścić, ale skoro już zawiesiliśmy niedowierzanie, aby wyobrazić sobie hotel z nieskończoną liczbą pokojów, to myślę, że prośba o wyobrażenie sobie tych T-shirtów jest do przyjęcia).

Kilku przybyłych wpada do recepcji i pyta, czy w jakiś sposób hotel może ich przyjąć. Aby to zrobić, recepcjonista musi jedynie znaleźć sposób przeliczenia wszystkich bez wyjątku rozwinięć dziesiętnych między 0 a 1, ponieważ wtedy będzie mógł przydzielić im pokoje. Wydaje się, że poradzi sobie z tym zadaniem, skoro wcześniej potrafił znaleźć sposób ponumerowania nieskończonej liczby pasażerów z nieskończonej liczby autokarów. Tym razem jest to jednak niemożliwe. Nie da się przeliczyć wszystkich bez wyjątku rozwinięć dziesiętnych między 0 a 1 w taki sposób, byśmy mogli zapisać je wszystkie w postaci uporządkowanej listy. Aby to udowodnić, pokażę, że dla każdej nieskończonej listy liczb między 0 a 1 zawsze znajdzie się jakaś liczba między 0 a 1, której nie ma na tej liście.

Robi to się tak. Wyobraź sobie, że pierwszy przybyły ma koszulkę z rozwinięciem 0,6429657…, drugi ma 0,0196012… i recepcjonista przydziela im pokoje 1 i 2. Powiedzmy, że kontynuuje przydzielanie pokojów innym przybyłym, tworząc w ten sposób nieskończoną listę, która rozpoczyna się tak (pamiętaj, że każde z tych rozwinięć ciągnie się bez końca):

Pokój 1

0,6429657…

Pokój 2

0,0196012…

Pokój 3

0,9981562…

Pokój 4

0,7642178…

Pokój 5

0,6097856…

Pokój 6

0,5273611…

Pokój 7

0,3002981…

Pokój …

0,…

Celem jest, jak ustaliliśmy wcześniej, znaleźć rozwinięcie dziesiętne między 0 a 1, które nie znajduje się na tej liście. Robimy to za pomocą następującej metody. Po pierwsze tworzymy liczbę, która na pierwszym miejscu po przecinku ma cyfrę taką jak pierwsza cyfra po przecinku liczby z pokoju 1, na drugim miejscu po przecinku drugą cyfrę z pokoju 2, na trzecim miejscu po przecinku trzecią cyfrę z pokoju 3 i tak dalej. Innymi słowy, wybieramy podkreślone cyfry przekątne:

0,6429657…

0,0196012…

0,9981562…

0,7642178…

0,6097856…

0,5273611…

0,3002981…

Ta liczba to:

0,6182811…

Jesteśmy prawie na miejscu. Teraz musimy zrobić ostatnią rzecz, by skonstruować naszą liczbę, której nie ma na liście recepcjonisty: zmieniamy każdą cyfrę w tej liczbie. Dodajmy na przykład 1 do każdej cyfry, więc 6 stanie się 7, 1 stanie się 2, 8 stanie się 9 i tak dalej, aż otrzymamy liczbę: 0,7293922…

Teraz ją mamy. To rozwinięcie dziesiętne jest wyjątkiem, którego szukaliśmy. Nie może być na liście recepcjonisty, ponieważ stworzyliśmy ją sztucznie. Liczby tej nie ma w pokoju 1, ponieważ jej pierwsza cyfra jest różna od pierwszej cyfry z pokoju 1. Liczby tej nie ma w pokoju 2, ponieważ jej druga cyfra jest różna od drugiej cyfry z pokoju 2 – kontynuując, przekonamy się, że liczba ta nie może być w żadnym pokoju n, ponieważ jej n-ta cyfra zawsze będzie różna od n-tej cyfry rozwinięcia pokoju n. Nasze specjalnie skrojone rozwinięcie 0,7293922… nie może być zatem równe żadnemu rozwinięciu przypisanemu do jakiegoś pokoju, ponieważ zawsze będzie różniło się przynajmniej 1 cyfrą od rozwinięcia przypisanego do tego pokoju. Na liście jak najbardziej może znajdować się liczba, której pierwsze 7 miejsc po przecinku to 7293922, ale jeśli ta liczba jest na liście, to będzie różnić się od naszej specjalnej liczby przynajmniej 1 cyfrą na dalszych miejscach po przecinku. Inaczej mówiąc, choćby recepcjonista kontynuował przydzielanie pokojów bez końca, nie znajdzie pokoju dla podróżnego w koszulce ze stworzoną przez nas liczbą rozpoczynającą się od 0,7293922…

Wybrałem listę zaczynającą się od arbitralnych liczb 0,6429657… i 0,0196012…, ale równie dobrze mógłbym wybrać listę rozpoczynającą się od jakichkolwiek liczb. Dla każdej możliwej do sporządzenia listy zawsze da się utworzyć metodą „przekątniową” liczbę, której nie ma na tej liście. Hotel Hilberta może mieć nieskończoną liczbę pokojów, lecz mimo to nie może pomieścić nieskończonej liczby osób określonych za pomocą ułamków dziesiętnych między 0 a 1. Zawsze na zewnątrz pozostaną jacyś ludzie. Hotel po prostu nie jest dostatecznie duży.

Odkrycie, że istnieje nieskończoność większa niż nieskończoność liczb naturalnych, było jednym z największych przełomów w dziewiętnastowiecznej matematyce. Jest ono oszałamiające, a jego siła polega między innymi na tym, że tak naprawdę całkiem prosto je wyjaśnić: niektóre nieskończoności są przeliczalne i mają wielkość \aleph_0, a niektóre nieskończoności nie są przeliczalne, więc są większe. Nieskończoności nieprzeliczalne mogą mieć różną wielkość.

Nieprzeliczalna nieskończoność, którą najłatwiej zrozumieć, nazywa się c – jest to liczba ludzi, którzy przybyli do hotelu Hilberta w koszulkach zawierających wszystkie rozwinięcia dziesiętne między 0 a 1. I tym razem warto zinterpretować c, odwołując się do osi liczbowej. Każdą osobę z rozwinięciem dziesiętnym spomiędzy 0 a 1 na koszulce można potraktować jako punkt pomiędzy 0 a 1 na osi. Inicjału c używa się, ponieważ oznacza continuum punktów na osi liczbowej.

Tutaj dochodzimy do innego dziwnego wyniku. Wiemy, że między 0 a 1 jest c punktów, ale wiemy też, że jest \aleph_0 ułamków w całości osi liczbowej. Skoro dowiedliśmy, że c jest większe niż \aleph_0, to punktów między 0 a 1 na osi musi być więcej niż punktów reprezentujących ułamki na całej osi liczbowej.

Cantor ponownie przywiódł nas do świata bardzo sprzecznego z intuicją. Ułamki, choć jest ich nieskończenie wiele, stanowią jedynie maleńką, maciupeńką część osi liczbowej. Są o wiele rzadziej rozsiane na osi niż innego rodzaju liczby, które składają się na oś liczbową, liczby, których nie można wyrazić w postaci ułamków – nasze stare znajome liczby niewymierne. Okazuje się, że liczby niewymierne są tak gęsto upakowane, że w dowolnym skończonym przedziale na osi liczbowej jest ich więcej niż ułamków na całej osi liczbowej.

Wprowadziliśmy c jako liczbę punktów na osi liczbowej między 0 a 1. Ile punktów znajduje się między 0 a 2 lub między 0 a 100? Dokładnie c. Co więcej, między dowolnymi 2 punktami na osi liczbowej mieści się dokładnie c punktów, niezależnie od tego, jak daleko lub jak blisko te 2 punkty są od siebie położone. Jeszcze bardziej zdumiewające jest to, że zbiór punktów na całej osi liczbowej również wynosi c, co ilustruje dowód na poniższym rysunku. Chodzi o pokazanie, że istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość między punktami leżącymi między 0 a 1 oraz punktami leżącymi na całej osi liczbowej. W tym celu tworzy się pary złożone z dowolnej liczby na osi i odpowiedniego punktu z przedziału między 0 a 1. Najpierw narysujmy półokrąg zawieszony nad 0 i 1. Półokrąg ten odgrywa rolę swatki, która kojarzy punkty między 0 a 1 z punktami na osi liczbowej. Weźmy dowolny punkt A na osi liczbowej i narysujmy prostą przechodzącą przez punkt A i środek okręgu. Z punktu przecięcia z półokręgiem rysujemy odcinek prostopadły do osi liczbowej i otrzymujemy na osi punkt A' położony w unikalnej odległości między 0 a 1. W ten sposób możemy połączyć w parę każdy punkt A z unikalnym punktem A'. Kiedy wybrany przez nas punkt A zmierza do +∞, odpowiadający mu punkt między 0 a 1 zbliża się do 1, a kiedy wybrany punkt zmierza do –∞, odpowiadający mu punkt zbliża się do 0. Jeśli każdy punkt na osi liczbowej można połączyć w parę z unikalnym punktem między 0 a 1 i vice versa, to liczba punktów na osi liczbowej musi być równa liczbie punktów między 0 a 1.

Różnica między \aleph_0 a c to różnica między liczbą punktów na osi liczbowej, które są ułamkami, a całkowitą liczbą punktów obejmującą ułamki i liczby niewymierne. Przepaść między \aleph_0 i c jest jednak tak ogromna, że gdybyśmy wybrali na chybił trafił punkt z osi liczbowej, mielibyśmy 0 procent szans na to, że trafimy na ułamek. Po prostu nie ma ich dostatecznie dużo w porównaniu z nieprzeliczalnie nieskończoną liczbą liczb niewymiernych.

Choć pomysły Cantora były na początku trudne do przyjęcia, historia przyznała mu słuszność – dzisiaj alef na dobre zadomowił się w liczbowym towarzystwie, a dowody zygzakowy i przekątniowy zaliczane są do najbardziej olśniewających w całej matematyce. David Hilbert powiedział: „Z raju stworzonego dla nas przez Cantora nikt nas nie wygna”.

Niestety dla Cantora, raj ten zrodził się kosztem jego zdrowia umysłowego. Po pierwszym załamaniu nerwowym Cantor zaczął zajmować się innymi dziedzinami, między innymi teologią i historią elżbietańską. Nabrał przekonania, iż sztuki Williama Szekspira napisał naukowiec Francis Bacon, i udowadnianie autorstwa Bacona stało się jego osobistą misją oraz polem coraz bardziej nieobliczalnych zachowań. W 1911 roku podczas wykładu na uniwersytecie w Saint Andrews, gdzie zaproszono go, by mówił o matematyce, ku wielkiemu zakłopotaniu gospodarzy przedstawiał swoje poglądy na temat Szekspira. Cantor przeszedł jeszcze kilka załamań nerwowych i często był hospitalizowany aż do śmierci w 1918 roku.

Cantor, który był żarliwym luteraninem, pisał wiele listów do duchownych na temat znaczenia swoich wyników. Wierzył, że jego podejście do nieskończoności pokazało, że może być ona przedmiotem ludzkiego namysłu, a tym samym zbliża do Boga. Cantor miał żydowskie korzenie, co – jak się twierdzi – być może wpłynęło na wybór alefu jako symbolu nieskończoności, ponieważ mógł wiedzieć, że w mistycznej tradycji żydowskiej kabały alef symbolizuje jedność Boga. Cantor mówił, że jest dumny ze swojego wyboru, ponieważ alef jako pierwsza litera alfabetu hebrajskiego stanowi idealny symbol nowego początku.

Alef jest również idealnym miejscem na zakończenie naszej podróży. Matematyka, jak pisałem w pierwszych rozdziałach tej książki, zrodziła się z potrzeby zrozumienia otaczającego świata. Nacinając karby na patykach lub licząc na palcach, nasi przodkowie wynaleźli liczby. Było to przydatne w rolnictwie i handlu i zapoczątkowało „cywilizację”. W miarę rozwoju matematyka odchodziła stopniowo od rzeczy realnych, by zajmować się coraz bardziej abstrakcyjnymi. Grecy wprowadzili pojęcia punktu i prostej, a Hindusi wynaleźli 0, które utorowało drogę do jeszcze bardziej radykalnych abstrakcji, takich jak liczby ujemne. Choć pojęcia te z początku były sprzeczne z intuicją, zostały szybko przyswojone i dzisiaj używamy ich na co dzień. Jednak pod koniec XIX wieku pępowina łącząca matematykę z naszym własnym doświadczeniem została przerwana raz na zawsze. Po Riemannie i Cantorze matematyka straciła związek z intuicyjnym pojmowaniem świata.

Po odkryciu c Cantor nie spoczął na laurach i udowodnił, że istnieją jeszcze większe nieskończoności. Jak widzieliśmy, c jest liczbą punktów na osi. Jest ona równa również liczbie punktów na dwuwymiarowej powierzchni. (To kolejny zaskakujący wynik, co do którego będziecie musieli uwierzyć mi na słowo). Niech d będzie liczbą wszystkich możliwych prostych, krzywych i esów-floresów, jakie można narysować na dwuwymiarowej powierzchni. (Proste, krzywe i esy-floresy mogą być ciągłe, jakby narysowane bez odrywania długopisu od kartki, bądź nieciągłe, jakbyśmy podczas rysowania przynajmniej raz oderwali długopis od kartki, pozostawiając luki między różnymi częściami tej samej linii). Za pomocą teorii zbiorów możemy udowodnić, że d jest większe od c. Możemy zrobić kolejny krok i wykazać, że musi istnieć nieskończoność większa niż d. Jednak nikt do tej pory nie zdołał znaleźć zbioru naturalnie występujących rzeczy o mocy większej niż d.

Cantor wyprowadził nas poza granice wyobraźni. To cudowne miejsce, zabawne przeciwieństwo sytuacji amazońskiego plemienia, o którym mówiłem na początku książki. Munduruku mają wiele rzeczy, ale za mało liczb, by je policzyć. Cantor dał nam tyle liczb, ile tylko chcemy, ale nie ma już czego liczyć.

¹ Może myślisz, że równoleżniki są równoległe do równika. Nie jest to prawdą, ponieważ równoleżniki (z wyjątkiem równika) nie są liniami prostymi, a tylko linie proste mogą być wzajemnie równoległe. Linia prosta to najkrótszy odcinek między dwoma punktami, co tłumaczy, dlaczego samolot lecący z Nowego Jorku do Madrytu, mimo że oba miasta leżą na tym samym równoleżniku, nie leci wzdłuż równoleżnika, lecz po trasie, która na dwuwymiarowej mapie wygląda na łukowatą.

Słowniczek

Aksjomat: zdanie, które jest przyjmowane bez dowodu, zwykle dlatego, że jest oczywiste, i służy jako podstawa pewnego systemu logicznego.

Algorytm: zestaw reguł lub poleceń, które prowadzą do rozwiązania jakiegoś problemu.

Ambigram: słowo (lub zestaw słów) napisane w taki sposób, by ukryć inne słowa, często to samo słowo (lub zestaw słów) zapisane do góry nogami.

Błądzenie losowe: graficzna interpretacja losowości, w której każde zdarzenie losowe wyrażane jest w postaci ruchu w przypadkowym kierunku.

Bryła platońska: każda z 5 brył, których wszystkie boki są identycznymi wielokątami foremnymi; inaczej mówiąc czworościan, sześcian, ośmiościan, dwunastościan i dwudziestościan.

Ciąg geometryczny: ciąg liczb, w którym następny wyraz powstaje z pomnożenia poprzedniego wyrazu przez stałą liczbę.

Dyskalkulia: zaburzenie zdolności rozumienia liczb.

Dzielnik: liczba naturalna, przez którą bez reszty dzieli się inna liczba, na przykład 5 jest dzielnikiem 20.

Fi: stała matematyczna, której rozwinięcie dziesiętne zaczyna się 1,618…, nazywana również złotą liczbą lub boską proporcją.

Kontinuum: punkty na linii ciągłej.

Korelacja: miara współzależności dwóch zmiennych.

Krzywizna: cecha przestrzeni, którą można określić na podstawie zachowania trójkątów lub prostych równoległych.

Kwadrat łaciński: tabela, w której każdy element występuje tylko raz w każdym rzędzie i w każdej kolumnie.

Kwadrat magiczny: tabela zawierająca kolejne liczby od 1, w której sumy we wszystkich rzędach, kolumnach i przekątnych są równe.

Liczba doskonała: liczba, która jest równa sumie swoich dzielników (nie licząc jej samej).

Liczba Fibonacciego: liczba z ciągu Fibonacciego, który zaczyna się od 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…

Liczba Mersenne’a: liczba pierwsza, którą można wyrazić w postaci 2n – 1.

Liczba niewymierna: liczba, której nie da się wyrazić w postaci ułamka.

Liczba normalna: liczba, której cyfry dziesiętne składają się z równej liczby zer, jedynek, dwójek, trójek, czwórek, piątek, szóstek, siódemek, ósemek i dziewiątek.

Liczba pierwsza: liczba naturalna, która ma tylko 2 dzielniki: siebie oraz 1.

Liczba przestępna: liczba, której nie da się wyrazić jako rozwiązania jakiegoś skończonego równania.

Liczba wymierna: liczba, którą można wyrazić w postaci ułamka.

Liczba zaprzyjaźniona: 2 liczby są zaprzyjaźnione, jeśli suma dzielników jednej liczby równa się drugiej liczbie i vice versa.

Logarytm: jeśli a = 10b, to logarytm a równa się b, co zapisuje się jako log a = b.

Moc zbioru: wielkość zbioru.

Nieskończoność nieprzeliczalna: zbiór nieskończony, którego elementów nie można przyporządkować w sposób wzajemnie jednoznaczny liczbom naturalnym.

Nieskończoność przeliczalna: zbiór nieskończony, którego elementy można przyporządkować w sposób wzajemnie jednoznaczny liczbom naturalnym.

Parkietaż: układ kafelków wypełniający przestrzeń dwuwymiarową bez szczelin i nałożeń.

Pi: stała matematyczna, której rozwinięcie dziesiętne zaczyna się 3,14159265358979323846…, jest równa stosunkowi obwodu do średnicy okręgu.

Płaszczyzna hiperboliczna: nieskończenie wielka powierzchnia o krzywiźnie ujemnej.

Podstawa systemu liczbowego: w przypadku stosowania cyfr arabskich podstawa równa jest liczbie cyfr używanych w systemie. System dwójkowy, w którym używa się cyfr 0 i 1, ma podstawę 2, a system dziesiętny, w którym używa się cyfr od 0 do 9, ma podstawę 10.

Postulat: zdanie przyjmowane za prawdziwe i służące za aksjomat.

Prawdopodobieństwo: szansa na zajście jakiegoś zdarzenia wyrażona jako ułamek z przedziału od 0 do 1.

Prawo bardzo wielkich liczb: reguła, zgodnie z którą jeśli próba losowa jest dostatecznie duża, to wystąpić może dowolny wynik, nawet najmniej prawdopodobny.

Prawo wielkich liczb: reguła, zgodnie z którą na dłuższą metę prawdopodobieństwo spełni się, w tym sensie, że im więcej będziemy mieli przykładów zdarzenia losowego (na przykład rzutu monetą), tym bardziej wyniki rzeczywiste będą zbliżone do wyników oczekiwanych.

Przeciwprostokątna: bok w trójkącie prostokątnym leżący naprzeciw kąta prostego.

Przewaga: szanse wygrania gry hazardowej minus szanse przegrania.

Regresja do średniej: zjawisko polegające na tym, że po zdarzeniach skrajnych bardziej prawdopodobne są zdarzenia mniej skrajne.

Rozkład: rozłożenie możliwych wyników i prawdopodobieństwa ich wystąpienia.

Rozkład Gaussa: rozkład normalny.

Rozkład normalny: najpowszechniejszy typ rozkładu, który tworzy krzywą dzwonową.

Rozwiązanie jednoznaczne: sytuacja, kiedy istnieje jedna i tylko jedna odpowiedź.

Równanie kwadratowe: równanie w postaci ax² + bx + c = 0, gdzie a, b oraz c są stałymi i a jest różne od zera.

Równanie sześcienne: równanie w postaci ax³ + bx² + cx + d = 0, gdzie a, b, c oraz d są stałymi i a jest różne od zera.

Ruina gracza: nieuchronność bankructwa przy dostatecznie długim graniu w grę hazardową.

Rząd wielkości: najczęściej skala liczby określana na podstawie wartości pozycyjnej jej pierwszej cyfry. Na przykład rząd wielkości liczby z przedziału od 1 do 9 wynosi 1, w przedziale od 10 do 99 wynosi 2, a między 100 a 999 wynosi 3 i tak dalej.

Szereg: suma wyrazów w ciągu.

Szereg nieskończony: szereg z nieskończoną liczbą wyrazów.

Szereg rozbieżny: szereg nieskończony, którego suma nie jest skończoną liczbą.

Szereg zbieżny: szereg nieskończony, którego suma jest skończoną liczbą.

Trójkąt egipski: trójkąt, w którym stosunek długości boków wynosi 3 : 4 : 5.

Wartość oczekiwana: teoretyczna wartość spodziewanej wygranej lub przegranej w zakładzie.

Wielokąt foremny: wielokąt o bokach równej długości i równych kątach wewnętrznych.

Wykładnik: potęga liczby zapisywana w postaci symbolu u góry, na przykład x w 3x.

Złudzenie gracza: fałszywe przekonanie, że wyniki losowe nie są losowe.

Aneks pierwszy

Aby zobaczyć, w jaki sposób kafelkowe kwadraty Al-Nairiziego dowodzą twierdzenia Pitagorasa, spójrz na zaznaczony trójkąt. Musimy jedynie dokładnie przekształcić kwadrat przeciwprostokątnej na kwadraty 2 pozostałych boków. Kwadrat na przeciwprostokątnej składa się z 5 kawałków: 3 są białe, a 2 zacienione. Przyglądając się powtarzalności wzoru, możemy zauważyć, że białe kawałki tworzą kwadrat jednego z boków trójkąta, a zacienione – kwadrat drugiego boku.

W dowodzie Leonarda musimy najpierw pokazać, że zacienione części w (I) i (II) są równe. W tym celu obracamy część wokół punktu P. Obie części mają równe boki i kąty, więc muszą być takie same. Następnie musimy wykazać, że część ta jest równa części w (III). Musi tak być, ponieważ składa się z identycznych elementów.

Z tymi informacjami możemy dokończyć dowód. Obrócona pierwsza zacieniona część i jej odbicie lustrzane względem przerywanej linii składają się z 2 identycznych trójkątów prostokątnych oraz kwadratów na 2 krótszych bokach. To pole musi być równe polu zajmowanemu łącznie przez zacienione części w (II) i (III), które składa się z 2 identycznych trójkątów prostokątnych oraz kwadratu przeciwprostokątnej. Jeśli odejmiemy w obu przypadkach pole dwóch trójkątów, to kwadrat przeciwprostokątnej musi być równy sumie kwadratów 2 pozostałych boków.

Aneks drugi

W kwadracie jednostkowym przekątna ma długość \sqrt{2}. Aby wykazać, że jest to liczba niewymierna, przeprowadzę dowód nie wprost: założę, że \sqrt{2} jest liczbą wymierną, a następnie pokażę, że prowadzi to do sprzeczności. Jeśli w stwierdzeniu, że \sqrt{2} jest liczbą wymierną, tkwi sprzeczność, to \sqrt{2} musi być liczbą niewymierną.

Jeśli \sqrt{2} jest liczbą wymierną, to istnieją liczby naturalne a i b takie, że \sqrt{2} = \frac{a}. Zastrzeżmy, że jest to najbardziej skrócona postać ułamka, więc nie da się zapisać \frac{a} jako \frac{m}, kiedy m i n są liczbami naturalnymi mniejszymi od a i b.

Jeśli \sqrt{2} = \frac{a}, to podnosząc do kwadratu obie strony równania, otrzymujemy 2 = \frac{a^2}, co możemy zapisać jako a² = 2b².

Niezależnie od wartości b², 2b² musi być liczbą parzystą, ponieważ każda liczba naturalna pomnożona przez 2 jest liczbą parzystą. Jeśli 2b² jest liczbą parzystą, to a² jest liczbą parzystą. Ponieważ kwadrat liczby nieparzystej zawsze jest liczbą nieparzystą, a kwadrat liczby parzystej zawsze jest liczbą parzystą, oznacza to, że a musi być liczbą parzystą.

Jeśli a jest liczbą parzystą, to istnieje liczba c mniejsza niż a taka, że a = 2c, a zatem a² = (2c)² = 4c².

Podstawiając 4c² za a² we wcześniejszym równaniu, otrzymujemy 4c² = 2b². Możemy uprościć to do postaci b² = 2c². Oznacza to, na drodze wcześniejszego rozumowania, że b² jest liczbą parzystą, więc b jest liczbą parzystą. Jeśli b jest liczbą parzystą, to istnieje liczba d mniejsza od b taka, że b = 2d.

Zatem \frac{a} można przekształcić w \frac{2c}, czyli \frac{c}, ponieważ dwójki się skracają. Mamy naszą sprzeczność! Z góry zastrzegliśmy, że \frac{a}{b} jest najbardziej skróconą postacią ułamka, czyli że nie ma wartości c i d mniejszych od a i b, takich że \frac{a}{b}=\frac{c}{d}. Ponieważ doszliśmy do sprzeczności, zakładając, że \sqrt{2} można zapisać jako \frac{a}{b}, oznacza to, że \sqrt{2} nie da się zapisać w taki sposób, a więc \sqrt{2} jest liczbą niewymierną.

Aneks trzeci

W kwadracie magicznym 16 × 16 Franklina suma każdego rzędu i każdej kolumny wynosi 2056. Nie jest to prawdziwy kwadrat magiczny, ponieważ przekątne nie sumują się do 2056, wyróżnia się jednak takim bogactwem właściwości, że Clifford A. Pickover napisał: „bez przesady można powiedzieć, że kontemplowanie jego cudownej struktury to zajęcie na całe życie”. Na przykład suma każdego kwadratu wewnętrznego 2 × 2 (a jest ich 225) wynosi 514, co znaczy, że suma każdego kwadratu wewnętrznego 4 × 4 wynosi 2056. W kwadracie Franklina można znaleźć jeszcze wiele innych symetrii i regularności.

Aneks czwarty

Zasada, na której opiera się ciąg Gijswijta, to szukanie powtarzających się bloków liczb w poprzednich wyrazach ciągu. „Blok” musi znajdować się na końcu ciągu poprzednich wyrazów, a liczba powtórzeń bloku stanowi następny wyraz.

Matematycznie ciąg opisuje się w następujący sposób: na początku stoi 1, a każdym następnym wyrazem jest wartość k, którą ustala się w ten sposób, że poprzednie wyrazy mnoży się po kolei i zapisuje w postaci xyk o jak największej wartości k. Ciąg wygląda zatem tak:

1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 1…

Chyba najłatwiej zrozumieć, jak to działa, na przykładzie pierwszego wystąpienia 3, które ma miejsce na pozycji 9. Poprzednie wyrazy pomnożone po kolei to 1 · 1 · 2 · 1 · 1 · 2 · 2 · 2. W ciągu Gijswijta naszym zadaniem jest przekształcić ten rachunek w wyraz xyk o jak największej wartości k. W tym przypadku otrzymujemy (1 · 1 · 2 · 1 · 1) · 2³. Następnym wyrazem jest więc 3. Szukamy największego powtarzającego się bloku liczb na końcu ciągu poprzednich wyrazów, choć w tym przypadku blok to jedna liczba, 2, powtórzona trzykrotnie.

Często jednak blok będzie zawierał kilka cyfr. Spójrzmy na pozycję 16. Poprzednie wyrazy pomnożone razem to 1 · 1 · 2 · 1 · 1 · 2 · 2 · 2 · 3 · 1 · 1 · 2 · 1 · 1 · 2. Można zapisać to jako (1 · 1 · 2 · 1 · 1 · 2 · 2 · 3) · (1 · 1 · 2)². A zatem 16. wyrazem jest 2.

Wróćmy teraz do początku. Drugi wyraz to 1, ponieważ poprzedni wyraz 1 nie jest przez nic mnożony. Trzeci wyraz to 2, ponieważ poprzednie wyrazy pomnożone po kolei to 1 · 1 = 1², a czwarty wyraz to 1, ponieważ poprzednie wyrazy dają (1 · 1 · 2) · 1, gdzie ostatnie 1 nie mnoży się przez siebie.

Aneks piąty

Chcemy wykazać, że szereg harmoniczny jest rozbieżny, czyli że

wynosić będzie nieskończoność. W tym celu należy wykazać, że szereg harmoniczny jest większy niż poniższy szereg, który ma sumę nieskończoną

Porównajmy wyrazy szeregu harmonicznego grupami po 2, 4, 8 i tak dalej, zaczynając od 3. wyrazu. Wymieniono je poniżej. Ponieważ \frac{1}{3} jest większa niż \frac{1}{4}, to suma \frac{1}{3} + \frac{1}{4} musi być większa niż \frac{1}{4} + \frac{1}{4}, która równa się \frac{1}{2}. Analogicznie, ponieważ każdy z ułamków \frac{1}{5}, \frac{1}{6} i \frac{1}{7} jest większy niż \frac{1}{8}, oznacza to, że suma \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} jest większa niż \frac{4}{8}, które również równają się \frac{1}{2}. Widać, że jeśli będziemy postępować tak dalej, biorąc zawsze dwa razy większą liczbę wyrazów, będziemy w stanie sumować te wyrazy do wartości większej niż \frac{1}{2}:

wyraz 3. i 4. | \frac{1}{3}+\frac{1}{4} | > | \frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}
wyrazy od 5. do 8. | \frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8} | > | 4\cdot\left(\frac{1}{8}\right)=\frac{1}{2}
wyrazy od 8. do 16. | \frac{1}{9}+\dots+\frac{1}{16} | > | 8\cdot\left(\frac{1}{16}\right)=\frac{1}{2}

Szereg harmoniczny jest zatem większy niż suma \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + ..., która wynosi nieskończoność razy pół, co równa się nieskończoność. Szereg nieskończony jest więc większy od nieskończoności, czyli jest nieskończony.

Aneks szósty

Ułamek łańcuchowy (ciągły) to osobliwy rodzaj ułamka, który konstruuje się poprzez nieskończony proces dodawania i dzielenia.

Fi wyrażone w postaci ułamka łańcuchowego wygląda następująco

Aby zrozumieć, jak to działa, przyjrzyjmy się kolejnym piętrom ułamka i zobaczmy, jak zbliża się do fi

1

1+1=2

I tak dalej.

Za pomocą ułamków łańcuchowych ocenia się, jak bardzo niewymierna może być dana liczba. Ponieważ w przypadku fi wyrażenie zawiera tylko jedynki, jest to „najczystszy” ułamek łańcuchowy i dlatego uważany jest za „najbardziej niewymierną” liczbę.

Przypisy do rozdziałów

W czasie pisania książki na moim biurku zawsze leżały 4 wielkie tomy, po które sięgałem wielokrotnie przy różnych rozdziałach. Martin Gardner nie ma sobie równych w matematyce popularnej pod względem erudycji, dowcipu i klarowności. Number Tobiasa Dantziga to klasyczna pozycja na temat kulturowej ewolucji matematyki. Książki Ifraha i Cajoriego są drobiazgowo udokumentowane i nieskończenie fascynujące.

Cajori F., A History of Mathematical Notations, Dover 1993 (reprint pierwodruku wydanego przez Open Court, Illinois 1928/9).

Dantzig T., Number, Plume, New York 2007 (pierwotnie Macmillan, 1930).

Gardner M., Mathematical Games: The Entire Collection of His Scientific American Columns, Mathematical Association of America, 2005.

Ifrah G., The Universal History of Numbers, John Wiley, New York 2000 [wyd. pol. Historia powszechna cyfr, tłum. Katarzyna Marczewska i Krystyna Szeżyńska-Maćkowiak, Wydawnictwo W.A.B., Warszawa 2006].

ROZDZIAŁ ZEROWY

Rozdział ten opiera się na rozmowach z Brianem Butterworthem w Londynie oraz Stanislasem Dehaene’em i Pierre’em Picą w Paryżu. Na University College London zostałem poddany badaniu na dyskalkulię przez Teresę Iuculano i Marinellę Cappelletti za pomocą programu komputerowego używanego obecnie w brytyjskich szkołach. Nie jestem dyskalkulikiem, co pewnie nie jest wielkim zaskoczeniem. Kto chciałby wesprzeć działania na rzecz ochrony tradycyjnej edukacji Munduruku i ich środowiska, może przesłać datek na adres: The Munduruku Fund, The Arrow Rainforest Foundation, 5 Southridge Place, London SW20 8JQ, United Kingdom. Więcej informacji można znaleźć na stronie: www.thearrowrainforestfoundation.com

Butterworth B., The Mathematical Brain, Macmillan, London 1999.

Dehaene S., The Number Sense, Oxford University Press, Oxford 1997.

Matzusawa T. (red.), Primate Origins of Human Cognition and Behavior, Springer, Tokyo 2001.

Angier N., Gut Instinct’s Surprising Role in Math, „New York Times”, 2008.

Dehaene S., Izard V., Spelke E., Pica P., Log or Linear?, „Science”, 2008.

Inoue S., Matsuzawa T., Working memory of numerals in chimpanzees, „Current Biology”, 2007.

Pica P., Lerner C., Izard V., Dehaene S., Exact and Appropriate Arithmetic in an Amazonian Indigene Group, „Science”, 2004.

Siegler R.S., Booth J.L., Development of Numerical Estimation in Young Children, „Child Development”, 2004.

ROZDZIAŁ PIERWSZY

Kto chce uzyskać więcej informacji na temat uroków systemu dwunastkowego, może skontaktować się z Dozenal Society of America: contact@dozenal.org lub 5106 Hampton Avenue Suite 205, Saint Louis, Missouri 63109-3115, USA. Little Twelvetoes to klasyczny cykl z serii muzycznych kreskówek Schoolhouse Rock! z lat 70. na temat matematyki, nauk przyrodniczych i gramatyki; wszystkie można obejrzeć w internecie. Wprowadzenie w świat liczydła zawdzięczam Kouzi Suzukiemu, jednoosobowemu ewangeliście sorobanu, który spotkał się ze mną na stacji kolejowej w Tokio przebrany za Sherlocka Holmesa.

Andrews F. E., New Numbers, Faber & Faber, London 1936.

Duodecimal Society of America, Inc., Manual of the Dozen System, Duodecimal Society of America, New York 1960.

Elbrow, Rear-Admiral G., The New English System of Money, Weights and Measures and of Arithmetic, P.S. King & Son, London 1913.

Essig J., Douze, notre dix future, Dunod, Paris 1955.

Glaser A., History of Binary and Other Nondecimal Numeration, Southampton, PA, 1971.

Kawall Leal Ferreira M. (red.), Idéias Matemáticas de Povos Culturalmente Distintos, Global Editora, São Paulo 2000.

Suzuki K., Lectures on Soroban, Institute for English Yomiagezan.

Dowker A., Lloyd D., Linguistic influences on numeracy, „Education Transactions”, University of Bangor, 2005.

Wassmann J., Dasen P.R., Yupno Number System and Counting, „Cross-cultural Psychology Journal”, 1994.

Hammarström H., Rarities in Numeral Systems, 2007.

ROZDZIAŁ DRUGI

Proofs Without Words (dowody bez słów) to prawdziwa skarbnica, z której zaczerpnąłem różne dowody twierdzenia Pitagorasa. Dziękuję Tomowi Hullowi za wprowadzenie w origami. Na jego książce wzorowane są ilustracje pokazujące, jak zrobić czworościany i sześciany z wizytówek. Innym niezwykłym japońskim zwyczajem religijno-geometrycznym jest sangaku, które nie zmieściło się w rozdziale, ale jest zbyt fascynujące, by o nim nie wspomnieć. Sangaku to drewniana tabliczka zawieszana w kapliczce buddyjskiej lub szintoistycznej, na której namalowano dowód jakiegoś problemu geometrycznego. Od XVII do XIX wieku powstały tysiące sangaku – robili je Japończycy, którzy rozwiązali problemy geometryczne, ale nie mogli sobie pozwolić na opublikowanie ich w książce. Narysowanie rozwiązania na tabliczce i zawieszenie jej w kaplicy było rodzajem ofiary religijnej, a jednocześnie reklamą swoich wyników.

Krótko przed oddaniem książki do druku dowiedziałem się, że Jerome Carter zginął w wypadku motocyklowym w 2009 roku.

Balliett L.D., The Philosophy of Numbers, L.N. Fowler, 1908.

Bell E.T., Numerology, Century, 1933.

Dudley U., Numerology, Mathematical Association of America, 1997.

du Sautoy M., Finding Moonshine, Fourth Estate, London 2008.

Ferguson K., The Music of Pythagoras, Walker, New York 2008.

Hull T., Project Origami, A.K. Peters, Wellesley, MA, 2006.

Kahn C.H., Pythagoras and the Pythagoreans, a Brief History, Hackett, Indianapolis, IN, 2001.

Loomis E.S., The Pythagorean Proposition, Edwards Bros, Ann Arbor, MI, 1940.

Maor E., The Pythagorean Theorem, Princeton University Press, NJ, 2007.

Mlodinow L., Euclid’s Window, Free Press, New York 2001.

Nelsen R.B., Proofs Without Words, Mathematical Association of America, Washington DC 1993.

Riedwig C., Pythagoras, His Life, Teaching and Influence, Cornell University Press, Ithaca, NY, 2002.

Schimmel A., The Mystery of Numbers, Oxford University Press, New York 1993.

Simoons F.J., Plants of Life, Plants of Death, University of Wisconsin Press, Madison, WI, 1998.

Sundara Rao T., Geometric Exercises in Paper Folding, Open Court, Chicago, IL, 1901.

Bolton N.J., MacLeod D.N.G., The Geometry of the Sri Yantra, „Religion”, vol. 7, 1977.

Burnyeat M.F., Other Lives, „London Review of Books”, 2007.

ROZDZIAŁ TRZECI

Choć Liber abaci została wydana w 1202 roku, jej pierwszy przekład angielski ukazał się dopiero w osiemsetną rocznicę publikacji w 2002 roku. Matematyka wedyjska nie jest jedynym rodzajem szybkiej arytmetyki na rynku. Istnieje kilka „systemów”, które często zawierają te same sztuczki. Najbardziej znanym jest system Trachtenberga, wymyślony przez Jakowa Trachtenberga, gdy był więźniem politycznym w nazistowskim obozie koncentracyjnym. Ostatnio zabawnym propagatorem sztuki szybkiego rachowania jest samozwańczy „matemagik” Arthur Benjamin.

Fibonacci L., Fibonacci’s Liber Abaci, Springer, New York 2002.

Joseph G.G., Crest of the Peacock, Penguin, London 1992.

Knott K., Hinduism: A Very Short Introduction, Oxford University Press, 1998.

[wyd. pol. Hinduizm, tłum. Tomasz Jurewicz, Prószyński i S-ka, Warszawa 2000, seria: Bardzo krótkie wprowadzenie].

Seife C., Zero, Souvenir Press, London 2000.

[wyd. pol. Zero. Niebezpieczna idea, tłum. Janusz Skolimowski, Amber, Warszawa, 2002].

Tirthaji, Jagadguru Swami S.B.K., Vedic Mathematics, Motilal Banarsidass, Delhi 1992.

Dani S.G., Myths and reality: On ‘Vedic mathematics’.

ROZDZIAŁ CZWARTY

Najmniej kujońskim zawodnikiem w Lipsku był Rüdiger Gamm, niegdysiejszy kulturysta, który w szkole dostawał dwóje z matmy. Najpierw wyrobił sobie przesadnie wielkie bicepsy, teraz ma przesadnie wielki mózg. Gamm, który za sprawą swoich zdolności rachunkowych zyskał pewien rozgłos w Niemczech, powiedział mi, że pamięć jest jego największym atutem: „Myślę, że przechowuję w głowie od dwustu do trzystu tysięcy liczb”.

(Rozdział ten był dla mnie wyzwaniem, ponieważ musiałem walczyć z nieodpartą pokusą układania kalamburów związanych z pi. Matematycy do przesady lubują się w grze słów. Kiedy widzimy jakieś słowo, nie możemy się powstrzymać, by nie rozłożyć go i ułożyć innego słowa, co pewnie tłumaczy również, dlaczego najlepszymi skrablistami na świecie są absolwenci matematyki i informatyki, a nie językoznawcy).

Arndt J., Haenel C., Pi Unleashed, Springer, London 2002.

Beckmann P., A History of Pi, St Martin’s Press, New York 1971.

Berggren L., Borwein J., Borwein P., Pi: A Source Book, Springer, London 2003.

Bidder G., A short Account of George Bidder, the celebrated Mental Calculator: with a Variety of the most difficult Questions, Proposed to him at the principal Towns in the Kingdom, and his surprising rapid Answers!, W.C. Pollard, 1821.

Colburn Z., A memoir of Zerah Colburn, written by himself, G. & C. Merriam, Springfield, MA, 1833.

Rademacher H., Torplitz O., The Enjoyment of Mathematics, Princeton University Press, NJ, 1957.

Aitken A.C., The Art of Mental Calculation; with Demonstrations, „Society of Engineers Journal and Transactions”, 1954.

Preston R., The Mountains of Pi, „New Yorker”, 1992.

ROZDZIAŁ PIĄTY

Acheson D., 1089 and all that, Oxford University Press, Oxford 2002.

Berlinski D., Infinite Ascent, The Modern Library, New York 2005.

Dale R., The Sinclair Story, Duckworth, London 1985.

Derbyshire J., Unknown Quantity, Atlantic Books, London 2006.

Hopp P.M., Slide Rules, Their History, Models and Makers, Astragal Press, New Jersey 1999.

Maor E., e: The Story of a Number, Princeton University Press, NJ, 1994.

Rade L., Kaufman B.A., Adventures with Your Pocket Calculator, Pelican, London 1980.

Schlossberg E., Brockman J., The Pocket Calculator Game Book, William Morrow, New York 1975.

Vine J., Fun & Games with Your Electronic Calculator, Babani Press, London 1977 (wyd. amer. Boggle, Price, Stern, Sloane Publishers, Los Angeles, CA, 1975).

ROZDZIAŁ SZÓSTY

W maju 2010 roku, miesiąc po opublikowaniu pierwszego wydania tej książki, Martin Gardner zmarł. Miał 95 lat i pracował do śmierci. W lipcu tego samego roku Tom Rokicki ze współpracownikami w końcu udowodnił, że liczba Boga wynosi 20, korzystając z 35 lat czasu obliczeniowego podarowanego przez Google.

Artykuły Dudeneya ze „Strand Magazine”, pomijając już genialność samych łamigłówek, są rewelacyjnie napisane i na pewno warte lektury. Jestem wdzięczny Angeli Newing, światowej znawczyni Henry’ego Dudeneya, za informacje biograficzne oraz Jerry’emu Slocumowi za rozwiązanie moich łamigłówkowych zagwozdek. Jeśli ktoś jest zainteresowany tatuażem ambigramowym, polecam obejrzenie dzieł Marka Palmera na stronie www.wowtattoos.com.

Bachet C.G., Amusing and Entertaining Problems that can be Had with Numbers (very useful for inquisitive people of all kinds who use arithmetic), Paris 1612.

Bodycombe D.J., The Riddles of the Sphinx, Penguin, London 2007.

Danesi M., The Puzzle Instinct, University of Indiana Press, Indianapolis, IN 2002.

Elffers J., Schuyt M., Tangram, 1997.

Gardner M., Mathematics, Magic and Mystery, Dover, New York 1956.

Hardy G.H., A Mathematician’s Apology, Cambridge University Press, Cambridge 1940.

Hooper W., Rational Recreations, in which the principles of Numbers and Natural Philosophy are clearly and copiously elucidated by a series of easy, entertaining, interesting experiments, among which are all those commonly performed with the cards, London 1774.

Loyd S., The 8th Book of Tan Part I, 1903; nowe wydanie Dover, New York 1968.

Maor E., Trigonometric Delights, Princeton University Press, NJ, 1998.

Netz R., Noel W., The Archimedes Codex, Weidenfeld & Nicolson, London 2007.

[wyd. pol. Kodeks Archimedesa, tłum. Władysław Jeżewski, Wydawnictwo Magnum, Warszawa 2007].

Pasles P.C., Benjamin Franklin’s Numbers, Princeton University Press, NJ 2008.

Pickover C.A., The Zen of Magic Squares, Circles and Stars, Princeton University Press, NJ 2002.

Rouse Ball W.W., Mathematical Recreations and Problems, Macmillan, London 1892.

Slocum J., The Tangram Book, Sterling, New York 2001.

Slocum J., Sonneveld D., The 15 Puzzle, Slocum Puzzle Foundation, California 2006.

Swetz F.J., Legacy of the Luoshu, Open Court, Chicago, IL, 2002.

Dudeney H., Perplexities, rubryka w „Strand Magazine”, London 1910–30.

Singmaster D., The unreasonable utility of recreational mathematics, wykład wygłoszony podczas Pierwszego Europejskiego Kongresu Matematyki, Paryż, lipiec 1992.

ROZDZIAŁ SIÓDMY

On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (oeis.org) z początku wygląda dość zniechęcająco, ale po krótkiej orientacji okazuje się bardzo wciągająca. Świetnym źródłem jest też encyklopedia liczb pierwszych Chrisa Caldwella: www.primes.utm.edu.

Doxiadis A., Uncle Petros and Goldbach’s Conjecture, Faber & Faber, London 2000.

[wyd. pol. Zabójcza hipoteza, tłum. Rafał Śmietana, Wydawnictwo Znak, Kraków 2000].

du Sautoy M., The Music of the Primes, Fourth Estate, London 2003.

Reid C., From Zero to Infinity, Thomas Y. Crowell, New York 1955.

Schmelzer T., Baillie R., Summing a curious, slowly convergent series, „American Mathematical Monthly”, July 2008.

Sloane N.J.A., My Favorite Integer Sequences, 2000.

ROZDZIAŁ ÓSMY

To tylko dziwny przypadek, że pi, fi i Fibonacci wydają się spokrewnione, mają bowiem zupełnie różną etymologię, choć zwolenników teorii spiskowych może to nie przekonać. Jeśli chodzi o złotą proporcję, trudno czasem odróżnić fanatyków od niefanatyków. Fanatykiem zdecydowanie nie jest Ron Knott, na którego stronie: www.computing.surrey.ac.uk/personal/ext/R.Knott/Fibonacci/ jest wszystko, co kiedykolwiek chcieliście wiedzieć o 1,618…

Livio M., The Golden Ratio, Review, London 2002.

Posamentier A.S., Lehmann I., The (Fabulous) Fibonacci Numbers, Prometheus Books, New York 2007.

McManus I.C., Cook R., Hunt A., Beyond the Golden Section and normative aesthetics: why do individuals differ so much in their aesthetic preferences for rectangles?, „Perception”, vol. 36, 2007.

ROZDZIAŁ DZIEWIĄTY

Strategia Kelly’ego nie sprowadza się do samego zapamiętania ułamka \frac{\textup{przewaga}}}, ponieważ sytuacje w hazardzie są zwykle bardziej skomplikowane niż opisany przeze mnie bardzo prosty przykład. Przepraszam Eda Thorpa, który w czasie rozmowy pytał z nadzieją, czy będę potrafił należycie szczegółowo wyjaśnić strategię Kelly’ego. Wybacz, Ed, to jest po prostu zbyt skomplikowane jak na tę publikację! Fantastyczna książka Williama Poundstone’a służyła mi za przewodnik, a jej autorowi jestem wdzięczny za dostarczenie danych do wykresu.

Aczel A.D., Chance, High Stakes, London 2005.

Bennett D.J., Randomness, Harvard University Press, Cambridge, MA 1998.

Devlin K., The Unfinished Game, Basic Books, New York 2008.

Haigh J., Taking Chances, Oxford University Press, Oxford 1999.

Kaplan M., Kaplan E., Chances Are, Penguin, New York 2006.

[wyd. pol. Zawsze masz szanse..., tłum. Dariusz Bakalarz, Świat Książki, Warszawa 2008].

Mlodinow L., The Drunkard’s Walk, Allen Lane, London 2008.

[wyd. pol. Matematyka niepewności, tłum. Paweł Strzelecki, Prószyński Media, Warszawa 2009].

Paulos J.A., Innumeracy, Hill & Wang, New York 1988.

[wyd. pol. Analfabetyzm matematyczny i jego skutki, tłum. Jacek Miękisz, Gdańskie Wydawnictwo Oświatowe, Gdańsk 2011].

Poundstone W., Fortune’s Formula, Hill & Wang, New York 2005.

Rosenthal J.S., Struck by Lightning, Joseph Henry Press, Washington DC 2001.

Thorp E.O., Beat the Dealer, Vintage, New York 1966.

Tijms H., Understanding Probability, Cambridge University Press 2007.

Venn J., The Logic of Chance, Macmillan, London 1888.

ROZDZIAŁ DZIESIĄTY

Statystyka to jedyny dział matematyki omawiany w tej książce, którego nie uczyłem się ani w szkole, ani na studiach, więc w dużej mierze była dla mnie zupełną nowością. Niektórzy matematycy uważają zresztą, że statystyka nie jest prawdziwą matematyką, skoro zajmuje się tak „brudzącymi” sprawami, jak pomiary. Z przyjemnością ubrudziłem sobie ręce, choć w najbliższym czasie nie wybieram się do piekarni Greggs.

Blastland M., Dilnot A., The Tiger That Isn’t, Profile, London 2007.

Brookes M., Extreme Measures, Bloomsbury, London 2004.

Cline Cohen P., A Calculating People: The Spread of Numeracy in Early America, University of Chicago Press, IL 1982.

Cohen I.B., The Triumph of Numbers, W. W. Norton, New York 2005.

Edwards A.W.F., Pascal’s Arithmetical Triangle, Johns Hopkins University Press, Baltimore, MD 1987.

Kuper S., Szymanski S., Why England Lose, HarperCollins, London 2009.

Taleb N.N., The Black Swan, Penguin, London 2007.

ROZDZIAŁ JEDENASTY

Choć pozostaje otwartą kwestią, czy wszechświat jest miezakrzywiony, sferyczny czy hiperboliczny, jest on z pewnością dość płaski; jeśli jego krzywizna rzeczywiście odbiega od zera, to jedynie minimalnie. Paradoksem badania wszechświata na okoliczność jego krzywizny jest jednak to, że nie da się nigdy ponad wszelką wątpliwość udowodnić, że wszechświat jest niezakrzywiony, ponieważ zawsze będzie istniał błąd pomiaru. Teoretycznie możliwe jest natomiast udowodnienie, że wszechświat jest zakrzywiony, co nastąpiłoby, gdyby wyniki dały krzywiznę, która uwzględniając błąd pomiaru, jest niezerowa.

Hotel Hilberta nazywany czasem bywa hotelem Infinity, a sama historyjka ma wiele wersji. Goście w T-shirtach to moja adaptacja.

Aczel A.D., The Mystery of the Aleph, Washington Square Press, New York 2000.

[wyd. pol. Tajemnica Alefów, tłum. Tomasz Hornowski, Rebis, Poznań 2002].

Barrow J.D., The Infinite Book, Jonathan Cape, London 2005.

Foster Wallace D., Everything and More, W. W. Norton, New York 2003.

Kaplan R., Kaplan E., The Art of the Infinite, Allen Lane, London 2003.

O’Shea D., The Poincaré Conjecture, Walker, New York 2007.

Taimina D., Henderson D.W., How to Use History to Clarify Common Confusions in Geometry, „Mathematical Association of America Notes”, 2005.

INTERNET

Nie sposób zbierać materiały na temat matematyki bez sięgania do Wikipedii czy Wolfram MathWorld (www.mathworld.wolfram.com), do których zaglądałem codziennie.

OGÓLNE

Przejrzałem zbyt dużo książek, by je tu wszystkie wymienić, więc ograniczę się do tych, które w ten czy inny sposób bezpośrednio wzbogaciły materiał tej książki. Wszystko, co napisali Keith Devlin, Clifford A. Pickover czy Ian Stewart, zawsze jest warte przeczytania.

Bell E.T., Men of Mathematics, Victor Gollancz, London 1937.

Bentley P.J., The Book of Numbers, Cassell Illustrated, London 2008.

Darling D., The Universal Book of Mathematics, Wiley, Hoboken, NJ, 2004.

Devlin K., All the Math That’s Fit to Print, Mathematical Association of America, Washington DC, 1994.

Dudley U. (red.), Is Mathematics Inevitable?, Mathematical Association of America, Washington DC, 2008.

Eastaway R., Wyndham J., Why Do Buses Come in Threes?, Robson Books, London 1998.

Eastaway R., Wyndham J., How Long is a Piece of String?, Robson Books, London 2002.

Gowers T., Mathematics: A Very Short Introduction, Oxford University Press, Oxford 2002.

Gullberg J., Mathematics, W. W. Norton, New York 1997.

Hodges A., One to Nine, Short Books, London 2007.

Hoffman P., The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdös and the Search for Mathematical Truth, Fourth Estate, 1998.

Hogben L., Mathematics for the Million, Allen & Unwin, London 1936.

Mazur J., Euclid in the Rainforest, Plume, New York 2005.

Newman J. (red.), The World of Mathematics, Dover, New York 1956.

Pickover C.A., A Passion for Mathematics, Wiley, Hoboken, NJ, 2005.

Singh S., Fermat’s Last Theorem, Fourth Estate, London 1997.

Podziękowania

Po pierwsze dziękuję Claire Paterson z Janklow & Nesbit, która zachęciła mnie to do napisania tej książki, oraz moim redaktorom Richardowi Atkinsonowi w Londynie i Emily Loose w Nowym Jorku. Jestem również bardzo wdzięczny Andy’emu Rileyowi za wspaniałe ilustracje.

Moje podróże nie udałyby się, gdyby nie wsparcie, jakiego udzielili mi starzy i nowi znajomi: w Japonii Chieko Tsuneoka, Richard Lloyd Parry, Fiona Wilson, Kouzi Suzuki, Masao Uchibayashi, Tetsuro Matsuzawa, Chris Martin oraz Leo Lewis; w Indiach Gaurav Tekriwal, Dhananjay Vaidya i Kenneth Williams; w Niemczech Ralf Laue; w USA Colm Mulcahy, Tom Rodgers, Tom Hull, Neil Sloane, Jerry Slocum, David Chudnovsky, Gregory Chudnovsky, Tom Morgan, Michael de Vlieger, Jerome Carter, Anthony Baerlocher oraz Ed Thorp; w Wielkiej Brytanii Brian Butterworth, Peter Hopp oraz Eddy Levin.

Rękopis znacznie zyskał dzięki uwagom, którymi podzielili się ze mną Robert Fountain, Colin Wright, Colm Mulcahy, Tony Mann, Alex Paseau, Pierre Pica, Stefanie Marsh, Matthew Kershaw, John Maingay, Morgan Ryan, Andreas Nieder, Daina Taimina, David Henderson, Stefan Mandel, Robert Lang, David Bellos oraz Ilona Morison. Podziękowania niech zechcą przyjąć również Natalie Hunt, Simon Veksner, Veronica Esaulova, Gavin Pretor-Pinney, Justin Leighton, Jeannine Mosely, Ravi Apte, Hugo de Klee, Maura O’Brien, Peter Dawson, Paul Palmer-Edwards, Elaine Leggett, Rebecca Folland, Kirsty Gordon, Tim Glister, Hugh Morison, Jonathan Cummings, Raphael Zarum, Mike Keith, Gareth Roberts, Gene Zirkel, Erik Demaine, Wayne Gould, Kirk Pearson, Angela Newing, Bill Eadington, Mike LeVan, Sheena Russell, Hartosh Bal, Ivan Moscovich, John Holden, Chris Ottewill, Mariana Kawall Leal Ferreira, Todd Rangiwhetu, William Poundstone, Frank Swetz oraz Amir Aczel. Wreszcie Zara Bellos, moja bratanica, która obiecała, że dostanie najwyższą ocenę z wyróżnieniem z matematyki, jeśli wspomnę o niej gdzieś w książce.

Yoji Miyamoto, wynalazca gry Flash Anzan, i jego uczniowie z najmłodszej klasy sorobanu.

Ośmioletni mistrz sorobanu Yuzan Araki z trofeum i medalami. „Lubię szybko liczyć”, powiedział.

Twierdzenie Pitagorasa z niezwykłej wersji Elementów Euklidesa zredagowanej w 1847 roku przez Olivera Byrne’a, w której twierdzenia przedstawiono w postaci kolorowych rysunków.

Skorpion origami i jego wzór zginania utworzony przez byłego fizyka z NASA Roberta Langa.

Islamscy geometrzy dekorowali święte miejsca wyrafinowanymi wzorami, jak ta mozaika z pałacu Alhambra w Grenadzie. Powtarzające się w nieskończoność wzory symbolizowały objawianie się Boga w formach matematycznych.

Kwadrat łaciński w rolniczej stacji doświadczalnej Rothamsted w Harpenden: 6 środków chemicznych zaaplikowano w taki sposób, by w każdym rzędzie i w każdej kolumnie było po 1 kwadracie każdego specyfiku.

Współczesny pitagorejczyk Jerome Carter z żoną Pamelą przed swoim wymarzonym domem w Scottsdale w Arizonie. Carter doradzał gwiazdom
hip-hopu w sprawie liczb kryjących się w ich imionach i nazwiskach.

Śankaraczarja Puri, po prawej, siedzący na swoim tronie obok głównego ucznia i tłumacza. Z tyłu na ścianie wisi obraz przedstawiający Śankarę.

Ludzie pi: po bokach bracia Gregory i David Chudnovscy, w środku ich współpracownik Tom Morgan. W nowojorskim mieszkaniu Gregory’ego zbudowali superkomputer, który obliczył pi do ponad dwóch miliardów miejsc po przecinku.

Zawodnicy rozgrzewający się przed mistrzostwami świata w liczeniu w pamięci. Niemiec Jan van Koningsveld, na pierwszym planie, wygrał w konkurencji wyciągania pierwiastków kwadratowych oraz rachuby kalendarzowej.

Karty wyprodukowane we Francji w 1818 roku u szczytu mody na tangram. Postacie Henryka IV, Młodzieńca, Cateau i Chińczyka należało złożyć z siedmiu figur geometrycznych.

Pasjans okopowy w stylu tangramu, w który grali (i który częściowo zaprojektowali) niemieccy żołnierze w czasie pierwszej wojny światowej.

Erik Demaine, naukowiec informatyk.

Raymond Smullyan, logik.

Ivan Moscovich, twórca łamigłówek.

Neil Sloane, tuz ciągów.

Wszyscy czterej panowie byli w 2008 roku gośćmi konferencji Gathering for Gardner w Atlancie, organizowanej w hołdzie twórczości Martina Gardnera, króla matematyki rozrywkowej. Gardner, sfotografowany po prawej w swoim domu w Oklahomie, do końca pracował na stojąco przy drewnianym pulpicie.

Eddy Levin z miernikiem złotego podziału w swoim ogrodzie w północnym Londynie. Znalazł fi w kwiecie oraz w pawim piórze.

Levin mówi, że tam, gdzie jest piękno, tam jest również złota proporcja: w słoneczniku, sukience, obrazie Mondriana, samochodzie marki Fiat, zestawie idealnych zębów oraz w kardiogramie.

W 1948 roku francuski architekt Le Corbusier opracował system proporcji oparty na złotym podziale. Powiedział, że Modulor jest „gamą harmonijnych miar, które odpowiadają ludzkiej skali i mają uniwersalne zastosowanie w architekturze i urządzeniach mechanicznych”.

Anthony Baerlocher, tutaj w swoim biurze w Reno, ustala szanse wygranej dla ponad połowy automatów do gier na świecie. Automaty są dziś najbardziej dochodową i uzależniającą grą w kasynach.

Ed Thorp pokonał dwie inne gry kasynowe: skonstruował pierwszy komputer nadający się do noszenia przy sobie, by wygrać w ruletce, oraz wymyślił liczenie kart, by wygrać w blackjacka. Potem wykorzystał matematykę do zarobienia ogromnych sum na rynkach finansowych.

Nie samym chlebem człowiek żyje. Sterta bagietek z piekarni Greggs w mojej kuchni – skutek uboczny eksperymentu, który miał pokazać matematykę błędu pomiaru.

Daina Taimina poświęciła sześć miesięcy i zużyła 5,5 kilometra różowej włóczki, by zrobić największy na świecie hiperboliczny model szydełkowy, tutaj obok kota Mango.

Źródła ilustracji

[1] © Tetsuro Matsuzawa.

[2] Dzięki uprzejmości Jürga Wassmanna.

[4] Czcionki tuzinowe i logo DSA dzięki uprzejmości Michaela de Vliegera, Dozenal Society of America.

[5] Ze zbiorów Musée international d’horlogerie, La Chaux-de-Fonds, Szwajcaria.

[6] © Sir Roger Penrose.

[7] © Ravi Apte.

[8] Science Museum/Science & Society Picture Library.

[9] Science Museum/Science & Society Picture Library.

[10] © Justin Leighton.

[11] © Maki Kaji.

[12] © Jose/Fotolia.

[13] Dzięki uprzejmości Clendening History of Medicine Library, University of Kansas Medical Center.

[14] Dzięki uprzejmości Jerry’ego Slocuma.

[15] Dzięki uprzejmości Jerry’ego Slocuma.

[16] Get Off The Earth to zastrzeżony znak towarowy Sam Loyd Company i wykorzystany za zgodą.

[17] Reprodukcja za zgodą Scotta Kima.

[18] Dzięki uprzejmości Marka Palmera, Wow Tattoos.

[19] © Dániel Erdély, Walt van Ballegooijen and the Spidron Team, 2008. Grafika: Dániel Erdély.

[20] Dzięki uprzejmości Paula Batemana.

[21] Wykorzystano na podstawie licencji Shutterstock.com.

[22] Kasia, 2009. Wykorzystano na podstawie licencji Shutterstock.com.

[23] © Alex Bellos.

[24] Scott W. Klette, dzięki uprzejmości Nevada State Museum, Carson City, NV.

[25] Dzięki uprzejmości Williama Poundstone’a.

[26] © Daina Taimina.

[27] © The M.C. Escher Company, Holland, 2009. Wszelkie prawa zastrzeżone. www.mcescher.com.

[28] © Daina Taimina.